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1、学习必备 欢迎下载 数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前 n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能如考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、考查数列与不等式交汇的探索性问题等等.杂在近年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热
2、点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.要掌握考试动态必先了解考试要求，知己知彼方能百战不殆：1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 2理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题 3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题。4理解不等式的性质及其证明 5掌握两个（不扩展到三个）正数的算
3、术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用 6掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式 7掌握简单不等式的解法及理解不等式aba+ba+b 近年数列与不等式交汇题考察点：1以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2 以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.3将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.学习必备
4、欢迎下载 典例分析 题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数 f(x)在定义域为 D，则当 xD 时，有 f(x)M恒成立f(x)minM；f(x)M恒成立f(x)maxM；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.【例 1】等比数列an的公比 q1，第 17 项的平方等于第 24 项，求使 a1a2 an1a11a2 1an恒成立的正整数 n 的取值范围.【分析】利用条件中两项间的关系，寻求数列首项 a1与公比 q 之间的关系，再利用等比数列前 n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而
5、通过估算求得正整数 n 的取值范围.【解】由题意得：(a1q16)2a1q23，a1q91.由等比数列的性质知：数列1an是以1a1为首项，以1q为公比的等比数列，要使不等式成立，则须a1(qn1)q11a11(1q)n11q，把 a21q 18代入上式并整理，得 q 18(qn1)q(11qn)，qnq19，q1，n19，故所求正整数n的取值范围是 n20.【点评】本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.【例 2】设数列an的前n项和为 Sn已知 a1a，an+1Sn3n，nN*()设
6、bnSn3n，求数列bn的通项公式；（）若 an+1an，nN*，求 a 的取值范围【分析】第（）小题利用 Sn与 an的关系可求得数列的通项公式；第（）小题将条件 an+1an转化为关于 n 与 a 的关系，再利用 af(n)恒成立等价于 af(n)min求解【解】()依题意，Sn+1Snan+1Sn3n，即 Sn+12Sn3n，由此得 Sn+13 n+12(Sn3n)因此，所求通项公式为 bnSn3n(a3)2 n 1，nN*,()由知 Sn3n(a3)2 n 1，nN*，于是，当 n2 时，anSnSn 13n(a3)2 n 13n 1(a3)2 n 223n 1(a3)2 n 2，an
7、+1an43 n 1(a3)2 n 22 n 2 12(32)n 2a3，当 n2 时，an+1an，即 2 n 2 12(32)n 2a30，12(32)n 2a30，a 9，综上，所求的 a 的取值范围是9，【点评】一般地，如果求条件与前 n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑 Sn与 an的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.题型二 数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分系等差数列和等比数列归纳与猜想数学归纳法比较大小不等式证明参数如考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题考查数列与不等式
8、交汇的数与数列不等式为命题载体有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试学习必备 欢迎下载 析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例 3】已知数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，a37，S424()求数列an的通项公式；()设 p、q 都是正整数，且 p q，证明：Sp+q12(S2pS2q)【分析】根据条件首先利用等差数列的通项公式及前 n 项公式和建立方程组即可解决第()小题；第()小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】（）设等差数列an的公差是 d，依题意得，a12d74a16d24
9、，解得 a13d2，数列an的通项公式为 ana1(n1)d2n1.（）证明：an2n1，Snn(a1an)2n22n 2Sp+q(S2pS2q)2(pq)22(pq)(4p24p)(4q24q)2(pq)2，p q，2Sp+q(S2pS2q)0，Sp+q12(S2pS2q)【点评】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例 4】设数列an满足 a10，an+1can31c，cN*，其中 c 为实数.()证明：an0，1对任意 nN*成立的充分必要条件是
10、 c0，1；()设 0c13，证明：an1(3c)n 1，nN*；（）设 0c13，证明：a12a22 an2n1213c，nN*.【分析】第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前 n 项和求和，再进行适当放缩.【解】（）必要性：a10，a21c，又a20，1，01 c1，即 c0，1.充分性：设 c0，1，对 nN*用数学归纳法证明 an0，1.(1)当 n1 时，a10，1.(2)假设当 nk时，ak0，1(k1)成立，则 ak1cak31cc 1c1，且 ak1cak31c1 c0，ak10，1
11、，这就是说 nk1 时，an0，1.由（1）、（2）知，当 c0，1时，知 an0，1对所胡 nN*成立.综上所述，an0，1对任意 nN*成立的充分必要条件是 c0，1.（）设 0c13，当 n1 时，a10，结论成立.当 n2 时，由 ancan 131c，1anc(1an 1)(1an 1an 12)系等差数列和等比数列归纳与猜想数学归纳法比较大小不等式证明参数如考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题考查数列与不等式交汇的数与数列不等式为命题载体有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试学习必备 欢迎下载 0c13，由()知 an 10，1，所以 1an 1an 123，且 1an 10，1
12、an3c(1an 1)，1an3c(1 an 1)(3c)2(1an 2)(3c)n 1(1a1)(3c)n 1，an1(3c)n 1，nN*.()设 0c13，当 n1 时，a1202213c，结论成立.当 n2 时，由（）知 an1(3c)n 10，an2(1(3c)n 1)212(3c)n 1(3c)(n 1)12(3c)n 1，a12a22 an2a22 an2n123c(3c)2(3c)n 1 n1213c(3c)2(3c)n 11n121(3c)n13cn1213c.【点评】本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意.本题
13、的第()小题实质也是不等式的证明，题型三 求数列中的最大值问题 求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例 5】(08 四川高考)设等差数列an的前n项和为 Sn，若 S410，S515，则 a4的最大值为_.【分析】根据条件将前 4 项与前 5 项和的不等关系转化为关于首项 a1与公差 d 的不等式，然后利用此不等关系确定公差 d 的范围，由此可确定 a4的最大值.【解】等差数列an的前n项和为 Sn，且 S410，S5
14、15，S44a1432d10S55a1542d15，即 a13d5a12d3，a4a13d53d23d53d2a4a13d(a12d)d3 d，53d2a43 d，则 53d6 2d，即 d1.a43 d3 14，故 a4的最大值为 4.【点评】本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差 d 是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.【例 6】等比数列an的首项为 a12002，公比 q12()设 f(n)表示该数列的前 n项的积，求 f(n)的表达式；()当 n 取何值时，f(n)有最大值【分析】第()小题首先利用等比数列的通项公式求数列an的通项，再求得
15、 f(n)的表达式；第()小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值.【解】()an2002(12)n 1，f(n)2002n(12)n(n 1)2 ()由()，得|f(n 1)|f(n)|20022n，则 系等差数列和等比数列归纳与猜想数学归纳法比较大小不等式证明参数如考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题考查数列与不等式交汇的数与数列不等式为命题载体有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试学习必备 欢迎下载 当 n10 时，|f(n 1)|f(n)|20022n1，|f(11)|f(10)|f(1)|，当 n11时，|f(n1)|f(n)|20022n1，|f(11)|f(12)
16、|f(13)|，f(11)0，f(10)0，f(9)0，f(12)0，f(n)的最大值为 f(9)或 f(12)中的最大者 f(12)f(9)200212(12)6620029(12)3620023(12)30(2002210)31，当 n12 时，f(n)有最大值为 f(12)200212(12)66【点评】本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(12)与 f(9)的大小.整个解答过程还须注意 f(n)中各项的符号变化情况.题型四 求解探索性问题 数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件
17、进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例 7】已知an的前 n 项和为 Sn，且 anSn4.()求证：数列an是等比数列；()是否存在正整数 k，使Sk+12Sk22 成立.【分析】第()小题通过代数变换确定数列 an+1与 an的关系，结合定义判断数列an为等比数列；而第()小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.【解】()由题意，Snan4，Sn+1an+14，由两式相减，得(Sn+1an+1)(Snan)0，即 2an+1an
18、0，an+112an，又 2a1S1a14，a12，数列an是以首项 a12，公比为 q12的等比数列.()由()，得 Sn21(12)n112422 n.又由Sk+12Sk22，得421 k2422 k22，整理，得2321 k1，即 12 k 132，kN*，2k 1N*，这与 2k 1(1，32)相矛盾，故不存在这样的 k，使不等式成立.【点评】本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“kN*”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例 8】已知数列an和bn满足：a1，an+123ann4，bn(1)n(an3n21)，其中 为实数，n 为正整数.（）对任意实数 ，证
19、明数列an不是等比数列；（）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）设 0ab,Sn为数列bn的前 n 项和.是否系等差数列和等比数列归纳与猜想数学归纳法比较大小不等式证明参数如考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题考查数列与不等式交汇的数与数列不等式为命题载体有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试学习必备 欢迎下载 存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 aSnb?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.【分析】第()小题利用反证法证明；第()小题利用等比数列的定义证明；第()小题属于存在型问题，解答时就假设 aSnb 成立，由此看是否能推导出存在存在实数.【解】（）证明：假设
20、存在一个实数 ，使an是等比数列，则有 a22a1a3，即(23 3)2(49 4)4924 94924 90，矛盾，所以an不是等比数列.()解：因为 bn+1(1)n+1a n+13(n1)21(1)n+1(23a n2n14)23(a n3n21)23b n，又 b1(18)，所以 当 18 时，bn0(nN*)，此时bn不是等比数列；当 18 时，b1(18)0，由上可知 bn0，bn+1bn23(nN*).故当 18 时，数列bn是以(18)为首项，23为公比的等比数列.()由（）知，当 18，bn0(nN*)，Sn0，不满足题目要求；.18，故知 bn(18)(23)n 1，于是
21、S n35(18)1(23)n 要使 aSnb 对任意正整数 n 成立，即 a35(18)1(23)nb，(nN*).得a1(23)n35(18)b1(23)n，(nN*)令 f(n)1(23)n，则当 n 为正奇数时，1f(n)53，当 n 为正偶数时59f(n)1；f(n)的最大值为 f(1)53，f(n)的最小值为 f(2)59,于是，由 式得59a35(18)35b，b18 3a18，(必须b3a，即b3a).当 ab3a 时，由b18 3a18，不存在实数满足题目要求；当 b3a 存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 aSnb,且 的取值范围是(b18，3a18).【点评】存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方面入手，寻求结论成立的条件，若能找到这个条件，则问题的回答是肯定的；若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾，则问题的回答是否定的.其过程可以概括为假设推证定论.本题解答注意对参数 及项数 n 的双重讨论.系等差数列和等比数列归纳与猜想数学归纳法比较大小不等式证明参数如考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题考查数列与不等式交汇的数与数列不等式为命题载体有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试