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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学方法与精神复习题1. 表达皮亚诺的自然数公理系统；皮亚诺公理, 是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统；起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统；皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法表达如下：三个基本概念：0,数,后继五条公理：1. 0 是一个数；2. 任何数的后继是一个数；3. 如两个数不同,就它们的后继也不同；4. 0 不是任何数的后继；5. 数学归纳法原理；依据这五条公理可以建立皮亚诺所谓的“ 数”是指全部自然数所构成的类,即指包括 0 在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的全部分子,仅假定当我们说这个或那个是一个数时,我们知道我
2、们所指的是什么；皮亚诺以“ 后继” 来代表从数到数的一种对应,这种对应是一对一的,是一部以数造数的机器给一个合适的起始数,潜在地,就足以造出数的全体；这个合适的起始数只有一个,那就是“0” ；“ 0”、“ 数”、“ 后继” 是不加以定义的原始概念,它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述；从皮亚诺的公理系统动身,可以建立起完整的算术理论可以定义数的加法、乘法和大小关系,可以证明已有的全部算术结果；2. 你认为数学可以完全规约为规律吗？论述你的观点；我认为数学并不能完全规约为规律；规律主义学派认为,数学可以完全由规律得到；罗素和怀特相当胜利的把古典数学纳入了一个统一的公理系统,使之能从几个规律
3、概念和公理动身, 再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来；这把规律推理进展到前所未有的高度,使人们看到, 在数理规律演算的基础上能够推演出很多数学内容来,形成了集合论公理系统的规律体系；但后来数理规律中的一些深刻结果（如 Godel不完备性定理）就否定了这种观点；事实上,数学不能完全由规律得到,即,假如要求数学是无冲突的,那么,它就不行能是完备的；数学的确有规律以外的题材,那就是表达式,而且她的最重要的简洁真理是直观的而非规律的 产物；ZFC 系统中存在的非规律公理即能说明这一点；名师归纳总结 3.试述 ZF系统的 MP 规章和 GEN规章；第 1 页,共 9 页-
4、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ZF 的规律演绎规章有两条；这些规章使我们可以把一个公式A 作为某有限个公式A 1,A 2,A m 的直接后承而演绎出来；这两条规章是： 1 分别规章（MP 规章）：从 A 和 A B 可推演出 B,其中A 和 B 是任意两个公式 . modus ponens 2 概括规章（GEN 规章）：从 A 可以推演出 x A,其中A 是任一公式,而 x 是任一变元 . generalisa tion注释 ：1 分别规章对应于日常语 言中进行论证的标准方 式之一：从命题“ 甲包蕴乙” 和“ 甲”分别（即推演）出命题“ 乙” ；通常称
5、“ 甲包蕴乙” 为大前提,“ 甲” 为小前提,而“ 乙” 为结论；因此,分别规章反映的 正是三段论式推理的形 式；2 概括规章对于涉及量词 性质的推理是必要的；一个公式 A 总是或者含有自由变元,或者不含自由变元；前种情形显现时,称 A 是开命题,而后种情形 显现时,称 A 是一个闭命题；对一个开命题 A,记作 A x , y , , z,其中 x , y , , z 表示 A 的全部自由变元,那么z y x A x , y , , z变成了一个闭命题；我 们看到,量词的作用是 对变元加以约束和限制,受到量化的变元就失去 了变元的作用；对于谓词公式,当它是 闭命题时,在论域确定 的情形下,该命
6、题的真假值依靠于谓词的 含义而定；当它是开命 题时,它的真假值一般说来不能谈论,由于它 含有的自由变元没有确 定赋值它不能构成可以判定真假的陈述；4. ZFC 系统的非规律公理有哪些条款？其中哪几条最能表达数学价值而又不能归约为规律？（ZF1）两个集合相等,当且仅当它们有相同的元素；（外延公理）（ZF2）没有元素的集合存在； （空集公理）（ZF3）给出任何集合x 和 y,总存在着集合z,它的元素是x 和 y；（配对公理）z,（ZF4）给出任何集合x,总存在着集合y,它以 x 的元素的元素为元素； （并集公理）（ZF5）给出任何集合x,总存在着集合y,它以 x 的一切子集为元素； （幂集公理）（
7、ZF6）如对于任意的x,恰好存在唯独的y,使得公式Ax,y成立,那么对于任意的集合存在集合 u,使得u = v | 存在 wz ,使得 Aw,v成立 ；（替换公理模式）名师归纳总结 （ZF7）存在一个集合x,它含有无穷多个元素；（无穷公理）（基础公理）第 2 页,共 9 页（ZF8）每个非空集合x 含有一个元素y,y 作为集合与x 无公共元素；（AC） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合x,总存在一个集合y,它与 x 的每个成员恰有一个公共元素；（挑选公理）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ZF2）空集公理和（ZF7）无穷公理（ AC）挑选公理（Z
8、F2）和（ ZF7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上,它们断言的正是空集 . 和自然数集N 存在 ；这两条公理实难作为规律公理看待,它们是干脆的数学公理；因此,将集合论完全划归规律范畴不行能得到数学界的认可；一般认为： 规律主义自定的目标数学化为规律,成为规律的一部分不行能实现；除此之外,挑选公理也被证明是一条数学原理,不能归约为规律；5.自然数系有哪些基本原理？具体表达之；.定 理 2（ 递 归 原 理 ）设S 是 一 个 集 合 ,:SS 为一 个 映 射 ,a是S的 任 一 个 事 先 给 定 的 元 素 ； 那 么 ,存 在 到S的 唯 一 的 映 射 f:S, 满 足f
9、0a,且fnfnn上述定理是我们可以做出递归定义的理论依据；例如,自然数系中的加法和乘法两种运算,都是用递归方式定义的；这两种运算的定义的合理性在本质上基于上面的递归定理；这点我们将在下一讲中看清；定 理 3（ 数 学 归 纳 原 理设Px是一个含有自由变元x的谓词公式,那么名师归纳总结 P0nPnPnnPn.第 3 页,共 9 页注：在使用数学归纳原理去证明数学命题时,必需注意有两个步骤缺一不行：1证明：命题P0真；2证明：命题“ 如Pn真,就Pn真；” 也真；数学归纳原理是最重要而基本的数学原理；它的理论意义在于帮我们超越了有限,达到了无限；而在方法上,它教会我们把问题“ 退” 到最简洁易
10、解的情形,然后再用归纳法飞跃地“ 进” ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定 理 4（与的 统 一 性）对 于 N 与,存 在 唯 一 的 双 射 h:,适 合h 0,且 h n h n .基于上述定理,数学上 与 常不予区分；敬重数学 家们的习惯,我们就将定义 3 作为自然数系的标准定 义；在此我们强调一点：自然数系是存在的集合,无限 公理的引入无非就是为 了确定它在集宇宙中的 合法存在性；既然自然数系具有上述 的统一性,那么对于自 然数系 N,引入其元素的抽象记号就是自然 的；自然数最常用的抽 象记号系统就是它们的 阿拉伯数字表示系统：10,21
11、,32,98,109,这一表示法的合理性由递归原理所保证；6.什么是有限集、无限集和可数集？设 S 是一个集合,我们规定（1）假如存在nN使得 S 与 0,1, , n相像,或S 与 . 相像,就称S 是有限集；否就,称 S 是无限集；（2）假如 S 与 N相像,就称它是可列集；（3）假如 S 是有限集或可列集,就称7. 谈谈你对零的看法；S 是可数集或至多可列集；数学表述着事物复杂的本质,而把巨大的数学体系连成了一个整体的是零；从简洁的计数到复杂的运算, 从估量事物发生的几率到精确知道与我们相关的大事何时达到最大值,这些有力的数学工具都让我们使用这样的摸索方法：一个大事的发生与其他的大事相关
12、,并且全部这些都离不开零这个中心；如：ei +1=0（数学中最重要的常数都集中于此）8. 谈谈你对无限的看法；？无限即无穷, 在数学上, 从哲学上讲 , 从公元前 400 多年前开头对无穷的观念就产生了分歧 ,潜无穷与实无穷的无穷观始终争辩至今 . 潜无穷的无穷观认为无穷是一个永无终止的过程 ;实无穷的无穷观认为无穷是实际存在的 , 无穷是一个可以完成的过程或一个已经生成的对象 .现代数学的主流是以经典数学为基础的,经典数学以 ZFC公理集合论系统为基础,承认无穷集合的存在, 故经典数学接受实无穷观,同时也不排斥无穷作为一个过程存在,可以认为经典数学中的无穷观是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观；
13、高校数学学习的是经典数学,故而高校数学中的无穷观应是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观；9.谈谈你对算术运算的看法（将同一运算在不同数系中的功能作一比较）；你觉得算术运算的威力表现在哪里？算术运算就是数的加、减、乘、除以及乘方开方等数学运算,区分于几何运算；对于算术来说,它是数学中最古老, 最基础和最初等的部分. 它讨论数的性质及其运算. 把数和数的性质,数和数之间的四就运算在应用过程中的体会积存起来, 并加以整理 , 就形成了最古老的一门数学算术；其威力表现在无穷、规律、结构、迭代和心灵信条；通过算术运算,数系从自名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - -
14、 - - - - - - - 然数系逐步拓展到实数系,而这整个过程的推导是内在统一的,算术运算的威力就表达在这个地方；10. 从自然数到整数,再到有理数,这样,数系被扩充得与直线几近一样；这在毕达哥 拉斯看来,数与形达成了统一；你认为有理数系与直线达成统一了吗？为什么？并未完全统一； 通过引入无理数系,与有理数系共同构成的完备有序数系实数系,才真正与直线达成统一；由于：毕达哥拉斯学派后来发觉,并不是任意两条线段都是可共度的；例如,正方形的对角线与其一边就构成了不行公度的一对线段,数学危机；11. 谈谈你对实数的熟悉？从而引发了数学史上第一次实数是数学中最基本的概念之一；实数与数轴上的点可以一一
15、对应；实数包括有理数与无理数,而从欧几里得以来,人们都把它们懂得为单位长线段可公度与不行公度的线段的长度；从实数进展得历史来看,虽然从毕达哥拉斯学派那时起就有人意识到了无理数得存在,到17 世纪,人们对实数的使用已经习以为常,并开头脱离其几何原型抽象地熟悉实数；但到19 世纪中叶,在分析严格化的进程中,由于一些事实无法证明（例如,柯西无法证明自己提出的收敛准就的充分性）,一些证明出了错 （如波尔查诺对连续函数介值性的证明）,人们才发觉对实数特殊是无理数的熟悉任然模糊不清,这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题； 通过他们的努力,最终在将近半个世纪的时间里,建立了多种形式上不同,而实质上等价的
16、严格的实数理论；各种形式的构造性实数理论,都是第一从有理数动身去定义无理数,也就是说,数轴上有理点之间的全部间隙（无理点）,都可以由有理数经过肯定的方式来确定；然后证明这样定义的实数（原有的有理数和新定义的无理数）具有人们原先熟知的实数所应有的一切性质,特殊是连续性； 这些形式上不同的实数理论也就因确定间隙的方法不同而相互区分, 它们主要有： 戴德金用有理数的分割的方法,康托尔用有理数的基本列的方法,魏尔斯特拉斯用无穷（非循环） 十进小数的方法, 以及用端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法；站在现代数学的立场来看,上述各种方法都是从假定实数具有某种特性动身的 （如戴德金的方法假定了实
17、数的连续性,康托尔假定的是完备性,而用闭区间套的方法反映了实轴上有界闭集的紧性）定义出的实数都是完全相同的；,而这些特性在实数范畴内都是等价的,因而用这些方法12. 证明或说明2、 3、 5 是无理数；证法一： 1 假设 2 是有理数,即可写成两个不能约分的整数之比,设2=p/q, 两边平方得 p2/q 2=2,p2=2q2p 是偶数,设p=2m 2m 2=2q24m2=2q2q2=2m2q 也是偶数,明显这与p,q 不能约分冲突,故2 不是有理数,是无理数；（2）假设 3 是有理数； 12 3222 1 32, 所以 3 不是整数,设3=p/q ,p和 q 互质；把3=p/q 两边平方 3=
18、p2/q2 3q2=p2 3q2 是 3 的倍数数, p 必定 3 的倍数,设 p=3k 3q2=9k2 q2=3k2 同理 q 也是 3 的倍数数,这与前面假设 p,q 互质冲突,故3 是无理数；（3）假设 5 是有理数, 就设 5=p/qp,q是正整数, 且互为质数； 两边平方得, 5=p2/q2, p2=5q2*,p2 含有因数 5,设 p=5m代入 * ,25m2=5q2, q2=5m2,q2 含有因数 5,即 q 有因数 5,就 p,q 有公约数 5,这与原假设 p,q 互质冲突,故5 是无理数；证法二： 由于无理数可以用无限连分数表示,（1）已知 2 的连分数表示法如下：名师归纳总
19、结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2是二次方程x220的正根,因此x1x1,1即x1x11.于是,x1x11111221111故 2 是无理数；2x12x1111111x.1222x1222（2）同理可证,3、 5 是无理数；13. 通过实数的连分数表示谈谈你对“ 万物皆数” 的熟悉；（1）实数分为有理数和无理数,而它们均可以通过有限或无限次连分数来表示；（2）“ 万物皆数” 里的“ 数” 指的是自然数,而任何有理数和无理数均可以用有限或无限个自然数通过四就运算得到；14. 混沌动力系统有哪些特性？评 注：对任意的mN,由的连
20、续性,0；lim nsup0 k mdkxn,kx0由于lim ndxn,x因此,对动力系统做短程猜测总是可行的；那么,对动力系统能否做长期预测呢？混沌动力系统,具对 初 值 的 敏 感 依 赖 性,于是x和xn都无关；lim nsup k 0dkxn,kx0留意0与所以,对混沌系统,原就上不能做长期猜测；混沌系统的这一属性对科学界在熟悉论和方法论方面具有重要意义和影响；想一想科学界好不简洁达成的“ 永动机” 不行制造的共识,就不难懂得混沌动力系统为什么对科学界具有重要意义和影响了；混沌动力系统的 拓 扑 传 递 性,意味着这种系统的不 可分解性,即,混沌系统不能分解成两个相 互无干的子系统,
21、亦即,: X X 不能同时有这样的两个 不 变 子 集 A 和 B,使得A 与 B 都 是 非 空 的 , 即 开 又 闭 的 , 并 且 A B X , A B；混沌系统的 周 期 点 稠 密 性 就反映出这种系统中存 在着肯定的规章因素；15. 分形集合有什么特点？分形可具有分数维度：不同于整数维度的一维线段,二维矩形, 分形所具有的维度可以是非整数的,称作分数维；分形具有自相像性：对于同一个分形结构,自相像就是尺度一层一层缩小的结构重复性,它们不仅在越来越小的尺度里重复细节,而且是以某种固定的方式将细节缩小尺寸,造成某种循环重现的复杂景象；名师归纳总结 - - - - - - -第 6
22、页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分形具有尺度无关性：对于同一个分形结构,以不同大小的量尺来量度可观看的区域,分形会具有一样的分数维度和自相像方式；例如,假如我们不同程度地放大或缩小科赫雪花曲线,我们会发觉图形的复杂度,或折迭程度,或粗糙程度并未因此而转变；16. 迭代在描述混沌和分形的数学模式中是怎样发挥威力的？具体论述你的论点；（1）迭代这一数学模式成为描述打算性系统的抱负工具；从数学的角度看,一个映射 :SS 可以代表某种因果规律,其定义域 S 用于表示系统的各种可能状态构成的集合；设 x0S 表示一个初始状态,那么由状态 x0 到下一个状态 x0 就是因果
23、规律 在起作用；设想这种规律相继地不断作用下去,我们就会得到一个状态的序列即迭代序列：x0, x1= x0 , x2 = x1 , x3 = x2 , ；而动力系统理论的基本目的就是明白一个迭代过程之最终的或渐进的性态；（2）迭代与分形： 康托三分集的构造是无限次使用给定的迭代模式； 简洁迭代的无限次使用能使二维正方形由一条曲线填满；通过图形迭代产生分形图的过程说明, 迭代规章比较简洁,但产生的结果却反常神奇复杂,且这些图形很好地反映出了分形几何具有自相像性的层次结构；17. 什么是拓扑空间？什么是连续映射？举一个拓扑空间的例子和一个连续映射的例子；拓 扑 空 间 的 定 义：设 X 是 一
24、个 集 合,是 X 的 一 个 子 集 族；如 果1 X 和 属 于,2 中 任 意 多 个 集 合 的 并 属,3 中 任 意 有 限 多 个 集 合 的 交 属 于,那 么 称 为 X 上 的 一 个 拓 扑,并 将 中 的 每 个 集 合 都 称 作 一 个 开 集；此 时 称 X ,为 一 个 拓 扑 空 间,或 简 称 X 是 一 个 拓 扑 空 间；连续映射的定义：设 X , Y 是拓扑空间,f : X Y 是一个映射；假如对 Y 的任意1开集 V,f V 必是 X 的一个开集,那么称 f : X Y 是一个连续映射；例子： M.bius 带的制造、环面的制造、Klein 带的制造
25、恒同映射,常值映射；18. 什么是同胚映射？什么是拓扑不变量？举一个同胚的例子和一个拓扑不变量的例子；设 X 和 Y 是拓扑空间；假如 f ：XY 是一一映射,并且 f 及其逆 g：YX 都是连续的,就称 f 是一个同胚映射,或称拓扑变换,或简称同胚；当存在 X 到 Y 的同胚映射时,称 X与 Y 同胚,记作 XY；例如：平面内的正方形和圆同胚；拓扑眼观看到的空间是没有定形的,它观看一个空间时,只关注与这个空间拓扑等价的全体空间所共有的性质,这种性质称作拓扑性质,或拓扑不变量；例如：稠密性、可分性、紧致性、连通性, Hausdorff分别性、 正就性、 正规性, 有边与无边、 可定向与不行定向
26、,维数、Euler 示性数,同调群、同伦群；19. 按布尔巴基学派的观点,数学有哪几种基本的结构？结构观概括了数学学科的那些特点？谈谈你的熟悉；一种叫做代数结构； 集合上有了运算, 能够从两个元素生出第三个来,就叫做有了代数结构；一种叫序结构；集合中某些元素之间有先后次序关系,就叫做有了序结构；仍有一种叫做拓扑结构；它用来描述连续性、分别性、邻近、边界等这些空间性质；三种基本的数学结构恰好是现实世界的基本关系与形式在我们头脑中的反映：代数结构 运算 来自数量关系；序结构 先后 来自时间观念；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - -
27、- - 拓扑结构 连续性 来自空间体会；20. 表达希尔伯特空间定义,并证明：线性代数中所讲的欧氏空间和酉空间都是希尔伯特空间；定 义 内积空间 H , , 可以引入一个自然的度 量如下：x , y : x y x , y H .假如 是 H 上的完备度量,即,在 度量 下,H 中的任何柯西点列 x n都是收敛点列,那么称 内积空间 H , , 是希尔伯特空间；21. 试论数学的威力、超越性和美；数学美是普遍存在的 ,并不是牵强附会地或者说是对美学概念的滥用；古希腊的毕达哥拉斯学派认为万物皆源于数 , 美的成效只能从探求数量比例的和谐中去寻求；假如没有数学和数的性质 , 世界上任何事物本身或其
28、与其它事物的关系都是不能为人们所懂得的；也正是从这一美学思想动身 , 该学派提出了天体运动必需是均匀的圆周运动的基本假说和星体是球形的美学原就； 柏拉图极度推崇毕氏的万物皆数的原就, 认为对自然界超感觉的数学结构的追求 , 不仅是对确定学问真的追求 , 也是对美的追求；牛顿在科学讨论中 , 正是充分利用了他的数学才能和数学美感 ,把数学美转化为表现物质运动状态的方程式；其实 , 无论是文学创作仍是艺术家形象的塑造 , 都是与数学模型的建立过程有着本质上的一样；L. E. 伯尔兹曼曾说: 既然一个音乐家能从头几个音节中辨别出他的莫扎特、贝多芬 , 那么一个数学家也可以从前几页文章中识别出他的柯西
29、、欧拉和高斯等人；例如约束极值的拉格朗日乘子法 , 对目标函数和约束在求极值上的一视同仁 , 以显示出均匀、和谐的数学美 , 给我们留下了拉格朗日个人的风格 ; 拉普拉斯变换的普遍反演公式 , 以复变函数积分形式达到原函数 , 显示出某一种珍奇、特殊的美 , 深深地打上了拉氏的印记；从另一方面讲 , 数学家讨论数学 , 并不是由于这样做有多大的好处 , 而是由于他认为他能够从中得到某种乐趣 , 他认为数学是美的；这里所说的美 , 不是给我们那种感官上的印象之美 , 也不是质地美和表现美 , 而是数学那种深层次的美 , 这种美在于每个部分秩序的和谐 , 与自然界的和谐 , 与人心理和生理上的和谐
30、 , 引起情感上的剧烈共鸣 , 并且能为纯粹的理智所把握；结构、规律、无穷、心灵力气与信仰22. 试论数学的统一性；.历史上,哲学家与数学家很早就试图把数学统一起来,那时数学要比今日简洁的多；在毕达哥拉斯时代,只有算术和几何；毕达哥拉斯做了第一次尝试,试图把数学统一于自然数；这次尝试由于无理数的发觉而以失败告终；. 以后相当长的时间里,人们寄期望于几何,期望把数学统一于欧几里得几何；最终发觉,连几何也是不统一的,人们的期望又破灭了；. 莱布尼兹、弗雷格和罗素都期望把数学统一于规律,使巨大的、复杂的、内容丰富的数学归结为特别通俗的、直观的、易于洞悉的规律,结果导出了极不通俗、极为复杂而令人难以洞
31、悉的层次理论和可化归公理；.直觉主义流派的布劳尔和形式主义流派的希尔伯特,又期望数学统一于算术；结果,连算术也不是统一的这是哥德尔定理的推论；. 最终,数学家和规律学家寄期望于把数学统一于康托开创的集合论；但是,哥德尔和库恩对挑选公理的讨论成果说明,集合论自身就是难于统一的；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 在经过这些试图把数学统一起来的努力都失败之后,数学反倒变得更加朝气蓬勃,更加丰富多彩,更加多样化了；数学不断地用新成果使自己壮大,不断地修改着、改组着自己的理论而生出新的分支,以致使人产生一种感觉：数学不是具
32、有统一对 象和统一方法的科学,而是一系列建立在局部的、相互之间有千丝万缕联系的精确 确定的概念之上的学科；. 法国的布尔巴基学派提出了与此相反的观点；他们认为：别看外部现象是多么光怪 陆离、五光十色,其实,数学由于内部的进化,比任何时候都巩固了它的各部分的 统一,并且建立起比任何时候都更加有联系的整体,形成了数学所特有的中心的核 心；总的来看,（ 1）数学的各个部分是相互联系相互支持的,由于各部分相互沟通、相互 促进而进展； 数学由于内部的进化,比任何时候都巩固了它的各部分的统一,并且建立起比 形成了数学所特有的中心的核心；（2）数学的各种理论之间 任何时候都更加有联系的整体,的关系是可以系统化的,可以用“ 公理方法” 作统一的总结；（3）结构观用整体的观点看数学,着眼于数学各部门的内在联系,把数学统一到结构的观点上,是符合辩证唯物主义熟悉论的；总之,数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的表达；它有两方面表现： 一是数学对其他科学的统一,二是数学本身的统一；它是普遍联系和对立统一辩证思想的具体表达；23. 试论数学精神；（1）心灵的单纯、自由、超越、信条；（2 理性精神、求真精神、创新精神、统一性精神；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页