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1、数学方法与精神复习题1.叙述皮亚诺的自然数公理系统。皮亚诺公理， 是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：三个基本概念：0，数，后继五条公理：1.0 是一个数。2.任何数的后继是一个数。3.若两个数不同，则它们的后继也不同。4.0 不是任何数的后继。5.数学归纳法原理。皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0 在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应
2、是一对一的，是一部以数造数的机器给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。这个合适的起始数只有一个，那就是“ 0” 。“0” 、 “数”、 “后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。2.你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的观点。我认为数学并不能完全规约为逻辑。逻辑主义学派认为，数学可以完全由逻辑得到。罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发， 再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大
3、部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到， 在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系。但后来数理逻辑中的一些深刻结果（如Godel不完备性定理）则否定了这种观点。事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是无矛盾的，那么，它就不可能是完备的。数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的而非逻辑的 产物。ZFC 系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。3.试述 ZF系统的 MP 规则和 GEN规则。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页t
4、iongeneralisa.是任一变元是任一公式，而，其中可以推演出规则）：从GEN概括规则（)2(ponensmodus.是任意两个公式和，其中可推演出和规则）：从MP分离规则（)1(这两条规则是：。的直接后承而演绎出来,作为某有限个公式式把一个公；这些规则使我们可以的逻辑演绎规则有两条ZF21xAAxABABBAAAAAAm注释：。成可以判断真假的陈述它不能构定赋值含有的自由变元没有确说来不能谈论，因为它题时，它的真假值一般含义而定；当它是开命的真假值依赖于谓词的的情况下，该命题闭命题时，在论域确定对于谓词公式，当它是了变元的作用。受到量化的变元就失去，对变元加以约束和限制们看到，量词的作
5、用是变成了一个闭命题。我,变元，那么的所有自由表示,，其中,，记作对一个开命题是一个闭命题。出现时，称是开命题，而后种情形形出现时，称前种情，或者不含自由变元；总是或者含有自由变元一个公式性质的推理是必要的。概括规则对于涉及量词2式。正是三段论式推理的形因此，分离规则反映的“乙”为结论。，“甲”为小前提，而“甲蕴含乙”为大前提“乙”。通常称分离（即推演）出命题“甲蕴含乙”和“甲”式之一：从命题言中进行论证的标准方分离规则对应于日常语1zyxAxyzAzyxzyxAAAAA4.ZFC系统的非逻辑公理有哪些条款？其中哪几条最能体现数学价值而又不能归约为逻辑？（ZF1）两个集合相等，当且仅当它们有相
6、同的元素。（外延公理）（ZF2）没有元素的集合存在。（空集公理）（ZF3）给出任何集合x 和 y，总存在着集合z，它的元素是x 和 y。（配对公理）（ZF4）给出任何集合x，总存在着集合y，它以 x 的元素的元素为元素。 （并集公理）（ZF5）给出任何集合x，总存在着集合y，它以 x 的一切子集为元素。 （幂集公理）（ZF6）若对于任意的x，恰好存在唯一的y，使得公式A(x,y)成立，那么对于任意的集合z，存在集合u，使得u = v | 存在 wz ，使得 A(w,v)成立。（替换公理模式）（ZF7）存在一个集合x，它含有无穷多个元素。（无穷公理）（ZF8）每个非空集合x 含有一个元素y，y
7、作为集合与x 无公共元素。（基础公理）（AC） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合x，总存在一个集合y，它与 x 的每个成员恰有一个公共元素。（选择公理）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页（ZF2）空集公理和（ZF7）无穷公理（AC ）选择公理（ZF2）和（ ZF7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上，它们断言的正是空集 ? 和自然数集N 存在 。这两条公理实难作为逻辑公理看待，它们是干脆的数学公理。因此，将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。一般认为： 逻辑主义自定的目标数学化为逻辑，成为逻
8、辑的一部分不可能实现。除此之外，选择公理也被证明是一条数学原理，不能归约为逻辑。5.自然数系有哪些基本原理？详细叙述之。看清。这点我们将在下一讲中基于上面的递归定理。本质上运算的定义的合理性在归方式定义的；这两种是用递法和乘法两种运算，都例如，自然数系中的加。出递归定义的理论依据上述定理是我们可以做.,0:nnfnfafSfSSaSSS且， 满 足的 唯一 的 映 射存 在 到素 。 那 么 ，的任 一个 事先 给 定 的 元是一 个映 射，为是 一个 集合 ，设（递 归原 理 ）定 理 2“进”。然后再用归纳法飞跃地的情形，题“退”到最简单易解法上，它教会我们把问而在方了有限，达到了无限；论
9、意义在于帮我们超越的理而基本的数学原理。它数学归纳原理是最重要真。”也真。真，则证明：命题“若2真；0证明：命题1：意有两个步骤缺一不可必须注理去证明数学命题时，注：在使用数学归纳原.0谓词公式，那么的是一个含有自由变元设nPnPPnPnnPnPnPxxP）定 理 3（ 数 学 归纳 原理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页递归原理所保证。这一表示法的合理性由,910,89,23,12,01拉伯数字表示系统：阿象记号系统就是它们的的。自然数最常用的抽素的抽象记号就是自然，引入其元N然数系的统一性，那么对于自既然自然数系
10、具有上述法存在性。合了肯定它在集宇宙中的公理的引入无非就是为系是存在的集合，无限：自然数义。在此我们强调一点作为自然数系的标准定3我们就将定义家们的习惯，常不予区分。尊重数学与基于上述定理，数学上.，0，:，）（nhnhhh且适 合存 在唯 一 的 双 射对 于 N 与的 统 一 性与定 理 46.什么是有限集、无限集和可数集？设 S是一个集合，我们规定（1）如果存在nN使得 S与 0，1， n相似，或S与 ? 相似，则称S是有限集；否则，称 S是无限集。（2）如果 S与 N相似，则称它是可列集。（3）如果 S是有限集或可列集，则称S是可数集或至多可列集。7.谈谈你对零的看法。数学表述着事物复
11、杂的本质，而把庞大的数学体系连成了一个整体的是零。从简单的计数到复杂的运算， 从估计事物发生的几率到精确知道与我们相关的事件何时达到最大值，这些有力的数学工具都让我们使用这样的思考方法：一个事件的发生与其他的事件相关，并且所有这些都离不开零这个中心。如：ei +1=0（数学中最重要的常数都集中于此）8.谈谈你对无限的看法。？无限即无穷， 在数学上， 从哲学上讲 , 从公元前400 多年前开始对无穷的观念就产生了分歧,潜无穷与实无穷的无穷观一直争论至今. 潜无穷的无穷观认为无穷是一个永无终止的过程;实无穷的无穷观认为无穷是实际存在的, 无穷是一个可以完成的过程或一个已经生成的对象.现代数学的主流
12、是以经典数学为基础的，经典数学以ZFC公理集合论系统为基础，承认无穷集合的存在， 故经典数学接受实无穷观，同时也不排斥无穷作为一个过程存在，可以认为经典数学中的无穷观是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。大学数学学习的是经典数学，故而大学数学中的无穷观应是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。9.谈谈你对算术运算的看法（将同一运算在不同数系中的功能作一比较）。你觉得算术运算的威力表现在哪里？算术运算就是数的加、减、乘、除以及乘方开方等数学运算，区别于几何运算。对于算术来说， 它是数学中最古老, 最基础和最初等的部分. 它研究数的性质及其运算. 把数和数的性质,数和数之间的四则运算在应用过程中的经验积累起
13、来, 并加以整理 , 就形成了最古老的一门数学算术。其威力表现在无穷、逻辑、结构、迭代和心灵信条。通过算术运算，数系从自精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页然数系逐步拓展到实数系，而这整个过程的推导是内在统一的，算术运算的威力就体现在这个地方。10. 从自然数到整数，再到有理数，这样，数系被扩充得与直线几近一样。这在毕达哥拉斯看来，数与形达成了统一。你认为有理数系与直线达成统一了吗？为什么？并未完全统一。 通过引入无理数系，与有理数系共同构成的完备有序数系实数系，才真正与直线达成统一。因为：毕达哥拉斯学派后来发现，并不
14、是任意两条线段都是可共度的。例如，正方形的对角线与其一边就构成了不可公度的一对线段，从而引发了数学史上第一次数学危机。11. 谈谈你对实数的认识？实数是数学中最基本的概念之一。实数与数轴上的点可以一一对应。实数包括有理数与无理数，而从欧几里得以来，人们都把它们理解为单位长线段可公度与不可公度的线段的长度。从实数发展得历史来看，虽然从毕达哥拉斯学派那时起就有人意识到了无理数得存在，到17 世纪，人们对实数的使用已经习以为常，并开始脱离其几何原型抽象地认识实数。但到19 世纪中叶，在分析严格化的进程中，由于一些事实无法证明（例如，柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性），一些证明出了错 （如波尔查
15、诺对连续函数介值性的证明），人们才发现对实数特别是无理数的认识任然模糊不清，这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题。 通过他们的努力，终于在将近半个世纪的时间里，建立了多种形式上不同，而实质上等价的严格的实数理论。各种形式的构造性实数理论，都是首先从有理数出发去定义无理数，也就是说，数轴上有理点之间的所有空隙（无理点），都可以由有理数经过一定的方式来确定。然后证明这样定义的实数（原有的有理数和新定义的无理数）具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质，特别是连续性。 这些形式上不同的实数理论也就因确定空隙的方法不同而互相区分， 它们主要有： 戴德金用有理数的分割的方法，康托尔用有理数的基本列的方
16、法，魏尔斯特拉斯用无穷（非循环） 十进小数的方法，以及用端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。站在现代数学的立场来看，上述各种方法都是从假定实数具有某种特性出发的 （如戴德金的方法假定了实数的连续性，康托尔假定的是完备性，而用闭区间套的方法反映了实轴上有界闭集的紧性），而这些特性在实数范围内都是等价的，因而用这些方法定义出的实数都是完全相同的。12. 证明或说明2、 3、 5 是无理数。证法一： (1) 假设 2 是有理数，即可写成两个不能约分的整数之比，设2=p/q, 两边平方得 p2/q 2=2，p2=2q2p 是偶数，设p=2m (2m) 2=2q24m 2=2q2q2=2m
17、2q 也是偶数，显然这与p,q 不能约分矛盾，故2 不是有理数，是无理数。（2）假设 3 是有理数。 12 ( 3)222 1 32, 所以 3 不是整数，设3=p/q ，p和 q 互质。把3=p/q 两边平方 3=(p2)/(q2) 3(q2)=p2 3q2是 3 的倍数数， p 必定 3 的倍数，设 p=3k 3(q2)=9(k2) q2=3k2 同理 q 也是 3 的倍数数，这与前面假设p，q 互质矛盾，故3 是无理数。（3）假设 5 是有理数， 则设 5=p/q(p,q是正整数， 且互为质数。 两边平方得， 5=p2/q2, p2=5q2(*)，p2 含有因数 5，设 p=5m代入 (
18、*) ，25m2=5q2, q2=5m2，q2 含有因数5，即 q 有因数 5，则 p,q 有公约数5，这与原假设p,q 互质矛盾，故5 是无理数。证法二： 由于无理数可以用无限连分数表示，（1）已知 2 的连分数表示法如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页故 2 是无理数。（2）同理可证，3、 5 是无理数。13. 通过实数的连分数表示谈谈你对“万物皆数”的认识。（1）实数分为有理数和无理数，而它们均可以通过有限或无限次连分数来表示。（2） “万物皆数”里的“数”指的是自然数，而任何有理数和无理数均可以用有限或无
19、限个自然数通过四则运算得到。14. 混沌动力系统有哪些特性？在着一定的规则因素。则反映出这种系统中存混沌系统的。，使得和两个不能同时有这样的:，互无干的子系统，亦即系统不能分解成两个相可分解性，即，混沌，意味着这种系统的不混沌动力系统的要意义和影响了。界具有重动力系统为什么对科学共识，就不难理解混沌“永动机”不可制造的达成的想一想科学界好不容易具有重要意义和影响。在认识论和方法论方面科学界混沌系统的这一属性对则上不能做长期预测。所以，对混沌系统，原；都无关和与0注意0,dsuplim，于是混沌动力系统，具测呢？长期预么，对动力系统能否做程预测总是可行的。那因此，对动力系统做短；0,dlim因为
20、0,dsuplim的连续性，由：对任意的00周 期 点 稠 密 性,的 ， 并 且都 是 非 空 的 ， 即 开 又 闭与不 变 子 集拓 扑 传 递 性对 初 值 的 敏 感 依 赖 性评 注BAXBABABAXXxxxxxxxxmnknkknnnknkmknN15. 分形集合有什么特点？分形可具有分数维度：不同于整数维度的一维线段，二维矩形， 分形所具有的维度可以是非整数的，称作分数维。分形具有自相似性：对于同一个分形结构，自相似就是尺度一层一层缩小的结构重复性，它们不仅在越来越小的尺度里重复细节，而且是以某种固定的方式将细节缩小尺寸，造成某种循环重现的复杂景象。.212121112121
21、211121211121121111.111, 1110222xxxxxxxxxxx于是，即的正根，因此是二次方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页分形具有尺度无关性：对于同一个分形结构，以不同大小的量尺来量度可观察的区域，分形会具有一致的分数维度和自相似方式。例如，如果我们不同程度地放大或缩小科赫雪花曲线，我们会发现图形的复杂度，或折迭程度，或粗糙程度并未因此而改变。16. 迭代在描述混沌和分形的数学模式中是怎样发挥威力的？详细论述你的论点。（1）迭代这一数学模式成为描述决定性系统的理想工具。从数学的角度看，一个映
22、射:SS 可以代表某种因果规律，其定义域 S 用于表示系统的各种可能状态构成的集合。设 x0S 表示一个初始状态，那么由状态 x0 到下一个状态(x0) 就是因果规律在起作用；设想这种规律相继地不断作用下去，我们就会得到一个状态的序列即迭代序列：x0， x1=(x0) ， x2 = (x1) ， x3 = (x2) ，。而动力系统理论的基本目的就是了解一个迭代过程之最终的或渐进的性态。（2）迭代与分形： 康托三分集的构造是无限次使用给定的迭代模式； 简单迭代的无限次使用能使二维正方形由一条曲线填满。通过图形迭代产生分形图的过程表明， 迭代规则比较简单，但产生的结果却异常奇妙复杂，且这些图形很好
23、地反映出了分形几何具有自相似性的层次结构。17. 什么是拓扑空间？什么是连续映射？举一个拓扑空间的例子和一个连续映射的例子。，,；，3，2，1。，：是一 个 拓 扑空 间或简 称为 一个 拓 扑 空间此 时 称个开 集中的 每 个 集合 都 称作 一并 将上的 一个 拓 扑为那 么称交属 于中任 意 有限 多个 集 合 的于中 任 意 多个 集合 的 并 属属 于和如 果的 一 个 子集 族是是 一个 集 合设拓扑 空 间的 定义XXXXXX。:，。:，,：1是一个连续映射那么称的一个开集必是开集的任意如果对是一个映射是拓扑空间设连续映射的定义YXfXVfVYYXfYX例子： M?bius 带
24、的制造、环面的制造、Klein 带的制造恒同映射，常值映射。18. 什么是同胚映射？什么是拓扑不变量？举一个同胚的例子和一个拓扑不变量的例子。设 X和 Y 是拓扑空间。如果f ：XY 是一一映射，并且f 及其逆 g：YX都是连续的，则称 f 是一个同胚映射，或称拓扑变换，或简称同胚。当存在X 到 Y的同胚映射时，称X与 Y同胚，记作XY。例如：平面内的正方形和圆同胚。拓扑眼观察到的空间是没有定形的，它观察一个空间时，只关注与这个空间拓扑等价的全体空间所共有的性质，这种性质称作拓扑性质，或拓扑不变量。例如：稠密性、可分性、紧致性、连通性， Hausdorff分离性、 正则性、 正规性， 有边与无
25、边、 可定向与不可定向，维数、Euler 示性数，同调群、同伦群。19. 按布尔巴基学派的观点，数学有哪几种基本的结构？结构观概括了数学学科的那些特点？谈谈你的认识。一种叫做代数结构。 集合上有了运算， 能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。还有一种叫做拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界等这些空间性质。三种基本的数学结构恰好是现实世界的基本关系与形式在我们头脑中的反映：代数结构 运算 来自数量关系；序结构 先后 来自时间观念；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
26、 - -第 7 页，共 9 页拓扑结构 连续性 来自空间经验。20. 叙述希尔伯特空间定义，并证明：线性代数中所讲的欧氏空间和酉空间都是希尔伯特空间。21. 试论数学的威力、超越性和美。数学美是普遍存在的,并不是牵强附会地或者说是对美学概念的滥用。古希腊的毕达哥拉斯学派认为万物皆源于数, 美的效果只能从探求数量比例的和谐中去寻求。如果没有数学和数的性质 , 世界上任何事物本身或其与其它事物的关系都是不能为人们所理解的。也正是从这一美学思想出发, 该学派提出了天体运动必须是均匀的圆周运动的基本假说和星体是球形的美学原则。 柏拉图极度推崇毕氏的万物皆数的原则, 认为对自然界超感觉的数学结构的追求
27、, 不仅是对绝对知识真的追求, 也是对美的追求。牛顿在科学研究中, 正是充分利用了他的数学才能和数学美感,把数学美转化为表现物质运动状态的方程式。其实, 无论是文学创作还是艺术家形象的塑造, 都是与数学模型的建立过程有着本质上的一致。L. E. 伯尔兹曼曾说: 既然一个音乐家能从头几个音节中辨别出他的莫扎特、贝多芬 , 那么一个数学家也可以从前几页文章中识别出他的柯西、欧拉和高斯等人。例如约束极值的拉格朗日乘子法, 对目标函数和约束在求极值上的一视同仁, 以显示出匀称、和谐的数学美, 给我们留下了拉格朗日个人的风格; 拉普拉斯变换的普遍反演公式, 以复变函数积分形式达到原函数, 显示出某一种珍
28、奇、独特的美, 深深地打上了拉氏的印记。从另一方面讲, 数学家研究数学, 并不是因为这样做有多大的益处, 而是因为他认为他能够从中得到某种乐趣, 他认为数学是美的。这里所说的美, 不是给我们那种感官上的印象之美 , 也不是质地美和表现美, 而是数学那种深层次的美, 这种美在于每个部分秩序的和谐, 与自然界的和谐, 与人心理和生理上的和谐, 引起情感上的强烈共鸣, 并且能为纯粹的理智所掌握。结构、逻辑、无穷、心灵力量与信仰22. 试论数学的统一性。?历史上，哲学家与数学家很早就试图把数学统一起来，那时数学要比今天简单的多。在毕达哥拉斯时代，只有算术和几何。毕达哥拉斯做了第一次尝试，试图把数学统一
29、于自然数。这次尝试由于无理数的发现而以失败告终。?以后相当长的时间里，人们寄希望于几何，希望把数学统一于欧几里得几何。最后发现，连几何也是不统一的，人们的希望又破灭了。?莱布尼兹、弗雷格和罗素都希望把数学统一于逻辑，使庞大的、复杂的、内容丰富的数学归结为非常通俗的、直观的、易于洞察的逻辑，结果导出了极不通俗、极为复杂而令人难以洞察的层次理论和可化归公理。?直觉主义流派的布劳尔和形式主义流派的希尔伯特，又希望数学统一于算术。结果，连算术也不是统一的这是哥德尔定理的推论。?最后，数学家和逻辑学家寄希望于把数学统一于康托开创的集合论。但是，哥德尔和库恩对选择公理的研究成果表明，集合论自身就是难于统一
30、的。是希尔伯特空间。内积空间都是收敛点列，那么称中的任何柯西点列下，度量上的完备度量，即，在是如果量如下：可以引入一个自然的度内积空间,.,:,HxHHHyxyxyxHn定 义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页?在经过这些试图把数学统一起来的努力都失败之后，数学反倒变得更加生机勃勃，更加丰富多彩，更加多样化了。数学不断地用新成果使自己壮大，不断地修改着、改组着自己的理论而生出新的分支，以致使人产生一种感觉：数学不是具有统一对象和统一方法的科学，而是一系列建立在局部的、相互之间有千丝万缕联系的精确确定的概念之上的学科。
31、?法国的布尔巴基学派提出了与此相反的观点。他们认为：别看外部现象是多么光怪陆离、五光十色，其实，数学由于内部的进化，比任何时候都巩固了它的各部分的统一，并且建立起比任何时候都更加有联系的整体，形成了数学所特有的中央的核心。总的来看，（1）数学的各个部分是相互联系相互支持的，由于各部分相互沟通、相互促进而发展。 数学由于内部的进化，比任何时候都巩固了它的各部分的统一，并且建立起比任何时候都更加有联系的整体，形成了数学所特有的中央的核心。（2）数学的各种理论之间的关系是可以系统化的，可以用“公理方法”作统一的总结。（3）结构观用整体的观点看数学，着眼于数学各部门的内在联系，把数学统一到结构的观点上，是符合辩证唯物主义认识论的。总之，数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它有两方面表现：一是数学对其他科学的统一，二是数学本身的统一。它是普遍联系和对立统一辩证思想的具体体现。23. 试论数学精神。（1）心灵的单纯、自由、超越、信条。（2) 理性精神、求真精神、创新精神、统一性精神。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页