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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学 海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的,因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时,功倍之效；应先想到用定义求解, 常会有事半例 1 的三边、 成等差数列且满意,、两点、；求顶点的轨迹；的坐标分别是分析：数列与解析几何相联系,往往构成综合性较大的题目,历来是高考考查的热点之一；名师归纳总结 解析：、 成等差数列,即,第 1 页,共 5 页又,；依据椭圆的定义,易得点的轨迹方程为；又,即,；故点的轨迹是椭圆的一半, 方程为；又当时,点、在同一条直线上,不能构成三角形,；点的轨
2、迹方程为；评注：该例是先由条件找到动点所满意的几何关系,查找出满意椭圆定义的条件, 然后确定椭圆的方程； 解题时,易忽视这一条件,因此易漏掉这一限制；由于、三点构成三角形,故应剔除使、共线的点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为 2,试判断 的外形；分析：由椭圆定义知,的和为定值,且二者之差为题设条件,故可求出的两边；,解得；解析：由又,故满意；为直角三角形；评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形,称作焦点三角形；利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正余弦定理、内角和定理及面积公式能否敏捷运用；二、利用待
3、定系数法确定椭圆的标准方程；例 3、已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1 6,1 , P 2 3, 2 ,求椭圆的方程 . 【解析】设椭圆方程为 mx 2ny 2 1m0,n0 且 m n. 椭圆经过 1P,P 点,P ,2P 点坐标适合椭圆方程,就6m+n=1 , 3m+2n=1 ,两式联立,解得 m= 1 9, n= 1 3. 2 2所求椭圆方程为 x y19 3评注：运用待定系数法求椭圆标准方程 ,即设法建立关于 a,b 的方程组,先定型、再定量,假设位置不确定时,考虑是否两解,有时为明白题需要,椭圆方程可设为mx2+ny2=1 m0,n0,m n,由题目所给条件求出
4、 m,n 即可. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、 利用向量解决椭圆问题 几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点,向量本身具有“ 数” 与“ 形” 的双重身份,常把向量的代数式转化为坐标表示或利 用其几何关系求解例 、最值问题 4名师归纳总结 2设椭圆方程为 x 2 y 1,过点 M 0,1 的直线 交椭圆于 l A、 两点,B O4点 满意 P OP 1 OA OB ,点 N 的坐标为 1 1, 当 绕点 l M 旋转时,2 2 2求：1 动点 的轨迹方程；P是坐标原点,2 |NP|的最大值与最小值解析
5、：1直线 过点 lM0,1,当斜率存在时,设其斜率为k,就 的方程为 lykx1.记A x 1,y 1,B x 2,y2,ykx1由x2y2,得 14k2x22kx30,4所以x 1x 242k2.4ky 1y28第 3 页,共 5 页k2就OP1OAOBx 12x2,y 12y24k2,4422kk- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设点P 的坐标为x,y,就,消去 k 得 4 x 2y 2y 0.当斜率不存在时,AB 的中点为原点 0,0,也满意上述2 2方程所以 点 的轨迹方程为 P 4 x y y 0.2 由点 P 的轨迹方程知 x 2 1,即
6、1 x 1 .16 4 4所以 | NP | 2 x 1 2 y 1 23 x 1 2 7.2 2 6 1 2故 当 x 1 时,| NP | 取得 最大值为 21；6 6当 x 1 时,| NP | 取得最小值为 1.4 4评注： 由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义,二要熟识向量的坐标运算 而与椭圆有关的求最值问题就常与求函数的值域相联系例 5、参数范畴问题已知点 G 是 ABC 的重心,A 0,1,B 0,1,在 轴上有一点 M,满意 | MA MC |,GM AB R 1 求点 C 的轨迹方程；2 如斜率为 k 的直线 与点 C 的轨迹交于不同的两点 P、 ,且满意 |
7、AP AQ |,试求 的取值解 析：1 设 C x,y ,G 为 ABC 的重心,就 G x y, 3 3由于 GM AB R ,所以 GM AB,而点 M 在 轴上,就 x M x,03由 | MA MC |,得名师归纳总结 x20121xx2y2,x0第 4 页,共 5 页33x2y2x0y21 整理得3所以点C 的轨迹方程为x23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2当k0 时, 与椭圆 lC有两个不同的交点P、Q,由椭圆的对称性知|APAQ|.组 组,通当k0 时,可设 的方程为 lykxm,代入x2y21,整理得,313 k2x26kmx32
8、m10 *由于直线l与椭圆交于不同的两点,所以6km2413 k2 3m210,即 13k22 m0 *设P x 1,y 1,Q x2,y2,设 P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,2就 x 1 x 21 6 km3 k 2,x x 2 31 m3 k 2 1,就 PQ 中点 N x 0,y 0 的坐标为 x 0 x 1 x 223 km2,y 0 kx 0 m m2,1 3 k 1 3 k又|APAQ|,所以ANPQ,所以k kANk1m11,23 k3 km-13 k2得m13 k2,代入*得k21,2所以k1,00, 1综合得,k的取值范畴是1,1评注： 解决参数的取值范畴问题常用的方法有两种：不等式 求解法：依据题意结合图形列出所争论的参数适合的不等式过解不等式 组得出参数的取值范畴；函数值域求解法：把所争论的参数表示为有关某个变量的函数,化范畴通过争论函数的值域求参数的变名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页