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1、椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解， 常会有事半功倍之效。例 1 的三边、 成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。解析：、 成等差数列，即，又，。根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。又，即，。故点的轨迹是椭圆的一半， 方程为 。 又当时，点、在同一条直线上，不能构成三角形，。点的轨迹方程为。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，
2、然后确定椭圆的方程。 解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、三点构成三角形，故应剔除使、共线的点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页例 2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为 2，试判断的形状。分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。解析：由，解得。又，故满足。为直角三角形。评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正余弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。例 3、已知椭圆的中心
3、在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P,2( 3,2)P,求椭圆的方程 . 【解析】设椭圆方程为22mxny1m0,n0 且 m n . 椭圆经过1P，2P点，1P，2P点坐标适合椭圆方程，则6m+n=1 ， 3m+2n=1 ，两式联立，解得m= 19, n= 13. 所求椭圆方程为22xy193评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b 的方程组，先定型、再定量，假设位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1 m0,n0,mn ，由题目所给条件求出 m，n 即可. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
4、 - - - - - -第 2 页，共 5 页三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解22410,1411 1()()22 212 |yxMlABOPOPOAOBNlMPNP例 、最值问题设椭圆方程为，过点的直线 交椭圆于、 两点，是坐标原点，点 满足，点的坐标为， 当 绕点旋转时，求：动点 的轨迹方程；的最大值与最小值112222221221221212220,11.()()1(4)2301424.8414()()()212244lMklykxA xyB xyykxkxkx
5、yxkxxkyykxxyykOPOAOBkk直线 过点，当斜率存在时，设其斜率为，则 的方程为记，由，得，所以解，：，析则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页222222222()40.0,0111.16441117|()()3(40.121|6611|.4).2261242PxPxykxyyABPxxNPxyyyxNPxxNP点 的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程所以由点的轨迹方程知，即所以故最大值为；当时，取得最小值为评注： 由向量作为载体的解析几何问题一要利
6、用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算 而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系例 5、参数范围问题(01)0,1|()12|GABCABxMMAMCGMABRCklCPQAPAQk已知点是的重心，在 轴上有一点，满足，求点的轨迹方程；若斜率为的直线 与点的轨迹交于不同的两点、 ，且满足，试求 的取值22222222()()3 3()(0)3|()(01)()331(0)3131(0)x yC xyGABCGGMABRGMABxMxMMAMCxxxyxyxxCyx设，为的重心，则， 因为，所以，而点在 轴上，则，由，得，整理得所点的轨迹方析：程为以解精选学习资料 - - - - -
7、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页222222222211220|.013(13)63(1)0 *(6)4(13) 3(1)0130 *()()2klCPQAPAQklykxmxykxkmxmlkmkmkmP xyQ xy当时， 与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知当时，可设 的方程为，代入，整理得，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313|11313-13ANP xyQ xykmmxxx xkkxxPQN xyxkmmykxmkkAPAQANPQmkk kkkmk设，则，则中点，的坐标为，又，所以，所以，2213*121,00,1,11kmkkk得，代入得，所以的取值范围得，是综合评注： 解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式 (组)得出参数的取值范围；函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页