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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2.7微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满意的制约关系,通常是含有导数的方程微分方程；简洁例子：（1）放射性物质,在每一时刻t ,衰变的速率dm（由于是削减,因此dm0,速率为dtdt标量,是正值）正比于该放射性物质尚存的质量,因此质量应满意一下微分方程；dm dtkmyy t 应当满（2）质量为 m 的物体自由落体,取坐标轴沿竖直方向指向地心,下落距离足牛顿其次定律Fma ,即mgm2 d ydt2（3）质量为 m 的跳伞员下落,所受空气阻力正比下降的速度,取坐标轴沿竖直方向指向地心,就 t 时刻下降距离yy t
2、满意O ,钢球在mgkdym2 d ydtdt2（1）如下图所示,钢球在以水平光滑杆上,受到弹力而来回整栋,原点位置为t 时刻的坐标xx t 满意微分方程kxm2 d xdt2假如钢球仍受到一个与速度成正比,方向与速度相反的阻尼力的作用,那么它所满意的微分方程是kxhdxm2 d xdtdt2总结： 最简洁的一阶微分方程是名师归纳总结 其中 t 是自变量,上述方程的一般解应当是dxf t C第 1 页,共 17 页dtxf t dt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载最简洁的 n 阶方程它等价于说dn1x是f t 的原函数,即n1n d
3、 xf t Cdtndtn1xf t dtdndt1就再次积分,始终积分下去得到名师归纳总结 xf t dtdtC 1tn1C n1tC n第 2 页,共 17 页n1.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程方程中有未知函数的一阶导数,为一次,称为线性,上述方程为dxa t xb t dt且其一阶导数的系数为常数,其余部分未知函数最高层次数一阶线性微分方程；假如a t 0,就称为 一阶线性常微分方程；试着求解上述方程,方程两端都乘以dxea t dt,得到b t ea t dtea t dta t
4、 ea t dtxdt即为下面的形式即ea t dtdxd ea t dtxb t ea t dtdtdt于是有d xea t dtb t ea t dtdtxea t dtb t ea t dtdtC那么有这就是一阶线性微分方程的xea t dtb t ea t dtdtCea t dt乘以方程两端 ；一般解 ；这个解法的关键部分是以简洁的例子（1）质量为 m 的跳伞员下落,所受空气阻力正比下降的速度,取坐标轴沿竖直方向指向地名师归纳总结 心,就 t 时刻下降距离yy t 满意mgkdy dtm2 d y第 3 页,共 17 页dt2由于速度vdy,因此方程化为dtektdv dtk v m
5、gdt方程两边同时乘以ea t dtekmm,就有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ekt学习必备ke欢迎下载ktdvktvgemmmdtm即有k t d ve mdtk t ge m得到vektmgek t mCmk即跳伞的初始速度为0,即tv0,ek t m0mgktCCmgCekte mmkkv,就mg0vt0k所以Cmg k就跳伞速度为由于vdy,因此有vdt0,mgvmg k1ek t mtmektCdt1ektdtmgymmkkk跳伞的初始位移为0,即ty0,就mC0mgyt0kk就Cmk因此有名师归纳总结 ymgtmek t m1第 4
6、页,共 17 页kk- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载自然界有一些量,它的削减正比于该量本身数值,这样的量dx dtkx即dxkx0dt解这微分方程得到xCektx 应当满意一下的微分方程名师归纳总结 设t0时 x 的值为0x ,就有Cx ,量 x的变化规律为第 5 页,共 17 页xx e 0kt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2.7.3 变量分别型微分方程先看一个简洁的例子,考察一阶线性方程dx dta t x我们把这个方程改写为假如xdx xa t dtx t 是方程
7、的解,那么它能使上式成为恒等式,两边求不定积分得dxa t dtCx因此得到令CC e,就得到ln |x|a t dtCxxC eea t dtCea t dt因此我们可以得到结论,方程dx dta t x的一般解为xCea t dt（一般的变量分别型方程）对于一般的变量分别型方程事实上,假如g x 0dxf t g xdt,那么方程可以改写为f t dtdxg x 再对两边求不定积分得到另外,假如有0x 能使得g x 00dx g x f t dtC,那么常值函数xx 也是原方程的解；（经过换元后得到变量分别型方程）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料
8、 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）考察方程dxfxdtt换元,引入新的未知数ux t我们得到dxxututdud utdtdtdt代入原方程得到utdu dtf u duf u udtt这又是一个变量分别型方程,我们有duudtCf u tdudtf u ut就有duuln | |Cf u （2）考察方程dxfxtdtxt变换方程dxfxgxt xdttt换元,令x tu我们得到dxxuutdutdtdt代入原方程,我们有名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - u学习必备f欢迎下载tdu dt
9、uu这是一个分别变量型的方程,得到fduudtutu两边取积分得到fduudtCutu就得到fduuln | |Cuu（3）考察方程这个方程可以化成（dxfxt0dtxt2）中的形式,取0x 和0t 满意x 0t 0x 0t00作如下变换xtx 0t0就有fxt0fx0dxdx 0dx0tt0dt0dtdt0fxtx 0t0x00fff0作换元,令名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载u我们得到udududd代入原方程,我们有udufuuCdufduduuufduduufduuln | |Cuu求解方
10、程后只要将值仍原为仍原前的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2.7.4 实变复值函数对于代数方程式,我们已经有过这样的体会：即使是实系数的代数方程,为了弄清晰它的根的状况, 最好到更广泛的复数范畴内加以争论；在处理微分方程的某些问题时,例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“ 实” 的微分方程,所求的也是实解（实值函数解） ,但中间过程却需要在更广泛的复值函数范畴内进行争论；本节为这一争论做预备；（1）复数与平面对量,复数序列的极限我们把外形如的数称为复数,这里i1wu
11、iv是虚单位,而u v 都是实数,分别称为实部和虚部,记为Rewu Im wv复数的加法和乘法定义如下：u 1iv 1 u2iv2 u 1u2i v 1v 2v u 1,u 1iv 1 u 2iv2 u 1u 2i v 1v 2 u 1iv 1 u2iv 2u u 2iv u 1iv u 2v v 1 2u u 2v v 2i v u 1v u 2u 1iv1u 1iv1u2iv2u u 2v v 2i v u2v u 1u u2v v 2iv u2u2iv2u2iv2u 2iv2u22v 22u22v 22u22v 22作除法时要求u 2iv20,即u 22v 220； , u v 的点,这
12、点的极坐标为 ,复数wuiv 可以说明为平面直角坐标系中坐标为y i , rO x其中ru22 v , cosu, sinvrr我们把名师归纳总结 wrcosisin第 10 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 称为复数的极坐标表示,r 和学习必备欢迎下载|w 和 Argw 表示；分别称为复数的模和幅角,分别用符号采纳这种表示来运算复数的乘方特殊便利：wnrncosnisinn证明：当 n 1 时明显成立,假设当 n k 时成立,有w k r k cos k i sin k 就当 n k 1 时,有w k 1 w k w r k cos
13、k i sin k r cos i sin k 1r cos k i sin k cos i sin r k 1 cos k cos sin k sin i cos k sin sin k cos k 1r cos k 1 i sin k 1所以对 n k 1 也成立,故而有n nw r cos n i sin n 复数 w u iv 仍可以说明为长为 | w 方位角为 Argw 的一个平面对量, 多个复数之和就可以懂得为多个平面对量之和；复数的模正好是向量的长度,它满意一下不等式：|w 1w 2| |w 1|w 2|意味着三角形的两边之和大于第三边；也可以用代数方式证明这个不等式；化为代数表
14、达,也就是证明：u 1u22v 1v22u 122 v 1u 22v22这个采纳逆向证明法很简洁证明,不等式仍可以推广到m 个复数的情形,就定理 1： 复数序列w n|w 1w 2w m| |w 1|w 2|w m|u 和序列 nnv 分别u niv 收敛于 C nAiB 的充分必要条件是序列收敛于 A 和 B ；（实变复值函数）设 DR , EC ,我们把从 D 到 E 的映射 ,、函数wf t 相当于一对实函数wf t 称为实变复值函数,设 wuiv ,f t iu t ,v 引入实变复值函数作为工具,是为了更便利地争论实函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17
15、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 1： 设实变复值函数f t 学习必备在欢迎下载有定义,而 CAiB ,就i U t , limt tf t C 的充分必要条件是u ,lim t t 0 vf t 在0t 点连续的充分lim t t 0 定理 2： 设实变复值函数f t i 在U t , 有定义,就必要条件是： t和 t在0t 点连续； 在U t , 有定义,就f t 在0t 点可导的充分定理 3： 设实变复值函数f t i必要条件是： t和 t在0t 点可导；且 0i 0f 0实函数的复合函数求导法就同样适用于实变复值函数的复合函数求导；定理 4： 为使实变复值函数
16、F t i 是实变复值函数f t i 的原函数,必需而且只许 t 和 t 分别是 t 和 t的原函数；记为f t dtF t Cf t dt t dti t dt i C其中 C 可以是复数；（欧拉 Euler 公式）在推导过程中,会用到下面几个常见的极限当a0lim 1 0n1ln11,lim 0arctan1e,lim 0时, lim 1a nlim1anaa e；an当a0时,lim 1anlim 10n10 e；n因此有名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备n欢迎下载Rlim 1a ne a,a定义：
17、 对于 caibC ,我们规定lim 1acnbrcosisinc en下面来求解c e ；1i将复数1c写成极坐标的形式nw1c1aibnnnn其中r1a2b2,arctan1bannnn那么有1cnwnrcosisinnn由前面的学问可得n wrcosisinnrncosnisinn因此有c elim 1cnlim1cnrnicosnisinnrnlim cosnisinnnrncosnnsinnlimnnisin limlimrncos lim下面分别求出各部分的极限：rnrn1a2b2n2n212aa2n2b2n22nnnlnnln 12aab22n因此有 （可用其同阶的无穷小替代）名
18、师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - limlnrnlimnln 1学习必备2n欢迎下载limn2aa2n2b2a2aab22n22n就有limrnlime lnrne limlnrne a而limnlimnarctanbalimn1babnn1nn因此得到c elim 1cnlimrncos limnisin limna ecos bisinbn即c ea ecos bisinb ,其中 caib或者a ib ea ecos bisinb2eib（1）假如a0,那么有ib ecosbisinbbib e（2）令 b
19、分别为 b 和b ,我们得到eib, sincosbib e2（3）推广到复数的指数运算ec 1ec 2ec 1c 2证：名师归纳总结 e c 1e c 2e a 1ib 1a e2ib2b 2b 1cos b 22cos b 1sinb 2第 14 页,共 17 页e a 1cos b 1isinb 1a e2cos b 2isine a 1a2cos b 1cos b 2sinb 1sinb 2isine a 1a2cos b 1b 2isin b 1b 2cos2isini ea 1a2i b 1b 2e c 1c 2（4）令a0,b2,就得到ei2令a0, b,就得到- - - - -
20、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - ei学习必备欢迎下载1cosisin令a0,b2k,就得到写成i e2kcos2kisin 2 k1特殊的k1,有ie21它将数学中最重要的五个数字1,2, ,e i 联系在一起；利用欧拉公式,我们将复数的极坐标形式wrcosisinwrei这里 r 为复数的模,为幅角,iecosisin是一个模为1 的复数,它表示与极轴夹角为的一个单位向量；|ie| 1再看复数ieiicosisinsinicoscos2isin2i e2由于所以iei是与i iei e2i ei e2ie 垂直的一个单位向量；如下图所示；ieiieO（应用欧拉公式争
21、论实变复值函数）考察实变复值函数名师归纳总结 这里 tR ,iC ,f t et eit,第 15 页,共 17 页R ,依据欧拉公式有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f t et ei学习必备tit欢迎下载costisintteet那么求导数得到f etsint etcostisintetcostietcostisintetcostisintetsinticostetitetcos2tisin2tetiteti2tC ,下面的求导公式也成立；itei2etitetetitieti tieti tiet因此得到,对于etet因此得到关于原函数不定积分
22、的相应公式；名师归纳总结 t e dt1etC第 16 页,共 17 页（1）例如,已知a bR ,试求下面的不定积分；at ecosbtdt ,at esinbtdt令aib ,就所求的不定积分恰好为下式的实部和虚部at ecosatisinbt dtt e dt1etCa1ib ea ib tAiBaib e 2 atbcosbtisinbtAiBa2eataibcosbt2isinbtAiBa2beat cosbtbsinbti a sinbtbcosbtAiBa2b2at eacosbtbsinbtAia et asinbtbcosbtBa22 ba2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于对于实变复值函数f t 学习必备欢迎下载i f t dt t dti t dt i C因此有名师归纳总结 at ecosbtdt ata ecosbtbsinbtA第 17 页,共 17 页a2b2at esinbtdt ata esinbtbcosbtBa2b2其中 A , B 为任意实数；- - - - - - -