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1、精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - -高中数学必修 4 5 总结- - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 22 页,共 22 页第一部分 三角函数及其恒等变换1. 与角终边相同角的集合为k 360,kZ,象限角, 轴线角的集合可借用此表示；2. 已知是第几象限角, 求nnN * 所在象限的方法： 先把各象限均等为 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一,二,三,四,就 原先是第几象限对应的标号即为终边所落n在的区域；3. 半径为 r 的扇形的圆心角（为弧度制）所对弧的长为 l ,周长为C ,面积为 S ,就
2、有以下公式：lrC2rlS1 lr21 r 22 y4. 三角函数在各象限的符号：一全正,二正弦,三正切,四余弦；PTOMAx5. 三角函数线：sinMPcosOMtanAT6. 同角三角函数的基本关系：s i n2c o 2s1t a ns i n c o s7. 三角函数的诱导公式：公式一：sikn 2sinc o sk 2c o st a nk 2t a n公式二：sinsinc o sc o st a nt a n公式三：sinsinc o sc o st a nt a n公式四：sinsinc o sc o st a nt a n公式五：sin2cosc o s2s i n公式六：s
3、in2cosc o s2s i n公式一到四：函数名称不变,正负看象限；公式五到六：奇变偶不变,正负看象限；补充公式：tan21tant a n 21t a nk, kZ 28. 三角函数的图象与性质性函 数质ysin xycos xytan x图象RR定义域x xk, k 2值域1,11,1R22周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数2 k,2k2上 2k2函数；,2kk上 是 增kZ, k上是增22是增函数； kZ2k ,2k上 是 减函数； kZ2 k,2k322函数； kZ单调性上是减函数； kZ对称中心k,0对称中心 k,02对 称 中 心k,0,2对称轴 xk2对称轴 xkkZ,无对称轴；
4、对称性kZkZ9. 三角函数不等式的解法（ 1）三角函数线法；（ 2）函数图象法；例：如求sinx2 的解集,就画出直线 y22 ,就该直线上方 y 值所2对应的 x 的值就是该不等式的解集；10. 函数 yAsinxbA0,0 的图象与性质：（1） ） 图象的变化过程： 函数ysin x的图象向左平移个单位ysi nx,图象上各点的横坐标变缩短为原先的1 倍ysinx, 图 象 上 各 点 的 纵 坐标 变 为 原 来 的 A 倍yAsinx,图象向上平移 b 个单位yAsinxb ；（2） ） yAsinxb 的周期 T 为 2,同理得2T（3） ） 如y1Asinxb 的 最 大 值 为
5、1ymax, 最 小 值 为ymin, 就Aym a x2ym i n, bymax2ymin；（4） ） 利用以上结论,再依据图象中任意一点以及的范畴,可求得yAsinxb 的解析式；11. 两角和与差的正弦,余弦,正切公式和二倍角公式：（1）sisncis oncisonsc o sc o sc o ss i ns i n（ 2）s i n22s i nc o scos 2cos 2sin 22 cos2112 sin 2（ 3）t a nt a nt a nt a n22 t a n1t a nt a n1t a n212. 拓展公式（不要求记忆）（ 1） 半 角 公 式 ：sin21c
6、os 2c o s21c o s 2t a n21c o s1c o s（2） ）积化和差公式：sin coscos cos1 sin 21 cos 2sincosc o s s i ns i ns i n1 s i n 21 c o s 2s i n c o s（3） ）和差化积公式：sinsin2 sin2cos2s i ns i n2s i n2c o s2coscos2 cos2cos2c o sc o s2s i n2s i n2（4） ）弦化切公式：sin2 tan21tan22c o s1t a 2n 21t a 2n 2（5） ）三倍角公式sin 33 sin4 sin 3c
7、o 3s4 c o 3s3 c o st a 3n3 t a nt a 3n213 t a n13. 几个有用的三角函数结论（1） ）如tanb ,就aarctanb ,就有以下结论： aa sinb cosa 2b2sinarctan ba（2） ） 当k时,且 k4Z ,就 1tan1tan2（3） ）函数yAsinxkb 的对称轴为 x2kZ ,对称中心为 k,bkZ其次部分：平面对量与解三角形1. 向量的基本概念：三要素,零向量,单位向量,平行向量,相等向量,共线向量；（1） 零向量与任一向量平行 0 a ； （2） 如a 与b 共线,就a b ；（3） 如a 与b 相等,就 a b
8、且ab2. 平面对量的线性运算：（ 1） 向量的加法运算：三角形法就（左图） ,平行四边形法就（右图）；（ 2） 三角形不等式： ababab（ 3 ）向量的加法 满足 交 换律,结合律；（ 4） 向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；（5） 向量的运算公式： ABBCAC（合并公式）,ACABBC（分解公式）, ABBA0 这些在做题中应用相当广泛；（6） 向量的数乘运算：aa ,0 时, a 的方向与 a 相同；0 时, a 的方向与 a 相反；0 时, a量的数乘运算符合交换律,结合律,安排律；0 ；向（7） 向量共线定理：如 a 与 b 共线, a0就有唯独的实数,使
9、得 ba ；用这个结论可以证明两向量共线；3. 平面对量的基本定理：假如e1 、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数 1 ,2 ,使a1 e12 e2；（不共线的向量e1 ,e2作为这一平面内全部向量的一组基底）4. 平面对量的坐标运算：（1） 平面对量的坐标： 将向量的始点平移到坐标原点上就向量的终点对应的坐标即为该向量的坐标； 即一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标；（2） 平面对量的坐标运算：如 ax1, y1 , bx2 , y2,就：abx1x2 , y1y2abx1x2 , y1y2ax1 ,x2（3） 平面对量共线的坐标表示：
10、如 a共线,就有以下关系：x1, y1, bx2 , y2, a 与bx1y2x2 y10用这个结论可以证明两向量共线；（4） 两点A x1, y1, B x2 , y2之间的距离公式,中点 C 的坐标公式为：2ABx1x22y1y2Cx1x2 , y1y2 22（5） 分点坐标公式：设点是线段 12 上的一点,1 、 2 的坐标分别是x1, y1,x2, y2,当 12时,点的坐标是x1x2 , y1y2115. 平面对量的数量积：（ 1）a bab cos（ 为a 与 b 的夹角）,零向量与任一向量乘积为 0；（2） a baba 与b 同向； a b0为锐角； a b0为直角； a b0
11、为钝角； a baba 与b 异向；（ 3）aba b0a bab（ 4） 平面对量数量积的坐标表示：如 ax1 , y1 , bx2 , y2,为 a 与b 的夹角,就有以下关系：a bx1x2y1y2c o sa b abx1x222x1y1y1 y222x2y26. 正弦定理与余弦定理：（1） 正弦定理：如在三角形 ABC 中 ,角 A , B , C 的对边分别为 a, b , c ,其外接圆半径为 R ,就：a sin Ab sin Bc sin C2 Rsin Aa sin Bcsin C（2） 余弦定理：如在三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为a , b ,
12、c ,就：a 2b 2c22bc cos Ab2a 2c 22ac cos Bc2a 2b 22ab cos C7. 解三角形的推论：（ 1） 三角形的面积公式：如在三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,就：1Sab sin C 21bc sin A21ac sin B2（ 2） 判定角的大小范畴：如在三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,就：a 2b 2c 2C为 锐 角 ； a 2b 2c2C为 直 角 ；a 2b 2c2C 为钝角；（3） 判定三角形解的情形：1. 已知一边与两个角；（一个解）2. 已知三
13、边；（如两边之和大于第三边就有一个解,否就无解）3. 已知两边及其夹角；（一个解）4. 已知两边及一边的对角；（一个解,两个解或者无解） 已知三角形 ABC 两边a , b , a 的对角为 A ；（1） ） 如 A 为直角或者钝角, ab ,就有一个解, 否就无解；（2） ） 如 A 为锐角, ab sinA ,就有两解； B 可取锐角或者钝角；（3） ） 如 A 为锐角, ab sinA ,就有一解； B 可取直角；（4） ） 如 A 为锐角, ab sinA ,就无解；（4） 在三角形内成立的特别关系： 如在三角形 ABC 中,角 A ,B , C 的对边分别为 a , b , c,就：
14、sin ABsin Cc o sABc o Cs0s i n AB 2Cc o s2ABc o s2Cs i n 2tan Atan Btan Ctan Atan Btan C（5） 中线长公式：如在三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为a , b , c , a 边上的中线长为ma , b 边上的中线长为mb ,c 边上的中线长为 mc 就：2b2ma2c 2a222a 2mb2c 2b 222a 2mc2b2c22第三部分 数列1. 等差数列：（ 1）等差数列的递推公式：an 1and ；（ 2）等差数列的通项公式： ana1n1 d ；（ 3）如 a ,b ,c 成等差
15、数列,就 b 为a 与c 的等差中项,就 2bac ；2. 等差数列的前 n 项和：等差数列前 n项和的公式： Snn a1an2, Snna1n n1 d ；23. 等差数列的推论：（ 1） anan 1d （可用此证明等差数列） ；（2） 2anan 1an 1 ；（3） a1ana2an 1a3an 22a中 （结论 2 的推广）；（4） 如 an, bn为等差数列,那么panqbn也为等差数列；（5） amanmnd （通项公式的推广） ；（6） 求公差的公式： danan1 , daman ；mn（7） 如mnpq ,那么 amana paq ；（8） 等差数列的通项公式也可表示为a
16、npnq ,它是一个一次函数, 已知任意两项, 就可用待定系数法求通项公式； 其中,a1pq , dp ；（9）（依据结论 3 进行推导）（10） 等差数列前 n 项和的公式为 Snna1n n12d ,也可表示为nSAn2Bn ,它是一个二次函数,其中, a1AB, d2 A ；反之,如 SnAn2Bn ,就an 为等差数列；如 SnAn2BnC ,就 an 从第 2 项起为等差数列；（11） 已知Sn ,求an 的方法：a1S1 , anSnSn 1 n2（12） 如an 为等差数列,就Sn也为等差数列；n（13） 如 an, bn为等差数列,其前 n 项和分别为An , Bn ,那么an
17、A2n 1bnB2n 1（14） Sm ,S2mSm , S3mS2 m ,m Z 也为等差数列；（ 15）如项数为2 nnN * ,就S2 n2n1 an , S偶S奇nd ,且S奇an ；S偶an 1（16）如项数为 2n1 nN * ,就S2 n 12n1 an,且S奇 S偶an ,S奇nS偶n,其中, S奇1nan, S偶n 1 an ；4. 等比数列：（1） 等比数列的递推公式：an 1qan（2） 等比数列的通项公式： ana qn 11（3） 如a , b , c 成等比数列,就 b 为a 与c 的等比中项,就 b 2ac5. 等比数列的前 n 项和：等比数列前 n项和的公式：
18、Sna1 11nq, Snqa1an q1q6. 等比数列的推论：（1）anan 1d （可用此来证明等比数列）n（2） a 2（3） a1an 1ana2an 1an 1a3an 2a中 （结论 2 的推广）；2（4） 如 an, bn为等比数列,那么an bn也为等比数列；（5） ama qmn （通项公式的推广）；n（6） 求公比的公式：qan, qm n am ；an 1an（7） 如mnp q ,那么 amanapaq ；（8） ）等比数列前 n 项和的公式经过变形,可写为SAq nA 的形n式,其中 Aa1；反之,如数列前 n 项和满意 Snq 1Aq nA ,就该数列为等比数列；
19、（9） ）如在 a , b 之间插入 n 个数,使之成为等比数列,就这个等比数列的公比 qn 1；ba（10） Sm ,S2mSm , S3mS2 m ,mZ 也为等比数列；（11） 如项数为 2nnN * ,就 S偶qS奇（12） 设等比数列前 n 项积为Tn ,如项数为 2n nN* ,就T偶T奇qn ,如项数为 2 n1 nN * ,就 T奇T偶qn ；7. 数列技巧方法归纳：（1） 叠加法,累乘法；一般方法：将数列的递推公式或者数列前n 项和的递推公式从 1 n 全部列出, 将所列出全部的式子全部相加 （或相乘） 得到数列的通项公式或者数列前 n 项和的公式；（2） 倒序相加法一般方法
20、：将数列的前 n 项和的排列成次序和倒序两种形式, 两式相加,经过适当变形,得到前 n 项和的公式；（ 3）错位相减法一般方法： 前n 项和两边乘以（或除以）肯定倍数有递增 （或递减）趋势的量,作为一式,来减去原式,经过适当变形, 得到前 n 项和的公式；（4） 裂项相消法；分式裂项公式：1n na111anna1n na111anan（ n 和a既可以为常数,也可以为字母或代数式）一般方法： 将数列的前 n 项和有分式的项进行裂项, 提取公因式,全部相加可消去其中大多项, 经过适当变形, 得到前 n 项和的公式；（5） 构造数列法；一般方法：假如题目中已给出特定的形式,就直接换元, 变为等差
21、数列或者等比数列,求出所求通项公式以后,再换回来得解；如题目中无特定的形式,就采纳两边同时相加（减）或者两边同时相乘（除）的方法,换元变为等差数列或者等比数列,求解；（ 6）由递推公式求通项公式：an 1panq p,q为常数型：递推公式两边加一个常数 k ,使之满意两边项的系数比相等, 两边相 除, 构造等 比数列求解； 其中 kq, 通项公式为p1ana1k pn 1k8. 解答数列大题的一般步骤：（ 1）如已知Sn ,Sn 1 ,an , an1 的关系,利用公式：a1S1 ,anSnSn 1 n2 ,转化为an , an1 等量的递推关系；（ 2）利用递推关系进行适当的变形（构造数列,
22、两边相加,相乘等方法）,将数列转化为熟识的等差数列或等比数列来求得通项公式；（ 3）利用通项公式进行分析,利用叠加法,累乘法,倒序相加法,错位相减法,裂项相消法等方法进行变形,整理,得出该数列的求和公式；（ 4）在整个过程中要留意必需使脚码的数值有意义；第四部分 不等式1. 不等式的性质：（1） ）假如 ab0 ,那么 ab ；假如 ab0 ,那么 ab ；假如ab0 ,那么 ab ；（2） 假如 ab , bc ,那么 ac；（3） 假如 ab ,那么 acbc ；（4） 假如 ab ,c0 ,那么 acbc ；假如 ab ,c0 ,那么 acbc ；（5） 假如 ab , cd ,那么 a
23、cbd ；（不等式的相加原理）（6） 假如 ab0 , cd0 ,那么 acbd ；（不等式的相乘原理）（7） 假如 ab0 ,那么a nbn ； n1（8） 假如 ab0 ,那么 n an b ； n12. 不等式性质的应用：（1） 证明某不等式成立；（2） 不等式性质的推论： 如ab 0 ,c0 ,就 babca,acba c ；b c（3） 已知几个字母的范畴,求它们和,差,积,商的范畴；（利用性质 3, 4, 5,6）（4） 做差法比较数或代数式的大小：利用性质1：假如 ab0 ,那么ab ；假如 ab0 ,那么 ab ；假如 ab0 ,那么 ab ；（5） ）做商法比较正数或者正值代
24、数式的大小：假如a1 ,那么bab ；假如 ab1,那么 ab ；假如 ab1 ,那么 ab ；其中a0且b0 ；3. 一元二次不等式的解法：（1）二次函数的图象、 一元二次方程的根、 一元二次不等式的解集间的关系：判别式b 24ac000二次函数yax 2bxc a0的图象xbb24ac12a一元二次方程ax2bxc0 a0x2bb22a4acx1x2b2a没有实数根的根一元二次不等式x xb2aax2bxc0 a0x xx 或xR1x2的解集一元二次不等式ax2bxc0 a0x x1xx2的解集（2）如0 ,一元二次方程 ax2bxc0 a0 的根为 x , x ,如12先将一元二次不等式
25、的二次项系数变为正,然后看图写解集,如下表：所对应一元二次不等式二次项系数a与不等式整体的系数同号,就解集取两边； 如所对应一元二次不等式二次项系数a 与不等式整体的系数异号, 就解集取中间；（同号取两边, 异号取中间）（3） 一元二次不等式中的分类争论思想：1. 如二次项系数为字母,就需考虑二次项系数为0 的情形；2. 如一元二次不等式中含有字母, 解出的两根需要考虑大小问题,分类争论,再取解集；（4） 一元二次不等式中的解的情形：1. 一元二次不等式ax 2bxc0 a0恒成立的条件是 a0 且0 ；一元二次不等式ax2bxc0 a0恒成立的条件为a0 且0 ；（即解集为 R ）2. 一元
26、二次不等式ax 2bxc0 a0解集为 的条件是 a0且0 ；一元二次不等式ax2bxc0 a0 解集为 的条件为是 a0 且0 ；4. 一元二次方程的有关技巧：（1） 速解特别一元二次方程的根的技巧：1. 一元二次方程ax 2bxc0 a0中,如 abc0 ,就cx11, x2；a2. 一元二次方程ax2bxc0 a0中,如ba c ,就 x11 ,x；c2a（2） 十字相乘法解一元二次方程：一般方法：将一元二次方程的三个系数均化为无分母的形式（ 既不是 分 数 也不 是 小数 ）, 且 a 的为 正 整数 , 得到ax2bxc0 a0,将 a 分解成 2 个正整数的乘积a1 , a2,将
27、c分解成 2 个非分数 的乘积c1 , c2, 进行交 叉相乘 , 假如a1c2a2c1b , 那 么 分 解 成 功 , 原 方 程 可 转 化 为a1xc1a2xc20 的形式,化为两个一元一次方程,进而求得方程的根；（3） 一元二次方程根情形的争论：1. 两根x , x 同时为正b0且 c0 ；12aa2. 两根x , x 同时为负b0且 c0 ；12aa3. 两根x , x 异号c012a5. 特别不等式的解法：（ 1）分式不等式的解法：一般方法：先将全部项移到不等式左边,通分,假如分式的值大于 0,就分子与分母同号,求解；假如分式的值小于0, 就分子与分母异号,求解；留意分母不能为0
28、；（2）一元高次不等式的解法：一般方法：解出其中的全部根x1,x2 , ,xn ,从小到大排序,画在数轴上,从右上开头像穿针线那样画一条穿过全部 根的线,如有同时有偶数个相同的根,就反弹回去,如同时 有奇数个相同的根,就正常穿过；如求的是大于0 的解集, 就看数轴上方线上对应的x,即为原不等式的解集；如求的是小于 0 的解集,就看数轴下方线上对应的x,即为原不等式的解集；（理论来源：三次函数以上高次函数的图象可得, 这里不做争论；）6. 解析几何的简洁学问：（ 1）直线的倾斜角与斜率1. 一条直线与 x 正半轴方向所夹的角为该直线的倾斜角, 如该直线与 x 轴平行或重合,就0 ；2. 直线斜率
29、 k 的公式：如倾斜角为,就ktan；如直线上任意两点坐标为x1, y1 ,x2 , y2,就ky2y1x2x1；假如该直线垂直于 x 轴,就该直线的斜率不存在；（2） 直线的方程的形式：1. 一般式： AxByC0 A, B不同时为 02. 斜截式： ykxb k为斜率,b为直线在y轴上的截距3. 点斜式： yy0k xx0k为斜率,x0 , y0为该直线上的任意一点4. 两点式： yy1y2y1x x1x2x1x1, y1 ,x2 y2为该直线上任意两点5截距式：xy1 a, b分别x轴ab为上y轴 直的AxByc上 线截的 在距（3） 点x, y 到直线 AxByC0 的距离为；A2B
30、2（4） 圆的标准方程为xa 2y b 2r 2a,b为圆心坐标, r为半径 ；7. 二元一次不等式（组）与平面区域：（1）确定二元一次不等式AxByC0或AxByC0 A, B不同 0平常 面 区为 域 的 方法 ： 先 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 所 对 应 的 直 线AxByC0 A, B不同时为 0,将平面区域分成两大块, 挑选测试点,带入原不等式,假如成立,就解集为该点所在的区域；假如不成立,就在另一边的区域；（2）确定二元一次不等式AxByC0或AxByC0 A, B不同 0平常 面 区为 域 的 方法：如 B 的符号与不等式整体的符号同号,就满意原不等式的平面区域
31、位于直线的上方；如B 的符号与不等式整体的符号异号, 就满意原不等式的平面区域位于直线的下方；（同号取上方,异号取下方）（ 3）确定二元一次不等式组的平面区域：把各个二元一次不等式的平面区域画出来,取公共部分,即为原二元一次不等式组的平面区域；8. 线性规划问题：（1） ）求目标函数 zaxby（a,b不同时为 0）的最值：一般方法：先画出满意题意的二元一次不等式组的平面区域,先把目标函数化为 ya xz 的形式；如 z bbb0 ,求 z 的最大值,由于斜率肯定,就将ya xzbb在满意线性约束条件的前提下平移,找到直线与y 轴截距最大的点,及截距,可算出 z 的最大值；最小值同理；如z 0
32、 ,就截距的b最大值求出的 z 为z 的最小值；截距的最小值为出的z 为 z的最大值；（2） ）如使目标函数zaxby（ a, b不同时为0）取得最值的最优解有很多个,就目标函数对应的直线y条件下平面区域的某一边界重合；a xz 必与线性约束bb（3） ）与斜率综合的求最值问题；给出一组 x, y 所满意的条件, 求形如 yxa 的最值问题, 可b转化为平面区域内找一点,求经过该点与点a,b的直线的斜率的最值,就以a, b为定点,且直线上的一些点在平面区域内,进行旋转,最斜时,经过对应点与a,b的直线的斜率最大,反之最小；（4） ）与两点之间距离公式综合的求最值问题；2给出一组 x , y 所
33、满意的条件,求形如xayb 2 的最值问题,可转化成在平面区域内找一点,求该点与a, b 距离平方的最大值；9. 基本不等式与重要不等式：（1） ）基本不等式由a2b0 可推得： abab a 20且b0 ,且当 ab 时,原不等式取等号；（2） ）重要不等式由 ab 20 可推得： a 2b 22ab ,且当 ab 时,原不等式取等号；（ 3 ） 其 它 常 用 的 不 等 式 ： ab2aba20且b0,a 2b222ab；210. 极值定理：s2（1） 如 xys（和为定值）,就当 xy 时,积 xy 取得最大值：；4（2） 如 xyp（积为定值）,就当 xy 时,和 xy 取得最小值 2p ；11. 常见不等式的极值问题：（1） axb xx0且a0且b0 的最小值为： 2a 2ab ；（2） x