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1、2.2.3两条直线的位置关系学习目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想.知识链接1.直线的倾斜角的取值范围0180.2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率k.3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.预习导引1.两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l1：A1xB1yC10,l2：A2xB2yC20的位置关系,可以用方程组的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：方程组的解位置关系交点个数代
2、数条件无解平行无交点A1B2A2B10且B1C2B2C10(A2C1A1C20)或(A2B2C20)有唯一解相交有一个交点A1B2A2B10或(A2B20)有无数个解重合无数个交点A1A2,B1B2,C1C2(0)或(A2B2C20)(2)两条直线l1：yk1xb1,l2：yk2xb2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示.位置关系平行重合相交一般相交垂直图示k,b满足条件k1k2且b1b2k1k2且b1b2k1k2k1k212.两条直线垂直对坐标平面内的任意两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20,有l1l2A1A2B1B20.如果B
3、1B20,则l1的斜率k1,l2的斜率k2.又可以得出：l1l2k1k21.要点一直线的交点问题例1求经过原点,且经过直线2x3y80和xy10的交点的直线l的方程.解方法一解方程组得所以直线2x3y80和xy10的交点坐标为(1,2).又直线l经过原点,所以直线l的方程为,即2xy0.方法二设所求直线方程为2x3y8(xy1)0,直线过原点(0,0),80,8,直线方程为2x3y88x8y80,10x5y0,即2xy0.规律方法本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问
4、题.跟踪演练1求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P,且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.解方法一解方程组得 P(0,2).因为l3的斜率为,且ll3,所以直线l的斜率为,由斜截式可知l的方程为yx2,即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0,即(1)x(2)y420,又ll3,3(1)(4)(2)0,解得11,直线l的方程为4x3y60.要点二两条直线的平行关系例2判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(1,2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(1,1)；(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2)；(3
5、)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(1,3),N(2,0)；(4)l1经过点A(3,2),B(3,10),l2经过点M(5,2),N(5,5).解(1)k11,k2,k1k2,l1与l2不平行；(2)k11,k21,k1k2,l1l2或l1与l2重合.(3)k11,k21,k1k2,数形结合知,l1l2.(4)l1与l2都与x轴垂直,l1l2.规律方法判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.跟踪演练
6、2已知直线l1经过点A(3,a),B(a1,2),直线l2经过点C(1,2),D(2,a2).若l1l2,求a的值.解设直线l2的斜率为k2,由斜率公式得k2.若l1l2,则l1的斜率k1,由斜率公式k1,则,a1或a6.经检验,当a1或a6时,l1l2.要点三两条直线的垂直关系例3判断下列各题中的直线l1,l2是否垂直：(1)l1经过点A(1,2),B(1,2),l2经过点P(2,1),Q(2,1)；(2)l1经过点A(3,4),B(3,6),l2经过点P(5,20),Q(5,20).解(1)直线l1的斜率k12,直线l2的斜率k2,因为k1k211,所以l1与l2不垂直.(2)直线l1的斜
7、率不存在,直线l2的斜率k20,所以l1l2.规律方法两条直线垂直需判定k1k21,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.跟踪演练3已知ABC三个顶点坐标分别为A(2,4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.解由斜率公式可得kAB,kBC0,kAC5.由kBC0知,直线BCx轴,BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2,由k1kAB1,k2kAC1,即k11,k251,解得k1,k2.综上可知BC边上的高所在直线的斜率不存在；AB边上的高所在直线的斜率
8、为；AC边上的高所在直线的斜率为.1.直线l1：2x3y20；l2：2x3y20的位置关系是()A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合答案B解析A1B2A2B10且A1C2A2C1,l1l2.2.已知直线l1的斜率k1,直线l2的斜率k2,则l1与l2的位置关系为()A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定答案C解析k1k21,l1l2.3.下列说法正确的有()若两直线斜率相等,则两直线平行；若l1l2,则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交；若两直线斜率都不存在,则两直线平行.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案A解析当k1k2时,l1与l2
9、平行或重合,不成立；中斜率不存在时,不正确；同,也不正确.只有正确.故选A.4.直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直,则l的方程是()A.3x2y10 B.3x2y70C.2x3y50 D.2x3y80答案A解析与2x3y40垂直的直线方程为3x2ym0,把(1,2)代入直线方程得m1.5.一条光线从A(3,2)发出,到x轴上的M点后,经x轴反射通过点B(1,6),则反射光线所在直线的斜率为_.答案2解析如图所示,作A点关于x轴的对称点A,所以点A在直线MB上.由对称性可知A(3,2),所以光线MB所在直线的斜率为kAB2.故反射光线所在直线的斜率为2.1.两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.