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1、2.3.4圆与圆的位置关系学习目标1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.知识链接1.判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法.2.两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.预习导引圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d0)，则r1，r.联立解得a4，b0，r2，或a0，b4，r6，即所求圆的方程为(x4)2y24或x
2、2(y4)236.规律方法两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则两圆相切(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).跟踪演练1求与圆(x2)2(y1)24相切于点A(4，1)且半径为1的圆的方程.解设所求圆的圆心为P(a，b)，则1.(1)若两圆外切，则有123，联立，解得a5，b1，所以，所求圆的方程为(x5)2(y1)21；(2)若两圆内切，则有|21|1，联立，解得a3，b1，所以，所求圆的方程为(x3)2(y1)21.综上所述，所求圆的方程为(x5)2(y1)21或(x3)2(y1)21.要点二与两
3、圆相交有关的问题例2已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y24x2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，得：3x4y60.A，B两点坐标都满足此方程，3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(1,3)，半径r13.又C1到直线AB的距离为d.|AB|22.即两圆的公共弦长为.规律方法1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.2.公共弦长的
4、求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪演练2求两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直线的方程及公共弦长.解联立两圆的方程得方程组，两式相减得x2y40，此即为两圆公共弦所在直线的方程.方法一设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组，解得或.所以|AB|2，即公共弦长为2.方法二由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心坐标为(1，5)，半径长r5，圆心到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l
5、，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦长2l2.要点三直线与圆的方程的应用例3一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2y29，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x7y280.圆心(
6、0,0)到航线4x7y280的距离d，而半径r3，dr，直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：跟踪演练3台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A.0.5小时 B.1小时C.1.5小时 D.2小时答案B解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线yx上移动，又B(40,0)到yx的距离为d20，由|BE|BF|30知|EF|20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t1小时.故选B.1.圆O1
7、：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系为()A.相离 B.相交 C.外切 D.内切答案B解析圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22；1r2r1|O1O2|0)外切，则r的值是()A. B. C.5 D.答案D解析由题意可知2r，r.5.已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A、B两点，则直线AB的方程是_.答案x3y0解析2x6y0，即x3y0.1.判断圆与圆位置关系的方法通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：