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1、高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题【考点自测】1(2016全国)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B解析由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2sin，由2xk(kZ)得函数的对称轴为x(kZ)，故选B.2(2016全国)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A等于()A. B. C D答案C解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，可知BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan Atan(BADCAD)3，所以cos A
2、.3在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于()A2 B4 C5 D10答案D解析将ABC的各边均赋予向量，则642610.4(2016全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.答案解析在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.5.若函数yAsin(x)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且0(O为坐标原点)，则A_.答案解析由题意知M，N，又A20，A.题型一三角函数的图象和性
3、质例1 (2016山东)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g的值解(1)由f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
4、(纵坐标不变)，得到y2sin1的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y2sin x1的图象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysin t的图象求解跟踪训练1 已知函数f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心解(1)因为f(x)sin 2x(1cos 2x)55sin，所以函数的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk
5、(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(3)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(kZ)题型二解三角形例2 (2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1
6、(舍去)或cos B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍跟踪训练2 (2017北京)在ABC中，A60，ca.(1)求sin C的值；(2)若a7，求ABC的面积解(1)在ABC中，因为A60，ca，所以由正弦定理得sin C.(2)因为a7，所以c73.由余弦定理a2b2c22bccos A，
7、得72b2322b3，解得b8或b5(舍去)所以ABC的面积Sbcsin A836.题型三三角函数和平面向量的综合应用例3 已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b2，sin B，求f(x)4cos的取值范围解(1)因为ab，所以cos xsin x0，所以tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b2(cos x，1)sin 2xcos 2xsin.由正弦定理，得sin A，所以A或A.因为ba，所以A.所以f(x)4cossin，因为x，所
8、以2x，所以1f(x)4cos.所以f(x)4cos的取值范围是.思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响跟踪训练3 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(cos A2cos C,2ca)，n(cos B，b)平行(1)求的值；(2)若bcos Cccos B1，ABC的周长为5，求b的长解(1)由已知得b(cos A2cos C)(2ca)cos B，由正弦定理，可设k0，则(cos A2cos C)ksin B(2ksi
9、n Cksin A)cos B，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)，又ABC，所以sin C2sin A，因此2.(2)由余弦定理可知，bcos Cccos Bbca1，由(1)知2，则c2，由周长abc5，得b2.1已知函数f(x)sinsin2cos2，xR(其中0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为，求函数yf(x)的单调递增区间解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)212sin1.由1sin1，得32sin11，所以函
10、数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，yf(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数yf(x)的单调递增区间为(kZ)2(2018届河南师范大学附属中学开学考试)在ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(cos A，sin A)，n(sin A，cos A)，且|mn|2.(1)求角A的大小；(2)若b4，ca，求ABC的面积解(1)|mn|2(cos Asin A)2(sin Acos A)242(cos Asin A)44cos，44cos4，cos0，又A(0，)，故A，A.(2)
11、由余弦定理得a2b2c22bccos A，即a2(4)2(a)224acos ，解得a4，c8，SABC4816.3(2018合肥质检)已知a(sin x，cos x)，b(cos x，cos x)，函数f(x)ab.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值解(1)f(x)ab(sin x，cos x)(cos x，cos x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.令2xk(kZ)，得x(kZ)即函数yf(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)由条件知sinsin0，且0x1x2，(x1，f(x1
12、)与(x2，f(x2)关于直线x对称，则x1x2，cos(x1x2)coscoscossin.4(2017东北三省四市二模)已知点P(，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，函数f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A为ABC的内角，f(A)4，BC3，求ABC周长的最大值解(1)由已知，得(，1)，(cos x,1sin x)，所以f(x)3cos x1sin x42sin，所以函数f(x)的最小正周期为2.(2)因为f(A)4，所以sin0，又0A，所以A，A.因为BC3，所以由正弦定理，得AC2sin B，AB2sin C，所以ABC的周长为32sin B2si
13、n C32sin B2sin32sin.因为0B，所以B0)个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数ysin x的图象，求的最小值解(1)f(x)mn2acos2xbsin xcos x，由f(0)2a，得a，此时，f(x)cos 2xsin 2x，由f(x) 1，得b1或b1，当b1时，f(x)sin，经检验为最高点；当b1时，f(x)sin，经检验不是最高点故函数的解析式为f(x)sin.(2)函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数ysin的图象，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数ysin的图象，所以22k(kZ)，k(kZ)，因为0，所以的最小值为.
14、6(2017山东淄博模拟)已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，与f(x)图象的对称轴x相邻的f(x)的零点为x.(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；(2)设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c且c，f(C)1，若向量m(1,sin A)与向量n(2，sin B)共线，求a，b的值解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin.由与f(x)图象的对称轴x相邻的零点为x，得，所以1，即f(x)sin，令z2x，函数ysin z的单调递增区间是，kZ，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，设A，B，易知AB，所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)f(C)sin10，则sin1，因为0C，所以2C，所以2C，解得C.因为m(1，sin A)与向量n(2，sin B)共线，所以sin B2sin A，由正弦定理得，b2a.由余弦定理，得c2a2b22abcos ，即a2b2ab3.由解得a1，b2.