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1、9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点以选择、填空题为主，难度为中低档一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.1双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为
2、常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)知识拓展巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t
3、(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)()题组二教材改编2P53T1若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5C. D2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3P54A组T6经过点
4、A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_答案1解析设双曲线的方程为1(a0)，把点A(3，1)代入，得a28(舍负)，故所求方程为1.题组三易错自纠4(2016全国)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案A解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案D解析由条件知yx过点(3，4
5、)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选D.6已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_答案y21解析由双曲线的渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程典例 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|
6、MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)命题点2利用待定系数法求双曲线方程典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e
7、，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.命题点3利用定义解决焦点三角形问题典例 已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.引申探究1本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，
8、则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|sin 602.2本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用
9、正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可跟踪训练 (1)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_答案1解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知，a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.即1.(2)(2016天津)已知双曲线1(b
10、0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.故选D.题型二双曲线的几何性质典例 (1)已知F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 Bxy0Cx2y0 D2
11、xy0答案A解析由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.跟踪训练 (2016全国)已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D2答案A解析离心率e，由正弦定理得e.故选A.题型三直线与双曲线的综合问题典例 (2018福州模拟)已知直线ykx1和双曲线x2y21的右支交于不同两点，则k的取
12、值范围是_答案(1，)解析由直线ykx1和双曲线x2y21联立方程组，消y得(1k2)x22kx20，因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以解得1k.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验跟踪训练 (2017贵州贵阳第一中学月考)已知双曲线1上存在两点P，Q关于直线yxb对称，且PQ的中点M在抛物线y29x上，则实数b的值为()A0或10 B0或
13、2C2 D10答案A解析因为点P，Q关于直线yxb对称，所以PQ的垂直平分线为yxb，所以直线PQ的斜率为1.设直线PQ的方程为yxm，由得x24mx2m260，所以xPxQ4m，所以xM2m，所以M(2m,3m)因为PQ的中点M在抛物线y29x上，所以9m29(2m)，解得m0或m2，又PQ的中点M也在直线yxb上，得b5m，b0或10，故选A.直线与圆锥曲线的交点典例 若直线ykx2与曲线x交于不同的两点，那么k的取值范围是()A. B.C. D.错解展示：由直线ykx2与曲线x2y26相切，得x2(kx2)26，16k24(1k2)(10)0，解得k，所以k的取值范围是.错误答案A现场纠
14、错解析曲线x表示焦点在x轴上的双曲线的右支，由直线ykx2与双曲线方程联立得消去y，得(1k2)x24kx100.由直线与双曲线右支交于不同两点，得解得k.故选D.答案D纠错心得 (1)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法(2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解1(2018新余摸底)双曲线1(a0)的渐近线方程为()Ay2x ByxCy4x Dyx答案A解析根据双曲线的渐近线方程知，yx2x，故选A.2(2018济宁模拟)若方程C：x21(a是常数)，则下列结论正确的是()Aa(0，)，方程C表示椭圆Ba(，0)，方程C表示双曲线Ca(，0)，
15、方程C表示椭圆DaR，方程C表示抛物线答案B解析当a1时，方程C：x21，即x2y21，表示单位圆，a(0，)，使方程C不表示椭圆故A项不正确；当a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析不妨设B(0，b)，由2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，即，.又|4，c2a2b2，a22b216，由可得，a24，b26，双曲线C的方程为1，故选D.4(2017福建龙岩二模)已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，
16、且OMMF2，O为坐标原点，若16，则双曲线的实轴长是()A32 B16C84 D4答案B解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|OM|a.由16，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.5(2018开封模拟)已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则P到x轴的距离为()A. B.C2 D.答案C解析由题意知F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，则可设P(x0，x0)由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故P到x轴的距离为|x0
17、|2，故选C.6经过双曲线y21的右焦点的直线与双曲线交于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线的条数为()A4 B3 C2 D1答案B解析由双曲线y21，可得a2，b1，当直线AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小值是1，|AB|41，此时有两条直线符合题意；当直线AB与双曲线两支相交时，此时A、B的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a4，距离无最大值|AB|4，此时有1条直线符合条件综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.7(2018届武汉调研)已知不等式3x2y20所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线yx和直线yx的垂线段分别为PA，PB，若PAB的面积为，则点P轨迹的一个焦点坐
18、标可以是()A(2,0) B(3,0)C(0,2) D(0,3)答案A解析直线yx与yx的夹角为60，且3x2y20，PA与PB的夹角为120，|PA|PB|，SPAB|PA|PB|sin 120(3x2y2)，即P点的轨迹方程为x21，半焦距为c2，焦点坐标可以为(2,0)，故选A.8设A(3,0)，B(3,0)，若直线y(x5)上存在一点P满足|PA|PB|4，则点P到x轴的距离为()A. B.C.或 D.或答案A解析A(3,0)，B(3,0)，点P满足|PA|PB|40)若直线y(x5)上存在一点P满足|PA|PB|4，消去y得16x290x3250，得x或x(舍)，此时y，即点P到x轴
19、的距离为，故选A.9(2016北京)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_.答案12解析由2xy0，得y2x，所以2.又c，a2b2c2，解得a1，b2.10设动圆C与两圆C1：(x)2y24，C2：(x)2y24中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为_答案y21解析设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r2，于是有或|CC1|CC2|4a0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为_答案yx解析联立直线方
20、程与渐近线方程，得解方程组可得交点M的坐标为.联立直线方程与渐近线方程，得解方程组可得交点N的坐标为，结合|NF1|2|MF1|和两点之间的距离公式，可得，解得，则双曲线C的渐近线方程为yx.12设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_答案(2，8)解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义可知m需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.13(2017湖北黄冈二模)已知双曲线x2
21、1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使e，则的值为()A3 B2C3 D2答案B解析由题意及正弦定理得e2，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，由余弦定理可知cosPF2F1，|cosPF2F1242.故选B.14(2017安徽安庆二模)已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若ACBF1，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D2答案B解析不妨设双曲线方程为1(a0，b0)，由已知，取A点坐标为，取B点坐标为，则C点坐标为且F1(
22、c,0)由ACBF1知0，又，可得2c20，又b2c2a2，可得3c410c2a23a40，则有3e410e230，可得e23或，又e1，所以e.故选B.15(2017福州质检)已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|，则E的离心率是()A2 B.C. D.答案C解析如图所示，设PF1，PF2分别与PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|AQ|，|NP|MP|，|NF2|QF2|，|AF1|AF2|QA|QF2|,2a|PF1|PF2|(|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|)2|QA|2，故a，从而e，故选C.16已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_答案解析由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.当P，F1，F2三点不共线时，在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2，即e2cosF1PF2.cosF1PF2(1,1)，e.当P，F1，F2三点共线时，|PF1|4|PF2|，e，综上，e的最大值为.