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1、2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个
2、确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函
3、数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数知识拓展简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数ytan x的定义域为.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.()(2)若两
4、个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()题组二教材改编2P24T1(4)函数f(x)的定义域是_答案(，1)(1,43P25B组T1函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为_答案2解析当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02.当x0时，f
5、(x)x2，f(x0)4，即x4，无解，所以x02.5设f(x)则f(f(2)_.答案解析因为20，所以f(2)220，所以f(f(2)f11.6已知函数f(x)ax32x的图象过点(1,4)，则a_.答案2解析由题意知点(1,4)在函数f(x)ax32x的图象上，所以4a2，则a2.题型一函数的概念1若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案B解析A中函数的定义域不是2,2，C中图象不表示函数，D中函数值域不是0,2，故选B.2有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|
6、x|，则f0.其中正确判断的序号是_答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数，故不正确；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故正确；对于，由于f0，所以ff(0)1，故不正确综上可知，正确的判断是.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域典例 (1)函数f(x)ln(2xx2)的定义域为()A(2，) B
7、(1,2)C(0,2) D1,2答案B解析要使函数有意义，则解得1x2.函数f(x)ln(2xx2)的定义域为(1,2)(2)若函数yf(x)的定义域是0,2 018，则函数g(x)的定义域是()A1,2 017 B1,1)(1,2 017C0,2 018 D1,1)(1,2 018答案B解析使函数f(x1)有意义，则0x12 018，解得1x2 017，故函数f(x1)的定义域为1，2 017所以函数g(x)有意义的条件是 解得1x1或1x2 017.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 017引申探究本例(2)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2 018”，改为“函数f(x1)的定
8、义域为0,2 018，”则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 016解析由函数f(x1)的定义域为0,2 018得函数yf(x)的定义域为1,2 017，令则2x2 016且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 016命题点2已知函数的定义域求参数范围典例 (1)(2018衡水联考)若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.(2)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案(1)D(2)解析(1)要使函数的定义域为R，则mx24mx30恒成立，当m0时，显然满足条件；当m0时，(4m)24m30，得0m，由得0m.(2)函数f(x)的定义
9、域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以解得所以ab3.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解跟踪训练 (1)(2017江西九江七校联考)函数y的定义域是()A(1,3) B(1,3C(1,0)(0,3) D(1,0)(0,3答
10、案D解析由题意得解得1x3且x0，函数的定义域为(1,0)(0,3(2)已知函数yf(x21)的定义域为，则函数yf(x)的定义域为_答案1,2解析yf(x21)的定义域为，x，x211,2，yf(x)的定义域为1,2(3)(2017杭州模拟)若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_答案0,4解析当m0时，f(x)的定义域为一切实数；当m0时，由得00，则|log2x|，解得x或x.故x的集合为.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1, )(2)(2017全国)设函数f(x)则满足f(x)f1
11、的x的取值范围是_思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围解析(1)令f(a)t，则f(t)2t，当t0，g(t)0，值域为y|y0，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y，故选D.4(2017湖南衡阳八中一模)已知f(x) 则f等于()A2 B3 C9 D9答案C解析flog32，ff(2)29.5已知f，则f(x)等于()A(x1)2(x1) B(x1)2(x1)Cx2x1(x1)
12、Dx2x1(x1)答案C解析f21，令t(t1)，则f(t)t2t1，即f(x)x2x1(x1)6.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1x0，f(f(2)f(log29)333381243.故选B.8已知f(x)的值域为R，那么a的取值范围是()A(，1 B.C. D.
13、答案C解析要使函数f(x)的值域为R，需使1a.即a的取值范围是.9已知f(1)x2，则f(x)_.答案x21(x1)解析令1t，则x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以f(x)x21(x1)10已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)的定义域是_答案(2,8解析要使函数有意义，需f(x)0，由f(x)的图象可知，当x(2,8时，f(x)0.11已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_答案(1，1)解析由题意得或解得1x0或0x1，所求x的取值范围为(1，1)12(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“”：当mn时，mnm
14、；当mn时，mnn2.设函数f(x)(2x)x(4x)，x1,4，则函数f(x)的值域为_答案2,0(4,60解析由题意知，f(x)当x1,2时，f(x)2,0；当x(2,4时，f(x)(4,60，故当x1,4时，f(x)2,0(4,6013设函数f(x)若f(f(a)3，则实数a的取值范围是()A(， B，)C， D(，答案D解析令f(a)t，则f(t)3等价于或解得t3，则f(a)3等价于或解得a，则实数a的取值范围是(，故选D.14已知函数f(x)满足对任意的xR都有ff2成立，则fff_.答案7解析由ff2，得ff2，ff2，ff2，又f21，fff2317.15已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)y(y2x1)，且f(1)3，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)x2x1解析令x0，yx，得f(x)f(0)x2x.把x1代入上式，得f(0)f(1)21，从而有f(x)x2x1.16已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时取等号，此时f(x)min230；当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为23.