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1、1若n为大于1的自然数，求证：nn1.证明：右边111112nn左边2，故不取等号不等式n0，利用柯西不等式，得(mn)()(ab)2，所以.(2)由(1)，y25，所以函数y(x (0，)的最小值为25，当且仅当x时取得3设ABC的三边长分别为a，b，c，(1)判定bca，abc，cab的符号；(2)求证：abc.解析：(1)因为a，b，c为三角形的三边，所以bca0，cab0，abc0.(2)证明：()(bca)(cab)(abc)()2(abc)2abc.4已知a，b，c(0，)，且2，求a2b3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值解析：()(a2b3c)( )2( )2( )2()2
2、()2()2( )236.又2，a2b3c18，当且仅当，即abc3时等号成立当abc3时，a2b3c取得最小值18.5已知函数f(x)m|x2|， mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解析：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()()29.6某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：1919；
3、3010；2512.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：用料最省；简便易行)解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m、b m、c m，由题意，可得abc500，长方体水箱的表面积为：S2bc2acab.由均值不等式，知S2bc2acab33300.当且仅当2bc2caab，即ab10，c5时，S2bc2caab300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10105(即221)时，其用料最省如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长宽31)的长方形因此，应选择规格3010的制作材料，制作方案如图(3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行SJ