绝密★启用前
河北衡水中学2019年高考押题试卷理数（二)
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．设集合A={x|x2-x-6<0,x∈Z}，B={z|z=x-y,x∈A,y∈A}，则A∩B=（ ）
A．{0,1} B．{0,1,2} C．{0,1,2,3} D．{-1,0,1,2}
2．设复数z满足1+z1+i=2-i，则|1z|=（ ）
A．5 B．15 C．55 D．525
3．若cos(α+π4)=13，α∈(0,π2)，则sinα的值为（ ）
A．4-26 B．4+26 C．718 D．23
4．已知直角坐标原点O为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心，F1，F2为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：x2+y2=a2-b2没有交点”的概率为（ ）
A．24 B．4-24 C．22 D．2-22
5．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，当其离心率e∈[2,2]时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）
A．[0,π6] B．[π6,π3] C．[π4,π3] D．[π3,π2]
6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π+2，则它的表面积是（ ）
A．(3132+3)π+22+2 B．(3134+32)π+22+2
C．132π+22 D．134π+22
7．函数y=sinx+lnx在区间[-3,3]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．二项式(ax+1bx)n(a>0,b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．执行如图的程序框图，若输入的x=0，y=1，n=1，则输出的p的值为（ ）
A．81 B．812 C．814 D．818
10．已知数列a1=1，a2=2，且an+2-an=2-2(-1)n，n∈N*，则S2017的值为（ ）
A．20161010-1 B．10092017 C．20171010-1 D．10092016
11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<π2)的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f(x)，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是（ ）
A．函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)
B．函数g(x)的最大值为22
C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y=3x-1平行
D．方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1，x2，则x1-x2最小值为π2
12．已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在三个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(-∞,-2) B．(-2,2) C．(2,+∞) D．(-2,0)∪(0,2)
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．向量a=(m,n)，b=(-1,2)，若向量a，b共线，且a=2b，则mn的值为__________．
14．设点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P、Q，若ΔPMQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
15．设x，y满足约束条件2x+y-3≥0x-2y+2≥02x-y-2≤0，则yx的取值范围为__________．
16．在平面五边形ABCDE中，已知∠A=120，∠B=90，∠C=120，∠E=90，AB=3，AE=3，当五边形ABCDE的面积S∈[63,93)时，则BC的取值范围为__________．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知数列an的前n项和为Sn,a1=12,2Sn=Sn-1+1(n≥2,n∈N*)
（1）求数列an的通项公式；
（2）记bn=log12ann∈N*，求1bnbn+1的前n项和Tn.
18．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB=2a，∠ABC=120∘，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF，BD⊥DE，DE=2BF=22a，平面BDEF⊥底面ABCD.
（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；
（2）求二面角E-AC-F的余弦值.
19．某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；
（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数ξ的分布列与数学期望.
20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22,32)，动直线l：y-kx+m交椭圆C于不同的两点A，B，且OA⋅OB=0（O为坐标原点）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）讨论3m2-2k2是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.
21．设函数f(x)=-a2lnx+x2-ax(a∈R).
（1）试讨论函数f(x)的单调性；
（2）设φ(x)=2x+(a2-a)lnx，记h(x)=f(x)+φ(x)，当a>0时，若方程h(x)=m(m∈R)有两个不相等的实根x1，x2，证明h(x1+x22)>0.
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：x=3+αcosty=2+αsint（t为参数，a>0），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4sinθ.
（1）试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；
（2）当a=3时，两曲线相交于A，B两点，求AB.
23．已知函数f(x)=2x-1+x+1.
（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象，并由图象找出满足不等式f(x)≤3的解集；
（2）若函数y=f(x)的最小值记为m，设a,b∈R，且有a2+b2=m，试证明：1a2+1+4b2+1≥187.
参考答案
1．B
【解析】由题意可得：A={-1,0,1,2},B={0,1,2,3} ，则集合A∩B={0,1,2}.
本题选择B选项.
2．C
【解析】由题意可得： 1+z=(2-i)(1+i)=3+i,∴z=2+i,|1z|=|12+i|=|1||2+i|=55 .
3．A
【解析】
∵α∈(0,π2)，∴α+π4∈（π4，3π4），
又因为cos(α+π4)=13，∴sin（α+π4）=1-(13)2=223
故sinα=sin[（α+π4）-π4]=sin（α+π4）cosπ4-cos（α+π4）sinπ4
=22322-1322= 4-26,
故选A.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
4．A
【解析】满足题意时，椭圆上的点P(acosθ,bsinθ) 到圆心O(0,0) 的距离：
d2=(acosθ-0)2+(bsinθ-0)2>r2=a2+b2 ，
整理可得b2a2>sin2θ1+sin2θ,∴e2=1-b2a2<1-sin2θ1+sin2θ=11+sin2θ<12 ，
据此有：e2<12,0
0 时，fx=sinx+lnx⇒fx=cosx+1x，
当x∈(0,1)时，fx>0，即函数fx在(0,1)上为单调递增函数，排除B；
由当x=1时，f1=sin1>0，排除D；
因为f-x=sin(-x)+ln-x=fx=-sinx+lnx≠fx，
所以函数fx为非奇非偶函数，排除C，故选A.
点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
8．B
【解析】二项式(ax+1bx)n(a>0,b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n=10 ，
二项式(ax+1bx)10 展开式的通项公式为：Tr+1=C10r(ax)10-r(1bx)r=C10ra10-rb-rx10-2r ，
由题意有：T2+1T3+1=C102a8b-2C103a7b-3=3 ，整理可得：ab=8 .
本题选择D选项.
点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同
一是在Tr＋1＝Cnran－rbr中，Cnr 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Cnr，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
9．C
【解析】依据流程图运行程序，首先 初始化数值， x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：
x=ny=1,y=y+n2 =1，时满足条件 y2≥x ，执行 n=n+1=2 ，进入第二次循环，
x=ny=2,y=y+n2 =32 ,时满足条件 y2≥x ，执行 n=n+1=3 ，进入第三次循环，
x=ny=2,y=y+n2 =94，时不满足条件y2≥x ，输出p=xy=814 .
10．C
【解析】由递推公式可得：
当n 为奇数时，an+2-an=4 ，数列{a2n-1} 是首项为1，公差为4的等差数列，
当n 为偶数时，an+2-an=0 ，数列{a2n-1} 是首项为2，公差为0的等差数列，
S2017=(a1+a3+⋯+a2017)+(a2+a4+⋯+a2016)=1009+12100910084+10082=20171010-1.
本题选择C选项.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
11．C
【解析】
【分析】
根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，求出f′（x），写出g（x）＝f（x）+f′（x）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．
【详解】
根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象知，
A＝2，T4=2π3-π6=π2，
∴T＝2π，ω=2πT=1；
根据五点法画图知，
当x=π6时，ωx+φ=π6+φ=π2，
∴φ=π3，
∴f（x）＝2sin（x+π3）；
∴f′（x）＝2cos（x+π3），
∴g（x）＝f（x）+f′（x）
＝2sin（x+π3）+2cos（x+π3）
＝22sin（x+π3+π4）
＝22sin（x+7π12）；
令x+7π12=π2+kπ，k∈Z，
解得x=-π12+kπ，k∈Z，
∴函数g（x）的对称轴方程为x=-π12+kπ，k∈Z，A正确；
当x+7π12=π2+2kπ，k∈Z时，函数g（x）取得最大值22，B正确；
g′（x）＝22cos（x+7π12），
假设函数g（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行，
则k＝g′（x0）＝22cos（x0+7π12）＝3，
解得cos（x0+7π12）=322＞1，显然不成立，
所以假设错误，即C错误；
方程g（x）＝2，则22sin（x+7π12）＝2，
∴sin（x+7π12）=22，
∴x+7π12=π4+2kπ或x+7π12=3π4+2kπ，k∈Z；
∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时，
|x1﹣x2|的最小值为π2，D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，也考查了导数的几何意义的应用以及命题真假的判断问题，属于难题．
12．D
【解析】很明显a≠0 ，由题意可得：f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2) ，
则由f(x)=0 可得x1=0,x2=2a ，
由题意得不等式：f(x1)f(x2)=8a2-12a2+1<0 ，
即：4a2>1,a2<4,-2c>22y,y=b2a，从而可求椭圆的离心率的取值范围.
详解：因为圆M与x轴相切于焦点F，
所以圆心与F的连线必垂直于x轴，不妨设M(c,y)，
因为M(c,y)在椭圆上，则y=b2a(a2=b2+c2)，所以圆的半径为b2a，
由题意y>c>22y，所以c2<(1-e2)2<2e2，所以6-2290，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，B级7个，从而任意选取3个，这3个为A级的个数ξ的可能值为0，1，2，3.
则P(ξ=0)=C40C73C113=733，P(ξ=1)=C41C72C113=2855，
P(ξ=2)=C42C71C113=1455，P(ξ=3)=C43C70C113=4165.
因此可得ξ的分布列为：
则E(ξ)=0733+12855+21455+34165 =1211.
20．(1)x22+y2=1;(2)2.
【解析】
试题分析：
(1)由题意求得b2=1，a2=2，故所求的椭圆方程为x22+y2=1.
(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得3m2-2k2=2为定值.
试题解析：
（1）由题意可知ca=22，所以a2=2c2=2(a2-b2)，即a2=2b2，①
又点P(22,32)在椭圆上，所以有24a2+34b2=1，②
由①②联立，解得b2=1，a2=2，
故所求的椭圆方程为x22+y2=1.
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由OA⋅OB=0，
可知x1x2+y1y2=0.
联立方程组{y=kx+m,x22+y2=1,
消去y化简整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，
由Δ=16k2m2-8(m2-1)(1+2k2)>0，得1+2k2>m2，所以x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，③
又由题知x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，
整理为(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.
将③代入上式，得(1+k2)2m2-21+2k2-km⋅4km1+2k2+m2=0.
化简整理得3m2-2-2k21+2k2=0，从而得到3m2-2k2=2.
21．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：
(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：
①若a>0时，当x∈(0,a)时，函数f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，函数f(x)单调递增；
②若a=0时，函数f(x)单调递增；
③若a<0时，当x∈(0,-a2)时，函数f(x)单调递减，当x∈(-a2,+∞)时，函数f(x)单调递增.
(2)构造新函数h(x)=f(x)+φ(x)= x2+(2-a)x-alnx (x>0)，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.
试题解析：
（1）由f(x)=-a2lnx+x2-ax，可知f(x)=-a2x+2x-a= 2x2-ax-a2x=(2x+a)(x-a)x.
因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以，
①若a>0时，当x∈(0,a)时，f(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，f(x)>0，函数f(x)单调递增；
②若a=0时，当f(x)=2x>0在x∈(0,+∞)内恒成立，函数f(x)单调递增；
③若a<0时，当x∈(0,-a2)时，f(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(-a2,+∞)时，f(x)>0，函数f(x)单调递增.
（2）证明：由题可知h(x)=f(x)+φ(x)= x2+(2-a)x-alnx (x>0)，
所以h(x)=2x+(2-a)-ax= 2x2+(2-a)x-ax=(2x-a)(x+1)x.
所以当x∈(0,a2)时，h(x)<0；当x∈(a2,+∞)时，h(x)>0；当x=a2时，h(a2)=0.
欲证h(x1+x22)>0，只需证h(x1+x22)>h(a2)，又h(x)=2+ax2>0，即h(x)单调递增，故只需证明x1+x22>a2.
设x1，x2是方程h(x)=m的两个不相等的实根，不妨设为0x12-x22+2x1-2x22(x1-x2+lnx1-lnx2)，
即x1+x2=x12-x22+2x1-2x2x1-x2+lnx1-lnx2.
因为x1-x2+lnx1-lnx2<0，
所以（*）式可化为lnx1-lnx2<2x1-2x2x1+x2，
即lnx1x2<2x1x2-2x1x2+1.
因为00得证.
22．（1）a的取值范围为[1,5]；（2）AB=24-49=823.
【解析】试题分析：
(1)由题意计算可得曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程为(x-3)2+(y-2)2=a2，x2+(y-2)2=4；a的取值范围是[1,5]；
(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得|AB|=823.
试题解析：
（1）曲线C1：{x=3+αcost,y=2+αsint,消去参数t可得普通方程为(x-3)2+(y-2)2=a2.
曲线C2：ρ=4sinθ，两边同乘ρ.可得普通方程为x2+(y-2)2=4.
把(y-2)2=4-x2代入曲线C1的普通方程得：a2=(x-3)2+4-x2=13-6x，
而对C2有x2≤x2+(y-2)2=4，即-2≤x≤2，所以1≤a2≤25故当两曲线有公共点时，a的取值范围为[1,5].
（2）当a=3时，曲线C1：(x-3)2+(y-2)2=9，
两曲线交点A，B所在直线方程为x=23.
曲线x2+(y-2)2=4的圆心到直线x=23的距离为d=23，
所以|AB|=24-49=823.
23．（1）解集为[-1,1]；（2）见解析见解析.
【解析】试题分析：
(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为[-1,1].
(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.
试题解析：
（1）因为f(x)=|2x-1|+|x+1|= {-3x,x<-1,-x+2,-1≤x≤12,3x,x>12.
所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式f(x)≤3的解集为[-1,1].
（2）证明：由图可知函数y=f(x)的最小值为32，即m=32.
所以a2+b2=32，从而a2+1+b2+1=72，
从而1a2+1+4b2+1= 27[(a2+1)+(b2+1)](1a2+a+4b2+1)= 27[5+(b2+1a2+1+4(a2+1)b2+1)]≥ 27[5+2b2+1a2+1⋅4(a2+1)b2+1]=187.
当且仅当b2+1a2+1=4(a2+1)b2+1时，等号成立，
即a2=16，b2=43时，有最小值，
所以1a2+1+4b2+1≥187得证.