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1、2.3.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
2、平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点二两向量的夹角与垂直思考1平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案 存在夹角，不一样.思考2ABC为正三角形，设a，b，则向量a与b的夹角是多少？答案如图，延长AB至点D，使ABBD，则a，ABC为等边三角形，ABC60，则CBD120，故向量a与b的夹角为120.梳理(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当0时，a与b同向；当180时，
3、a与b反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.类型一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.A. B. C. D.答案B解析由平面向量基本定理可知，是正确的；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当两向量的系数均为零，即12120
4、时，这样的有无数个，故选B.反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1e2，e2e1 B.2e1e2，e1e2C.2e23e1，6e14e2 D.e1e2，e1e2答案D解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2e1)，则e1e2，e2e1为共线向量；选项B中，2e1e22(e1e2)，也为共线向量；选项C中，6e14e22(2e23e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只
5、有选项D符合.类型二向量的夹角例2已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是，求.解如图，作a，b，且AOB60，以OA、OB为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角60.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB，所以COA906030，即ab与a的夹角30，所以90.反思与感悟(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a与b的夹角为，1a与2b(1、2是非零常数)的夹角为0，当120时
6、，0.跟踪训练2已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_.答案90解析由()知，O，B，C三点共线，且O是线段BC的中点，故线段BC是圆O的直径，从而BAC90，因此与的夹角为90. 类型三平面向量基本定理的应用例3如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示，.解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.引申探究若本例中其他条件不变，设a，b，试以a，b为基底表示，.解取CF的中点G，连接EG.E、G分别为BC，CF的中点，b，ab.又，(ab)ab.又，b(ab)ab.反思与感悟将
7、不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练3如图所示，在AOB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与相交于点P，用基底a，b表示.解，.设m，n，则mm()am(ba)(1m)amb，nn()bn(ab)(1n)bna.a，b不共线，即ab.1.下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A. B. C. D.答
8、案C解析零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确.2.在直角三角形ABC中，BAC30，则与的夹角等于()A.30 B.60 C.120 D.150答案D解析由向量夹角定义知，与的夹角为150.3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.答案1512解析向量e1，e2不共线，解得4.如图所示，在正方形ABCD中，设a，b，c，则当以a，b为基底时，可表示为_，当以a，c为基底时，可表示为_.答案ab2ac解析由平行四边形法则可知，ab，以a，c为基底时将平移，使点B与点A重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得
9、到.5.已知在梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试用a、b为基底表示，.解连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DC綊FB.四边形DCBF为平行四边形.依题意，b，ab，bba.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且
10、分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.课时作业一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A.e1e2和e1e2B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2D.e1和e1e2答案B解析B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底.2.若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是()A.60 B.120C.30 D.150答案A3.如图所示，用向量e1，
11、e2表示向量ab为()A.4e12e2 B.2e14e2C.e13e2 D.3e1e2答案C解析如图，由向量的减法得ab.由向量的加法得e13e2.4.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数y的值为()A.3 B.4 C. D.答案B解析因为3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得故选B.5.若1a，2b，2(1)，则等于()A.ab B.a(1)bC.ab D.ab答案D解析，1(2)，(1)12，12ab.6.若D点在三角
12、形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B. C. D.答案C解析4rs，()rs，r，s.3rs.7.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案C解析如图，设，则ba，故(1)ab.()(ab)ab，由平面向量基本定理，得ab，故选C.二、填空题8.已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_.答案(，4)(4，)解析若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.ae12e2，b2e1e2，由akb，即得4.9.若
13、|a|b|ab|r(r0)，则a与b的夹角为_.答案60解析作a，b，则ab，AOB为a与b的夹角，由|a|b|ab|知AOB为等边三角形，所以AOB60. 10.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.答案解析设a，b，则ab，ab，又ab，()，即，.三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若ae1be2ce1de2(a、b、c、dR)，则ac，bd；(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1e2、e1e2表示出来.解(1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e1e2与e1e
14、2共线，则存在实数，使e1e2(e1e2)，即(1)e1(1)e2.因为1与1不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾.所以e1e2与e1e2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1e2、e1e2表示出来.12.如图，平面内有三个向量，.其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，求的值. 解如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则.在RtOCD中，|2，COD30，OCD90，|4，|2，故4，2，即4，2，6.13.在梯形ABCD中，M，N分别是DA，BC的中点，且k.设e1，e2，以e1，e2为基底表示向量
15、，.解方法一如图所示，e2，且k，kke2.又0，e1(k1)e2.又0，且，e2.方法二如图所示，过C作CEDA，交AB于点E，交MN于点F.同方法一可得ke2.则()e1(k1)e2，()e2.方法三如图所示，连接MB，MC.同方法一可得ke2，e1(k1)e2.由()，得()()e2.四、探究与拓展14.已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为_.答案90解析由题意可画出图形，在OAB中，因为OAB60，|b|2|a|，所以ABO30，OAOB，即向量a与c的夹角为90.15.设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值.(1)证明若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2).由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.(2)解设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)解由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.