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1、2.5.1平面几何中的向量方法学习目标1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题，利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题.向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到
2、三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题.知识点一几何性质及几何与向量的关系设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为.思考1证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量共线的相关知识：ababx1y2x2y10(b0).思考2证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量垂直的相关知识：abab0x1x2y1y20.梳理平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.2.通过向量运算
3、，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.3.把运算结果“翻译”成几何关系.类型一用平面向量求解直线方程例1已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4，0)，C(6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.解(1)由已知得点D(1，1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.(x1，y1)，(2，2).(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程.同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则.0.又(
4、x6，y2)，(4，4).4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程.反思与感悟利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.跟踪训练1在ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，求A的平分线所在的直线方程.解(3，4)，(8，6)，A的平分线的一个方向向量为a.设P(x，y)是角平分线上的任意一点，A的平分线过点A，a，所求直线方程为(x4)(y1)0.整理得7xy290.类型二用平面向量求解平面几何问题例2已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明建立如图所示的平
5、面直角坐标系，设AB2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). (1)(1，2)，(2，1).(1)(2)2(1)0，即BECF.(2)设点P坐标为(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2，同理，由，得y2x4，由得点P的坐标为(，).| 2|，即APAB.反思与感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把几何问题向量化.(2)向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系；把几何
6、问题向量化.跟踪训练2如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF. 证明方法一设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.，即DPEF.方法二如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1，AP(0)，则D(0，1)，P(，)，E(，0)，F(1，).(，1)，(1，).220，即DPEF.1.已知在ABC中，若a，b，且a
7、b0，则ABC的形状为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不能确定答案A2.过点A(2，3)，且垂直于向量a(2，1)的直线方程为()A.2xy70 B.2xy70C.x2y40 D.x2y40答案A解析设P(x，y)为直线上一点，则a，即(x2)2(y3)10，即2xy70.3.在四边形ABCD中，若0，0，则四边形ABCD为()A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形答案D解析0，四边形ABCD为平行四边形.又0，即平行四边形ABCD的对角线垂直，平行四边形ABCD为菱形.4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_.答案22解析由3，得
8、，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_.答案2解析O是BC的中点，().又m，n，.又M，O，N三点共线，1，则mn2.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.课时作业一、选择题1.在ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，则BC边的中线AD的长是()A.2 B.C.
9、3 D.答案B解析BC的中点为D，|.2.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案D解析，()0，0，OBAC.同理OABC，OCAB，O为三条高的交点.3.已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形答案D解析由0，得角A的平分线垂直于BC，ABAC.而cos，又，0，180，BAC60.故ABC为等边三角形，故选D.4.在四边形ABCD中，若(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B.2
10、C.5 D.10答案C解析0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.5.已知点A(2，3)，B(19，4)，C(1，6)，则ABC是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案C解析(19，4)(2，3)(21，7)，(1，6)(2，3)(1，3)，21210，又|，ABC为直角三角形.6.已知点P是ABC所在平面内一点，若，其中R，则点P一定在()A.ABC的内部 B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上答案B解析，P，A，C三点共线，点P一定在AC边所在的直线上.7.在ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点，若1，则AB的长
11、为()A.1 B. C. D.答案B解析设AB的长为a(a0)，因为，所以()()22a2a1.由已知，得a2a11，又因为a0，所以a，即AB的长为.二、填空题8.已知在矩形ABCD中，AB2，AD1，E，F分别为BC，CD的中点，则()_.答案解析如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1).E，F分别为BC，CD的中点，E，F(1，1)，(2，1)，()3(2)1.9.已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A，B两点，若|AB|，则_.答案解析如图，作ODAB于点D，则在RtAOD中，OA1，AD，所以AO
12、D60，AOB120，所以|cos 12011().10.若点M是ABC所在平面内的一点，且满足30，则ABM与ABC的面积之比为_.答案13解析如图，D为BC边的中点，则().因为30，所以32，所以，所以SABMSABDSABC.三、解答题11.在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，求的最小值.解在等腰梯形ABCD中，由AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos 60211cos 60cos 120，由对勾函数的性质知2 ，当且仅当，即时，取得最小值.12.如图所示，在正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上
13、的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BPDC. 证明设，并设ABC的边长为a，则有()(21)，.，(21)kk.于是有解得.，从而()()a2a2a2cos 600，BPDC.13.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4，1)，C(6，8). (1)求顶点D的坐标；(2)若2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标.解(1)设点D(m，n)，因为，所以(m，n)(6，8)(4，1)(2，7)，所以顶点D的坐标为(2，7).(2)设点I(x，y)，则点F坐标为，由于2，故(xE2，yE7)2(6xE，8yE)，所以E，由于，(x4，y1)，所以(x4)3(y1)，又，所以xy，解得x，y.则点I的坐标为(，).四、探究与拓展14.在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，5，则AC的长为_.答案2解析设BAC，ADx，则2x3cos 5，xcos .作DEAB于点E，由DE2EB2BD2，得(xsin )2(3xcos )25，解得xsin .x2cos2x2sin2x21，x1，AC2x2.15.已知点A(2，1).求过点A与向量a(5，1)平行的直线方程.解设所求直线上任意一点P(x，y)，则(x2，y1).由题意知a，故5(y1)(x2)0，即x5y70.故过点A与向量a(5，1)平行的直线方程为x5y70.