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1、第章数列第一节数列的概念与简单表示法 考纲传真1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数(对应学生用书第67页) 基础知识填充1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项从函数观点看，数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的
2、前一项的数列3数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法4数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式5数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式6an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an知识拓展1数列an是递增数列an1an恒成立2数列an是递减数列an1an恒成立基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错
3、误的打“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1Sn1Sn.()(4)若已知数列an的递推公式为an1，且a21，则可以写出数列an的任何一项()答案(1)(2)(3)(4)2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15B16C49D64A当n8时，a8S8S7827215.3把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)图511则第7个三角形数是() 【导学号：00090153】A27B28 C29
4、D30B由题图可知，第7个三角形数是123456728.4(教材改编)数列1，的一个通项公式an是_由已知得，数列可写成，故通项为.5(2018张掖模拟)数列an满足an1，a82，则a1_.由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3为周期的数列，a1a7.(对应学生用书第68页)由数列的前几项归纳数列的通项公式写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，.(4)1,1，2,2，3,3解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)数列中各项的符号可通过(1)n1表示每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列
5、21,22,23,24，所以an.(3)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)(4)数列的奇数项为1，2，3，可用表示数列的偶数项为1,2,3，可用表示因此an规律方法1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想2若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整，可代入验证归纳的正确性变式训练1(1)数列0，的一个通项公式为(
6、) 【导学号：00090154】Aan(nN*)Ban(nN*)Can(nN*)Dan(nN*)(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.(1)C(2)(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可(2)数列an的前4项可变形为，故an.由an与Sn的关系求通项an(1)若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.(2)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.(1)(2)(2)n1(1)当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式
7、为an(2)由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.规律方法由Sn求an的步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式易错警示：利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n1致误变式训练2(1)(2018河南八校联考)在数列an中，Sn是其前n项和，且S
8、n2an1，则数列的通项公式an_.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_. 【导学号：00090156】(1)2n1(2)(1)依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，an2n1.(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1时，不满足上式an由递推公式求数列的通项公式根据下列条件，确定数列an的通项公式：(1)a12，an1an3n2；(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an
9、2. 【导学号：00090157】解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.(2)an12nan，2n1(n2)，ana12n12n2212123(n1)2.又a11适合上式，故an2.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，因此an23n11.规律方法1.已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.2已知a1，且an1qanb，则an
10、1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为ank为等比数列易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式，(3)中常见错误是忽视判定首项是否为零变式训练3根据下列条件，求数列an的通项公式(1)a11，an1an2n；(2)a1，anan1(n2)(3)a11，an12an3.解(1)由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)因为anan1(n2)，所以当n2时，所以，以上n1个式子相乘得，即21，所以an.当n1时，a1，也与已知a1相符，所以数列an的通项公式为an.(3)由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故数列an3是首项为4，公比为2的等比数列an342n12n1，an2n13.