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1、第章数 列第一节数列的概念与简单表示法考纲传真(教师用书独具)1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数(对应学生用书第79页)基础知识填充1数列的概念(1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值(3)函数有三种表示示，它们分别是列表法、图像法和通项公式法2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项
2、与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式知识拓展1若数列an的前n项
3、和为Sn，通项公式为an，则an2在数列an中，项an最大，则若an最小，则3数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)一个数列中的数是不可以重复的()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()(5)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN，都有an1Sn1Sn.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已
4、知数列an的通项公式为ann28n15，则3()A不是数列an中的项B只是数列an中的第2项C只是数列an中的第6项D是数列an中的第2项或第6项D令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是数列an中的第2项或第6项3设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16C49D64A当n8时，a8S8S7827215.4在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()ABCDDa212，a31，a413，a51.5(教材改编)数列1，的一个通项公式an是_由已知得，数列可写成，故通项为.(对应学生用书第80页)由数列的前几项归纳数列的通项公式写出下面各数列的一个通项公式：(1
5、)3,5,7,9，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n，nN.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1) 规律方法1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征.(2
6、)相邻项的变化特征.(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.2.若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来.对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整，可代入验证归纳的正确性.跟踪训练(1)已知nN，给出4个表达式：anan；an；an.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()ABCD(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.(1)A(2)(1)检验知都是所给数列的通项公式(2)数列an的前4项可变形为，故an.由an与Sn的关系求通项an已知下面数列an的前
7、n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an规律方法已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得出Sn1，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式.(3)看a1是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不
8、符合，则应写成分段函数的形式.易错警示：利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n1致误.跟踪训练(1)(2017石家庄质检(二)已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4(nN)，则an() 【导学号：79140166】A2n1B2nC2n1D2n2(2)(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.(1)A(2)(1)由Sn2an4可得Sn12an14(n2)，两式相减可得an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a12a14，a14，数列an是以4为首项，2为公比的等比数列，则an42n12n1，故选A(2)an1S
9、n1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.由递推关系式求数列的通项公式分别求出满足下列条件的数列的通项公式(1)a12，an1an3n2(nN)；(2)a11，anan1(n2，nN)；(3)a11，an13an2(nN)解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.(2)当n2，nN时，ana11n，当n1时，也符合上式，该数列的通项公式为ann.(3)an13an2，an113(an1)，又a1
10、1，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，因此an23n11.规律方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1，且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为ank为等比数列.易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.跟踪训练(1)在数列an中，a12，an1an，求an. 【导学号：79140167】(2)在数列an中，a11，an12nan，求an.解(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.(2)由于2n，故21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)2，故an2.