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1、第一讲导数的概念及运算题组1导数的几何意义1.2014新课标全国,8,5分理设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0 B.1 C.2 D.32.2014陕西,10,5分理如图3-1-1,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()图3-1-1A.y=1125x3-35x B.y=2125x3-45x C.y=3125x3-x D.y=-3125x3+15x3.2016全国卷,15,5分理已知f(x)为偶函数,当x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.6.201
2、6全国卷,20,12分已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).()当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;()若当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围.7.2014新课标全国,21,12分理设函数f(x)=aexln x+bex-1x,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.()求a,b;()证明:f(x)1.题组2导数的运算8.2015天津,11,5分已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数,f (x)为f(x)的导函数.若f (1)=3,则a的值为.9.2017 浙江,20,15分已知函数f(x)=(x
3、-2x-1)e-x(x12).()求f(x)的导函数;()求f(x)在区间12,+)上的取值范围.A组基础题1. 2017河南南阳期中,5若曲线f(x)=xsin x+1在点(2,2+1)处的切线与直线ax-2y+1=0互相垂直,则实数a=()A.-2 B.2 C.1 D.-12.2017临川三模,4已知函数f(x)=sin x-cos x,且f (x)=12f(x),则tan 2x的值是()A.-23 B.-43 C.43 D.343.2017成都市高三二诊,5若曲线y=f(x)=ln x+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是()A.(-12,+)B.-12,+)
4、C.(0,+) D.0,+)4.2017广州市高三综合测试,9设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为()A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)5.2017辽宁省沈阳市高三教学质量监测,16设函数f(x)=g(x2)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为9x+y-1=0,则曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为.6.2017云南省高三统一检测,13已知函数f(x)=axln x+b(a,bR),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+
5、b=.B组提升题7.2018广东七校第一次联考,12已知函数f(x)=x2的图象在点(x0,x02)处的切线为l,若l也与函数y=ln x,x(0,1)的图象相切,则x0必满足()A.0x012 B.12x01 C.22x02D.2x038.2017湖北孝感统考,8若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex+b,其中a,b为正实数,则a+eb+2的取值范围是()A.(2e+e2,+)B.e,+) C.2,+) D.2,e)9.2018山西八校第一次联考,21已知函数f(x)=x-1-aln x(aR),g(x)=1x.(1)当a=-2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)若a0,
6、且对任意x1,x2(0,1,都有|f(x1)-f(x2)|0时,f(x)=ln x-3x,则f (x)=1x-3,f (1)=-2,则在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.4.1因为f(x)=ax3+x+1,所以f (x)=3ax2+1,所以f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为k=3a+1,又f(1)=a+2,所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因为点(2,7)在切线上,所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1.5.(1,1)y=ex,则y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k=1,又曲线y=1x(x0)上点P处的切线与y=ex在点(0,1
7、)处的切线垂直,所以y=1x(x0)在点P处的切线的斜率为-1,设P(a,b),则曲线y=1x(x0)上点P处的切线的斜率为yx=a=-a-2=-1,可得a=1,又P(a,b)在y=1x上,所以b=1,故P(1,1).6.()f(x)的定义域为(0,+).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f (x)=ln x+1x-3,f (1)=-2,f(1)=0.故曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.()当x(1,+)时,f(x)0等价于ln x-a(x-1)x+10.设g(x)=ln x-a(x-1)x+1,则g(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(
8、1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0.(i)当a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在(1,+)上单调递增,因此g(x)0;(ii)当a2时,令g(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x21和x1x2=1得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)上单调递减,此时g(x)1等价于xln xxe-x-2e.设函数g(x)=xln x,则g(x)=1+ln x.所以当x(0,1e)时,g(x)0.故g(x)在(0,1e)上单调递减,在(1e+)上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的
9、最小值为g(1e)=-1e.设函数h(x)=xe-x-2e,则h(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h(x)0; 当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.8.3f (x)=a(ln x+x1x)=a(ln x+1),因为f (1)=3,所以f (1)=a=3.9.()因为(x-2x-1)=1-12x-1,(e-x)=-e-x,所以f(x)=(1-12x-1)e-x-(x-2x-1)e-x=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1(x12).()由f(x)=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1=0,解得x=1或x=52.因为x12(12,1)1(1,52)
10、52(52,+)f(x)-0+0-f(x)12e-12012e-52又f(x)=12(2x-1-1)2e-x0,所以f(x)在区间12,+)上的取值范围是0,12e-12.A组基础题1.A因为f(x)=xsin x+1,所以f (x)=sin x+xcos x,所以f (2)=sin2+2cos2=1. 因为直线ax-2y+1=0的斜率为a2,所以f (2)a2=-1,解得a=-2,故选A.2.D因为f (x)=cos x+sin x=12sin x-12cos x,所以tan x=-3,所以tan 2x=2tanx1-tan2x=-61-9=34,故选D.3.Df(x)=1x+2ax=2ax
11、2+1x(x0),根据题意有f(x)0(x0)恒成立,所以2ax2+10(x0)恒成立,即2a-1x2(x0)恒成立,所以a0,故实数a的取值范围为0,+).故选D.4.D由题意知,f (x)=3x2+2ax,所以曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率为f (x0)=3x02+2ax0,又切线方程为x+y=0,所以x00,且3x02+2ax0=-1,x0+x03+ax02=0,解得a=2,x0=-a2.所以当x0=1,a=-2时,点P的坐标为(1,-1);当x0=-1,a=2时,点P的坐标为(-1,1),故选D.5.x+2y+6=0由已知得g(1)=-9,g(1)=-8,又f
12、(x)=12g(x2)+2x,f (2)=12g(1)+4=-92+4=-12,f(2)=g(1)+4=-4,所求切线方程为y+4=-12(x-2),即x+2y+6=0.6.4由题意,得f (x)=aln x+a,所以f (1)=a,因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以a=2,又f(1)=b,则21-b=0,所以b=2,故a+b=4.B组提升题7.D由题意,得f (x)=2x,所以f (x0)=2x0,f(x0)=x02,所以切线l的方程为y=2x0(x-x0)+x02=2x0x-x02.因为l也与函数y=ln x(0x1)的图象相切,设切点坐标为(x1,ln x1)
13、,易知y=1x,所以切线l的方程为y=1x1x+ln x1-1,则2x0=1x1,1-ln x1=x02,又0x11,所以1+ln 2x0=x02,x0(1,+).令g(x)=x2-ln 2x-1,x(1,+),则g (x)=2x-1x=2x2-1x0,所以g(x)在(1,+)上单调递增,又g(1)=-ln 20,g(2)=1-ln 220,所以存在x0(2,3),使得g(x0)=0,故2x00,所以a2e,所以a+eb+2=a+eae=a+1a2(当且仅当a=1时取等号),所以a+eb+2的取值范围是2,+),故选C.9.(1)当a=-2时,f(x)=x-1+2ln x,f (x)=1+2x
14、,f(1)=0,切线的斜率k=f (1)=3,故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0.(2)对x(0,1,当a0,f(x)在(0,1上单调递增,易知g(x)=1x在(0,1上单调递减,不妨设x1,x2(0,1,且x1x2,f(x1)g(x2),f(x2)-f(x1)f(x2)+4x2.令h(x)=f(x)+4x,则当x1h(x2),h(x)在(0,1上单调递减,h(x)=1-ax-4x2=x2-ax-4x20在(0,1上恒成立,x2-ax-40在(0,1上恒成立,等价于ax-4x在(0,1上恒成立,只需a(x-4x)max.y=x-4x在(0,1上单调递增,ymax=-3,-
15、3a0,故实数a的取值范围为-3,0).10.(1)因为f(x)=ax3-x2-x+b,所以f (x)=3ax2-2x-1,因为f(x)=ax3-x2-x+b的图象在x=-12处的切线方程是y=34x+98,所以f (-12)=34,即3a(-12)2-2(-12)-1=34,解得a=1.因为f(x)的图象过点(-12,34),所以(-12)3-(-12)2-(-12)+b=34,解得b=58.综上,a=1,b=58.(2)设直线y=34x+98与函数g(x)的图象相切,切点为点B(x0,y0),因为g(x)=3e4ex,所以过点B的切线的斜率是g(x0)=3e4ex0.又直线y=34x+98的斜率是34,所以3e4ex0=34,解得x0=-12.将x0=-12代入y=3e4ex得点B的坐标为(-12,34),所以直线y=34x+98可以与函数g(x)的图象相切,切点坐标为(-12,34).