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1、重点保分 两级优选练A级一、选择题1已知点A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为()A30 B45 C60 D90答案C解析由已知得(0,3,3)，(1,1,0)，cos，.向量与的夹角为60.故选C.2(2018伊宁期末)三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()A. B. C.或 D.或答案C解析二面角的范围是0，且n1，n2，二面角ABDC的大小为或.故选C.3(2017太原期中)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与C
2、D1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)(0，1,1)，(0，1,2)cos，.故选C.4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面答案B解析以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0
3、)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1，0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.故选B.5(2018河南模拟)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190，D点在棱AA1上且AD2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为()A. B C. D答案B解析建立如图所示的直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，设P(0,0，z)(0z3)，则(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)2，故当z时，取得最小值为.故选B.6(2018
4、沧州模拟)如图所示，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BECFa(0a0)，(1,0，a)设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则有即令z1，则n(2,0,1)，由题意得sin45|cos，n|，解得a3或.由a0，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.16(2014全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积解(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所
5、以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，.设B(m,0,0)(m0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设得|cosn1，n2|，即 ，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.17(2017河北衡水中学调研)如图1所示，在直角梯
6、形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是线段AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2所示(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求直线BD与平面A1BC所成角的正弦值解(1)证明：在题图1中，连接CE，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以四边形ABCE为正方形，四边形BCDE为平行四边形，所以BEAC.在题图2中，BEOA1，BEOC，又OA1OCO，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由(1)知BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，又平面A1BE平面BC
7、DE，所以A1OC，所以OB，OC，OA1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B，E，A1，C，得，由(，0,0)，得D.所以.设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)，直线BD与平面A1BC所成的角为，则得取x1，得n(1,1,1)从而sin|cos，n|，即直线BD与平面A1BC所成角的正弦值为.18.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，
8、BE.(1)证明：PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值解(1)证明：如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系设PDDC1，BC，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(，1,0)，C(0,1,0)，(，1，1)，点E是PC的中点，所以E，于是0，即PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因(0,1，1)，0，则DEPC，所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)由PD平面ABCD，所以(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；由(1)知PB平面DEF，所以(，1,1)是平面DEF的一个法向量若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，则cos，解得.所以.故当平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为时，.