《66高中数学选修系列选修《微积分基本定理与定积分计算》教案 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《66高中数学选修系列选修《微积分基本定理与定积分计算》教案 .docx（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结 3 微积分基本定理与定积分运算一、目标预览1. 懂得并能娴熟运用微积分基本定理.2. 把握定积分的常用运算方法.3. 明白定积分与不等式的常用证明方法.4. 明白定积分相关学问的综合应用.二、概念入门可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 fR a, b，称函数 xxf t dt xa a, b为函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 在 a,b 上的变上限定积分。类似的可定义变下限定积分：b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xf t dt .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注i ）由 R 积分的性质， x 的
2、定义有意义 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii ）由(R) 积分的性质易证 xC a, b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、主要事实1. 微积分基本定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fCa, b ，就xf x x a, b ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxf t dtdxaf x ， x a, b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注i ）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.ii ） 通过微分中值定理微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.iv ）利用微积
3、分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积分求导公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如fC a, b ， x 、 x在 c, d 上 可 微 而 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 c,d 、 c, d a,b ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxdx xftdtf xxf xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 其次积分中值定理1） 旁内 Bonnet ， 1819-1892 法
4、 ）型其次积分中值定理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fR a,b，而且g x是 a, b 上非负递减 相应的递增）函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数，就存在相应的） a, b 使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bf xg x dxagaf xdxaf bbg xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） Werierstrass型其次积分中值定理 ）如 fR a,b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g x 是 a,b 上的单调函数，就存在b a,b 使得b
5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x g xdxagaxf xdxagbf xdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证1）令bF xf t dt xan a,b ，利用 g 的可积性得xi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg xdxalim|T |0 i 1 ngxi 1 xi 1f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim|T |0 ing xi11 F xi F xi1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再由g xii 11 F xi F xi1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1F
6、 xi g xi 1 i 1g xi F bg xn 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结及 g 的单调减小性，可得baFmin gaf x gxdxFmax ga可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再由连续函数的介值性即得.2） 当g为 单 调 递 减 增 ） 时 ， 对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h xg xg b gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g a 应用 1）即得 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 定积分的运算1） 牛顿莱布尼兹公式）如 fRa ,
7、 b ， FC a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而且除有限个点外有F xbf x ，那么有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xdxaF bF a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注i ）牛顿莱布屁兹公式简称NL 公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17 世纪下半叶独立得到，柯西在19 世纪初给出精确表达与证明，黎曼在19 世纪中叶赐予完善，达布在1875 年给显现在这种形式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii ）证明可由 R 积分的定义 分点包括例外点）及微分中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
8、归纳总结值定理 作用在 F 上）可推得 .2） 定积分换元积分法）假如(t) 在, 上有连续导数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ， bb ， , a, b ， fCa,b ，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有f xdxaf t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注i ）定积分换元积分公式由复合函数微分法及NL 公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得，而且tC a, b 可减弱为R, . 进一步，定积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分换元积分公式中的f
9、Ca,b 可减弱为 fR a,b ，但的条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结件稍许加强 证明较为复杂），即有以下的命题成立：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fR a, b ，: ,a, b是一一映射而且仍满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ，b ，bt R, ，那么有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x dxaf t t dt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii ）定积分换元积分法实际上是不定积分其次换元积分法的直接应用 . 但使用时有较大差别，在这里换元
10、之后变量不需回代，但积分限要跟着更换 在去掉根号的情形下须留意函数的符号）.iii）对应于不定积分中的第一换元法即凑微分法），在这里可以不加变动的直接应用，而且积分限也不须作更换即仍旧采纳原先的积分变量） .3） 分部积分法） 假如 u 、 v 具有连续的导数，那么有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bu x v xdxabu x dv xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|au xv x bbvxdux .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注i ）分部积分可由乘积微分法就及NL 公式直接证之 .ii ）分部积分公式可连续使用n次，即利用数学归纳法
11、及分部积分公式可得下面的命题：如 u 、 v 具有 n1 阶连续导数，那么有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|abu xvn a1 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 uxv n xu xvn1 x 1 n u n xv x b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 n 1bu n a1 xvxdx n1,2,3, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 定积分运算中常用的几个公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1）如 fC a, b ，就bb可编辑资料 - - -
12、 欢迎下载精品名师归纳总结f xdxaf aba1bxdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x2af abxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）如 faCa, a ，就a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xdxa f x0af xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f xdx,00，f为偶函数f为奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3）如f x 是以 T 为周期的周期函数，就aR1 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a Tf xdxaT
13、f xdx0T/2T / 2f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4）如 fC 0,1 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 f sin0xdx2 f cos xdx .0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5）如0fCxf sin1,1 ，就xdx2xf sin0xdx2 f sin0x dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证1）令 xabt 可得 .0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）令 xt 得f xdxaf t dt .0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
14、下载精品名师归纳总结3）令xtT得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a Tf x dxTaf t0T dtaf tdt ，0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是有a Tf xdxaTTa/ 2f xdxa Tf x dxTTTf xdx ，0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再令 a得2- /2f xdxf xdx .0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4）令 x/ 2t 可得 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5）令 xt 可得xf sin xdx0f sin t dt0
15、tf sin t dt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结及f sin xdx22 f sin t dt .0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 带积分余项的泰勒公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f x在 a,b上 具 有 n1 阶 连 续 导 数 ， 那 么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x, x0 a, b 有k k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xnfx0 xk 0k.x0 1xn.x0f n1 t xt ndt ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
16、师归纳总结即 Rn项. x1xn.x0f n1 t xt n dt，称此为泰勒公式的积分余可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注i ）令F tf xnf k t xk 0k.t) n 常数变易法），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对 F t 分别应用 NL 公式及分部积分公式即获得积分余项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的证明 .ii ）对积分余项应用第一积分中值定理 gtn xt 在积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分区间项： x0 , x或 x, x0上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
17、纳总结Rn x1n1.f n1 xx n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0其中x0 xx0 ,01 ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rn x1 f nn.1 x n xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 f nn.1 xxx01n xx n101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00四、例题选讲1. 定积分运算例题选.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 求以下定积分可编辑资料 - - - 欢迎下
18、载精品名师归纳总结21）x40x 2 dx 2）2 sin t cos2 0tdt13）10x2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4） 1 ln1x dx 5）e x2 ln xdxln21e 2x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0147）x20ln 9x6）dx 8）40sin2xx dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ln 92xln3x11 x- 4 1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9） 11x2ex dxx|3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解
19、1）12420x 2 d4x 21 403x 2 2 28 .03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）2 cos2 td03）令cost1 cos33xsin tt | 21.3，3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 cos 2 tdt011|0tsin 2t2224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4）令xtan t， 4）40ln1tant dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 lncos xsinx dx4 ln2 sin x/
20、 4dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0令 xt 得4cos x4 ln sin x00 dx4cos x4 ln costdt0，于是有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4）1 ln 202x | 4ln 2 .18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5）1e ln xd x3 311 2e3191 x3 ln3x |ee x2 dx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6）ln 20ln 21d eexxe2 xe2xex3ln 21 |0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
21、总结dx0e2x1ln23f2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7）利用bf xdx1bxf bax dx 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7）a2a1 4 dx122aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8）利用f x dx-a f x0f xdx 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8）4 sin 20xdx184可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结51122 x2x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|9）1 ex dx21 xdex 1 22e 2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
22、例 21）求 I n2 sin 20xdx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）证明 Wallis公式：lim12m. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m2n12 m1. .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解1） I nsin n1 x cos x | 2n12 sin n 02 x cos2xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 n1 I n 2n1I n ，2m1., n2m, m1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Inn2n1 J n2m.22m.,n2m1,m0,1,2,可编辑资料 - - - 欢
23、迎下载精品名师归纳总结2m1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证2）由2 sin 2n01 xdx2 sin 2 m0xdx2 sin 2m01 xdx 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2m. .2 m1. .2m2. . ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2m1. .2m.22m1. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可得Am22m. .12B 2m. .1m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0Bm2mAm1. .12m2m12Am， 04 m 2mAm21.B
24、m2m Am ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 lim Am.m2例 3 利用定积分求以下极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1） limn1 nn i 1sin ai1 b nn2） limni 11n 2i 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3） limnni 11isin inn4）limn1n 1 ln n i 1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5） limn1 n nn 11 n2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解1）sina0bxdxcosacosab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
25、名师归纳总结n2）lim 111dxln12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3）由 nn i 11inn1 ni / n1x20n1 可得i12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23）limnn i 1sinn1sin0xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4）由 1i1i1 dx1i 1 x1i i1,2, 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nln n111ln n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n因此lim111 .i 1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nln n i 1 i可编辑
26、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5）令 an1 n n n1 n2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln anln 1 n1 n1nn i 1ln ni 1 ni可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln ni n i 1ln nln 1n i 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 lim an n1ln104 .exdxln 4 .e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 微积分基本定理应用例题选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 设f xxsin t1
27、01u 2 dudt，试求 fx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 应用微积分基本定理两次可得f xcosx 1sin 4 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 确定常数 a 、 b 、 c 0 使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim x ln1t 3 dt 1 axsin xc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0bt 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由 limx ln1t dt0 可推得 b0 ，由罗比塔法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0bt1可编辑资料 - - -
28、欢迎下载精品名师归纳总结及 ln1x3 x 3 x0 可推得 a1 ，接着易求得 c.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 如 f x 存在，f 00 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F xx n 1tf xnt n dt ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求 lim0F x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n，x0解令ux2nxnt n ，就F x1 xf udu n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limF x2 n1limx n 1 f2nx n 11f 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
29、师归纳总结x0x2 n x0x2nx12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 设 f 连续，2f 11 ，tf02 xt dtarctan x.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求：f xdx .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 令 2xtu ，就tf 2xt dt2xu) f u du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是有02 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2 xfx(u) duxuf udu2 x1 arctan x 2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边关于 x 求导得22xf uduxx1x4xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再令 x21可得f u