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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次章匀称物质的热力学性质2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度.试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：依据题设，气体的压强可表为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pfVT ,式中 f V 是体积 V 的函数 .由自由能的全微分dFSdTpdV（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得麦氏关系Sp.（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将式（ 1）代入，有VTTV可编辑资料 -
2、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Spf V p .（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VTTVT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 p0, T0 ，故有S 0 .这意味着，在温度保持不变时，该VT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结气体的熵随体积而增加.2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试证明其内能与体积无关.pf V T ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：依据题设，物质的物态方程具有以下形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载
3、精品名师归纳总结pf V T ,故有（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pf V .（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TV但依据式（ 2.2.7 ），有U TV Tpp,T V（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -
4、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结U Tf V p0.（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VT这就是说，假如物质具有形式为（1）的物态方程，就物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.3 求证： a解：焓的全微分为S0;pHb S0 .VU可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 dH0 ，得dHTdSVdp.（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SV0.（2）可编辑资料 -
5、- - 欢迎下载精品名师归纳总结内能的全微分为pHT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 dU0 ，得dUTdSpdV .（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sp0.（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VUT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.4 已知U0 ，求证 VTU0.pT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：对复合函数U T ,PU T ,V T ,p（1）可编辑资
6、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求偏导数，有UUV.（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如UVTpT0 ，即有VTpTU 0.pT（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式（ 2）也可以用雅可比行列式证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料
7、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结UU ,pT p,U ,V ,T T T V , TT p, T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结U V.（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V TpT2.5 试证明一个匀称物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：热力学用偏导数S描述等压过程中的熵随体积的变化率，Vp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用T描述等压下温度随体积的变化率.为求出这两个偏导数的关Vp可编辑资料 - - - 欢
8、迎下载精品名师归纳总结系，对复合函数求偏导数，有SS p, V S p,T p,V （1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SSTCpT.（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VpTpVpTVp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 Cp0, T0 ，所以S的正负取决于VpT的正负 .Vp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式（ 2）也可以用雅可经行列式证明：S,V ,ppS,pT,pT ,pV ,pSVPS T（2）T PVP2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降
9、落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结偏导数T和TpSp描述.熵函数HST ,p 的全微分为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dSSdT TPSdp.
10、 pT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在可逆绝热过程中 dST0 ，故有STp TVTP .（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pSSC pTP最终一步用了麦氏关系式（2.2.4 ）和式（ 2.2.8 ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焓 H T ,p 的全微分为dHHdT TPHdp. pT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在节流过程中 dH0 ，故有HTpTT VV TP.（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p
11、HHCpTP最终一步用了式（ 2.2.10 ）和式（ 1.6.6 ） .将式（ 1）和式（ 2）相减，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TTV0.（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pSpHCp所以在相同的压强降落下， 气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落 .这两个过程都被用来冷却和液化气体.由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是非常困难的问题， 实际上节流过程更为常用.但是用节流过程降温，气体的初温必需低于反转温度.卡皮查（ 1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来， 先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用
12、节流过程将氦液化.2.7 试验发觉，一气体的压强p 与体积 V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -pVf T ,UU T .试依据热力学理论，争论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：依据题设，气体具有下述特性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pVfT ,（1）可编辑资料 - - - 欢
13、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结UU T .由式（ 2.2.7 ）和式（ 2），有（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而由式（ 1）可得U TpV TTVp0.（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TpT df .（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T将式（ 4）代入式（ 3），有或VV dTT dff , dT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结df
14、dT .fT（5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积分得或ln fln Tln C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pVCT ,（6）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式中 C是常量 .因此，假如气体具有式（1），（ 2）所表达的特性，由热力学理论知其物态方程必具有式（6）的形式 .确定常量 C 需要进一步的试验结果 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.8 证明2CVTp,C p2VT,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
15、VTpT22TTVp并由此导出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2VpCC 0TdV ,VTVV20Vp2 pCC 0Tdp.2Tppp0p依据以上两式证明， 抱负气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T的函数 .解：式（ 2.2.5 ）给出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SCVT.TV（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精
16、品名师归纳总结以 T， V 为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C2S2 S2 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VTTT,（2）TVVVTTVT 2其中其次步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（ 2.2.3 ）.由抱负气体的物态方程pVnRT知，在 V 不变时， p 是 T 的线性函数，即2 p20.TV所以CV0.VT这意味着，抱负气体的定容热容量只是温度T 的函数 .在恒定温度下将式（ 2）积分，得V2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CC0TdV.（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
17、归纳总结2TVVV0V式（ 3）说明，只要测得系统在体积为V0 时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可依据物态方程运算出来.同理，式（ 2.2.8 ）给出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SCpT.Tp（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以T ,p 为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资
18、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -C2 S2 S2 SpTTT.（5）Tppp TTpT 2其中其次步交换了求偏导数的次序， 第三步应用了麦氏关系 （2.2.4 ）. 由抱负气体的物态方程pVnRT知，在 p 不变时 V 是T 的线性函数，即2VT20.p所以Cp0.pT这意味着抱负气体的定压热容量也只是温度T的函数 .在恒定温度下将式（ 5）积分，得p2VCC 0Tdp.2Tppp0p式（ 6）说明，只要测得系统在压强为p0 时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可依据物态方程运算出来.2.9 证明范氏气体的定
19、容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关.解：依据习题2.8 式（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2CVTp,（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VT2TV范氏方程（式（ 1.3.12 ）可以表为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2pnRTn a .VnbV 2（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于在 V 不变时范氏方程的p 是 T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是 T 的函数，与比体积无关 .不仅如此，依据2.8题式（ 3）V2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CV T , V CV T ,V
20、0 TdV,（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TV02V可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们知道， V时范氏气体趋于抱负气体.令上式的 V0，式中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 CV T , V0 就是抱负气体的热容量 .由此可知，范氏气体和抱负气体的
21、定容热容量是相同的.顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V 与温度 T 不呈线性关系.依据 2.8题式（ 5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VC2 p,（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VT2TV可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这意味着范氏气体的定压热容量是T ,p 的函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.10 证明抱负气体的摩尔自由能可以表为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FmCV ,mdTU m 0TCV , mTdTRT ln VmTSm0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2TdTC
22、dTUTSRTln V可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V ,mm0m0mT解：式（ 2.4.13 ）和（2.4.14 ）给出了抱负气体的摩尔吉布斯函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数作为其自然变量T ,p 的函数的积分表达式.此题要求出抱负气体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的摩尔自由能作为其自然变量T , Vm 的函数的积分表达式.依据自由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能的定义（式（ 1.18.3 ），摩尔自由能为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FmU mTSm
23、,（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 U m 和 Sm 是摩尔内能和摩尔熵.依据式（ 1.7.4）和（ 1.15.2 ），抱负气体的摩尔内能和摩尔熵为U mCV , mdTU m0 ,（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CV ,mSmTdTR ln VmSm 0 ,（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以CV ,mFmCV ,m dTTdTRT ln VmTU m0TSm0 .（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用分部积
24、分公式令xdyxyydx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x1 , TyCV ,m dT ,可将式（ 4）右方头两项合并而将式（4）改写为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FTdTCdTRT ln VUTS.（5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mT 2V ,m
25、mm0m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.11 求范氏气体的特性函数Fm ，并导出其他的热力学函数.解：考虑1mol的范氏气体.依据自由能全微分的表达式（ 2.1.3 ），摩尔自由能的全微分为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dFm故SmdTpdVm,（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FmpRTa,（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VVbV 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积分得mTmm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -
26、 欢迎下载精品名师归纳总结FT ,VRT ln Vbaf T .（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mmmVm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于式（ 2）左方是偏导数， 其积分可以含有温度的任意函数们利用 V时范氏气体趋于抱负气体的极限条件定出函数据习题 2.11式（ 4），抱负气体的摩尔自由能为f T .我f T .根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FCdTCV ,mdTRTln VUTS.（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mV ,mmm0m0T将式（ 3）在 Vm时的极限
27、与式（ 4）加以比较，知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f T CdTTCV ,mdTUTS.（5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V ,mm0m 0T所以范氏气体的摩尔自由能为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FT,VCdTTCV , mdTRT ln VbaUTS.（6）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TVmmV , mmm 0m0 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式（ 6）的 FmT , Vm是特性函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结范氏气体的摩尔熵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
28、纳总结SFmCV ,mdTR lnVbS.（7）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mTTmm0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摩尔内能为UFTSCdTaU.（8）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VmmmV ,mm0
29、 m2.12 一弹 簧 在恒 温 下 的恢 复 力 X 与 其 伸 长 x 成 正 比， 即XAx ，比例系数A 是温度的函数 .今忽视弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能 F ，熵 S 和内能 U 的表达式分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FT , xFT ,01 Ax 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 dAS T , xS T ,0,2 dT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结UT , xUT ,01 AT dA2 dTx 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：在准静态过程中， 对弹簧施加的外力与弹簧的复原力大小相等
30、，方向相反 .当弹簧的长度有 dx 的转变时，外力所做的功为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dWXdx.依据式（ 1.14.7），弹簧的热力学基本方程为dUTdSXdx.（1）（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弹簧的自由能定义为其全微分为FUTS,dFSdTXdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将胡克定律 XAx 代入，有dFSdTAxdx,（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此FAx.xT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
31、名师归纳总结在固定温度下将上式积分，得FT , xFT ,0xAxdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FT ,01 Ax2 ,2（4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 FT ,0是温度为 T ，伸长为零时弹簧的自由能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳
32、- - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弹簧的熵为S弹簧的内能为FS T ,0T1 x2 dA .2 dT（5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结UFTSUT ,01 dAAT2 dTx2 .（6）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在力学中通常将弹簧的势能记为1U 力学2Ax 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结没有考虑 A 是温度的函数 .依据热力学， U 力学 是在等温过程中外界所做的功，是自由能 .2.13 X射线衍射试验发觉，橡皮带未被拉紧时具有无定形结 构。当受张力而被拉伸时， 具有晶形结构 .这一