结构力学复习笔记.pdf

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1、第一章第一章绪绪论论1-11-1结构和结构的分类结构和结构的分类一、结构一、结构工程中的桥梁、隧道、房屋、挡土墙、水坝等用以支承荷载和维护几何形态的骨架部分称之为结构二、结构分类1. 杆系结构杆件长度l远大于横截面尺寸b、h。钢结构梁、柱2. 板壳结构厚度远小于其长度与宽度的结构3. 实体结构长、宽、高三个尺寸相近的结构1-21-2 结构力学的内容和学习方法结构力学的内容和学习方法一、结构力学课程与其他课程的关系结构力学是理论力学和材料力学的后续课程。 理论力学研究的是刚体的机械运动(包括静止和平衡)的基本规律和刚体的力学分析。材料力学研究的是单根杆件的强度、刚度和稳定性问题。而结构力学则是研

2、究杆件体系的强度、刚度和稳定性问题。因此，理论力学和材料力学是学习结构力学的重要的基础课程，为结构力学提供力学分析的基本原理和基础。同时，结构力学又为后续的弹性力学(研究板壳结构和实体结构的强度、刚度和稳定性问题)以及混凝土结构、砌体结构和钢结构等专业课程提供了进一步的力学知识基础。因此，结构力学课程的学习在土木工程的房建、结构、道路、桥梁、水利及地下工程各专业的学习中均占有重要的地位。二、结构力学的任务和学习方法结构力学的任务包括以下几个方面： (1)研究结构的组成规律、合理形式以及结构计算简图的合理选择； (2)研究结构内力和变形的计算方法，以便进行结构强度和刚度的验算；(3)研究结构的稳

3、定性以及在动力荷载作用下结构的反应。结构力学的学习方法：先修课,公式,定理,概念,作业研究性学习：结合工程实际思考问题1. 研究对象由细长杆件构成的体系平面杆系结构。如：梁、桁架、刚架、拱及组合结构等。2. 研究内容平面杆件体系的几何构造分析；讨论结构的强度、刚度、稳定性、动力反应以及结构极限荷载的计算原理和计算方法等。几何构造分析主要是讨论几何不变体系的组成规律，因为只有几何不变体系才能作为结构来使用。强度计算在于保证结构物使用中的安全性，并符合经济要求。刚度计算在于保证结构物不会产生过大的变形从而影响使用。稳定性验算在于保证结构不会产生失稳破坏。动力分析是研究结构的动力特性以及在动荷载作用

4、下的动力反应结构受到的地震力、位移、速度、加速度及动内力等。极限荷载的求解是为了充分发挥结构的承载能力，由讨论结构的弹性计算转变为塑性计算。结构力学的计算问题分为两类：一类为静定性的问题，只需根据下面三个基本条件的第一个条件平衡条件，即可求解；另一类为超静定性的问题，必须满足以下三个基本条件，方能求解。三个基本条件是： (1)力系的平衡条件在一组力系作用下， 结构的整体及其中任何一部分都应满足力系的平衡条件。 (2)变形的连续条件(即几何条件)连续的结构发生变形后， 仍是连续的， 材料没有重叠或缝隙；同时结构的变形和位移应满足支座和结点的约束条件。(3)物理条件把结构的应力和变形联系起来的物性

5、条件，即物理方程或本构方程。1-31-3结构计算简图结构计算简图一、选取结构的计算简图必要性、重要性：一、选取结构的计算简图必要性、重要性：将实际结构作适当地简化， 忽略次要因素， 显示其基本的特点。 这种代替实际结构的简化图形，称为结构的计算简图。合理地选取结构的计算简图是结构计算中的一项极其重要而又必须首先解决的问题。二、选取结构的计算简图的原则：二、选取结构的计算简图的原则：1、能反映结构的实际受力特点，使计算结果接近实际情况。2、忽略次要因素，便于分析计算。三、简化内容三、简化内容: :1、体系的简化:空间结构平面结构2、杆件的简化:杆件杆件的轴线3、结点的简化:刚结点 铰结点 半铰结

6、点(组合结点)4、支座的简化:固定铰支座可动较支座固定端支滑动支座(定向支座)5.荷载的简化:集中力、集中力偶、分布荷载1-31-3结构计算简图结构计算简图一、结构体系的简化一、结构体系的简化一般结构实际上都是空间结构，各部相连成为一空间整体，以承受各方向可能出现的荷载。在多数情况下，常忽略一些次要的空间约束，而将实际结构分解为平面结构。二、杆件的简化二、杆件的简化杆件用其轴线表示，杆件之间的连接区用结点表示，杆长用结点间距表示，荷载作用于轴线上。三、支座和支座反力三、支座和支座反力支座定义：把结构与基础联结起来的装置。1. 固定支座简图：特点：1)结构在支座截面不产生线位移和转角；2)支座截

7、面有反力矩以及x、y方向的反力。2. 固定铰支座特点：1)结构在支座截面可以绕圆柱铰 A 转动2)x、y方向的反力通过铰 A 的中心。3. 活动铰支座 （辊轴支座、摇轴支座）特点：1)杆端 A 产生垂直于链杆方向的线位移；2)反力沿链杆方向作用，大小未知。4. 滑动支座（定向支座）特点：1）杆端 A 无转角，不能产生沿链杆方向的线位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；2）杆端存在反力矩以及沿链杆方向的反力。四、结点的简化四、结点的简化五、材料性质和荷载的简化五、材料性质和荷载的简化1、材料性质的简化在土木工程中结构所用的建筑材料通常为钢、混凝土、砖、石、木料等。在结构计算中，为了简化，对组成各

8、构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。上述假设对于金属材料在一定受力范围内是符合实际情况的。对于混凝土、钢筋混凝土、砖、石等材料则带有一定程度的近似性。至于木材，因其顺纹与横纹方向的物理性质不同，故应用这些假设时应予以注意。2、荷载的简化结构承受的荷载可分为体积力和表面力两大类。体积力指的是结构的重力或惯性力等；表面力则是由其他物体通过接触面传给结构的作用力，如土压力、车辆的轮压力等。在杆件结构中把杆件简化为轴线，因此不管是体积力还是表面力都可以简化为作用在杆件轴线上的力。荷载按其分布情况可简化为集中荷载和分布荷载。荷载的简化与确定比较复杂。1-41-4杆系结构

9、分类杆系结构分类1. 梁1）单跨梁2）多跨梁梁的特点：梁的轴线通常为直线，水平梁在竖向荷载作用下，截面存在弯矩和剪力，以受弯为主2. 刚架刚架的特点：1）刚架通常由梁和柱等直杆组成，杆件间的结点多为刚结点；2）荷载作用下杆件截面存在弯矩、剪力和轴力。3. 拱拱的特点：1) 拱的轴线为曲线，在竖向荷载作用下支座有水平推力（见图)；2) 水平推力大大改变了拱的受力特性。4. 桁架和组合结构特点：1) 桁架由直杆组成，所有结点都是铰结点，当荷载作用于结点时，各杆只受轴力；2) 组合结构则是由梁式杆和链杆组成，其中梁式杆以受弯为主，内力不仅有轴力，还有弯矩、剪力。根据杆件结构的计算特点，结构可分为静定

10、结构和超静定结构两大类。 (1)静定结构凡用静力平衡条件可以确定全部支座反力和内力的结构称为静定结构。 (2)超静定结构凡不能用静力平衡条件确定全部支座反力和内力，需要考虑变形条件和物理条件的结构称为超静定结构。根据杆件和荷载在空间的位置，结构可分为平面结构和空间结构。 (1)平面结构各杆件的轴线和荷载都在同一平面内，称为平面结构。 (2)空间结构各杆件的轴线和荷载不在同一平面，或各杆件轴线在同一平面内，但荷载不在该平面内时，称为空间结构。荷载的分类1.按荷载作用时间长短可分为：恒载永久作用在结构上的荷载。如自重等。活载荷载有时作用在结构上，有时又不作用在结构上。如：楼面活荷载，雪荷载。2.

11、按荷载作用位置可分为：固定荷载作用位置不变的荷载，如自重等。移动荷载荷载作用在结构上的位置是移动的，如吊车荷载、桥梁上的汽车和火车荷载。3. 按荷载作用的性质可分为：静荷载荷载的大小、方向、位置不随时间变化或变化很缓慢的荷载。恒载都是静荷载。动荷载荷载的大小、方向随时间迅速变化，使结构产生显著振动，结构的质量承受的加速度及惯性力不能忽略。化爆和核爆炸的冲击波荷载、地震荷载等都是动力荷载。五、线性变形体系若体系产生符合约束条件的微小连续变形，材料服从虎克定理，则该体系称为线性变形体系，可以用叠加原理求结构的内力和变形。1.微小连续变形变形与杆件尺寸相比很小，结构变形后几何尺寸无变化，荷载位置及作

12、用线不变，变形符合支座约束条件。2.材料服从虎克定律即应力应变满足关系式：第二章第二章平面体系的几何构造分析平面体系的几何构造分析2-12-1几何构造分析的基本概念几何构造分析的基本概念一、几何构造分析的目的一、几何构造分析的目的1. 判断某个体系是否为几何不变体系，因为只有几何不变体系才能作为结构使用。2. 研究几何不变体系的组成规律，保证设计的工程结构在荷载下能维持平衡3. 正确区分静定结构与超静定结构，指导内力计算。二、基本概念1. 几何不变体系与几何可变体系（忽略变形的前提下）几何不变体系在任何外力作用下，体系的位置和形状不会改变。几何可变体系在外力作用下，体系的位置和形状是可以改变的

13、。几何可变体系分为常变体系、瞬变体系常变体系可以发生大位移（有限位移）的几何可变体系叫作常变体系。瞬变体系本来几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。由于瞬变体系能产生很大的内力, 故几何常变体系和几何瞬变体系不能作为建筑结构使用.只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！ ！2. 刚片由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在几何构造分析中称为刚片。3. 自由度体系在平面内运动时，用来确定其位置所需的独立参考变量（坐标）的数目。1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数x、y。2） 一个刚片在平面内有三

14、个自由度， 因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数x、y、。4. 约束：凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。约束的种类分为：1）链杆简单链杆仅连结两个结点的杆件称为简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根简单链杆相当于一个约束。复杂链杆连结三个或三个以上结点的杆件称为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。2）铰简单铰只与两个刚片连结的铰称为简单铰。一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。复杂铰与三个或三个以上刚片连结的铰称为复杂饺。若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为 2(m-1)个

15、。3）刚性连结看作一个刚片一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。刚结点将刚片连成整体（新刚片） 。若是发散的，无多余约束,若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。4）瞬铰（虚铰）两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交点处有一个瞬铰（虚铰） 。2-22-2平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一些约束组成。按照各部件都是自由的情况， 算出各部件自由度总数， 再算出所加入的约束总数，将两者的差值定义为：体系的计算自由度 W。即：1.将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的体系，其中刚片为被约

16、束对象，铰、刚结、链杆为约束。则计算自由度公式为：在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。不考虑简单刚结数，将其统一为一个刚片后，则 W=3m（2h+b）其中， 刚片数m，单铰数h，支承链杆数b注意：1、复连接要换算成单连接。2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有 a 个无铰封闭框，约束数应加 3a个。3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆， 固定端相三于个支承链杆。 ！例 1试求图示体系的计算自由度。解：m=3g=0h=2b=5例 2：求图示体系的计算自由度。解：m=2g=1h=1b=5例 3. 试求图示体系的计算自由度。解：m=1，a=1，h=0 ，b=4+3210则：W=3m(2h

17、 +b+3a) =3110 31 10解：m=7，h=9，b=3W=3m2hb =37293 =02. 将体系看作结点以及链杆组成的体系（铰接链杆体系） ，其中结点为约束对象，链杆为约束。则计算自由度公式为：j结点数；b简单杆件数; r支承链杆数。例 4 下左图：j=6；b=9；r=3。所以：W=2693=0上右图：j=6；b=9；r=3。所以：W=2693=0注意：1、W 并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系必须的约束数够不够。即：W0体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。W=0实际约束数等于体系必须的约束数W0，右半拱 0。2)FQD是代梁截面 D 的剪力，设为正方向。故FQD可能

18、大于零、等于零或小于零。下面用上述公式求FQK、FNK。求FQJ右、FNJ右 。二、三较拱的压力线二、三较拱的压力线如果三铰拱某截面 D 以左(或以右)所有外力的合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴力可按下式计算：截面 D 形心到FRD作用线之距离。FRD作用线与截面 D 轴线切线的夹角。由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线的问题。定义：三铰拱每个截面一边所有外力的合力作用点的连线，就称为三铰拱的压力线。作压力线的方法和步骤为：1）求三铰拱的支座反力FHA、FVA、FHB、FVB，进而求出反力FRA、FRB的大小和方向。2）作封闭的力多边形，

19、以确定拱轴各截面一边外力合力的大小及方向。作力多边形时应按力的大小按比例绘制。在上图所示力多边形中，射线 12 代表FRA与FP1 合力的大小和方向；射线 23 代表FRA与FP1、FP2 合力的大小和方向。3）画压力线过 A 作FRA的延长线交FP1 于 D，过 D 作射线 12 的平行线交FP2 于 E，过 E 作射线 23的平行线交FP3 于 F，则 FB 必为FRB的作用线。小结：小结：1) 压力线一定通过铰 C。 2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰 A、B、C 的相对位置及荷载有关。 3) 合力大小由力多边形确定，合力作用线由压力线确定。 4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线

20、；若为均布荷载，压力线为曲线。三、三、 三较拱的合理轴线三较拱的合理轴线在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零的轴线就称为合理拱轴。若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩都为零，故压力线为合理拱轴。三铰拱任一截面弯矩为令得到合理拱轴方程的表达式例 3-6-1求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。解：可见合理拱轴为抛物线方程。3-73-7静定结构总论静定结构总论一、静定结构解答的唯一性定理一、静定结构解答的唯一性定理静定结构的全部内力和支座反力均可由静力平衡方程唯一确定。 或者表述为： 对于静定结构，凡是能满足全部静力平衡条件的解答就是它的真实解答。根据唯一性定理，可以得到如下结论：在静定结构

21、中，除荷载外，任何其它外界因素温度变化、支座移动、材料伸缩及制造误差等均不产生内力和支座反力。温度变化时，结构有变形而无内力。支座移动时，只产生刚体位移（见图 a)。制造误差，装配后与原设计形状不同（见图 b)。二、静定结构的局部平衡特性二、静定结构的局部平衡特性当平衡力系作用在结构上的一个几何不变部分时，只有该几何不变部分受力，其余部分不受力。AB 部分几何不变阴影部分几何不变三、静定结构的荷载等效特性三、静定结构的荷载等效特性具有相同合力的各种荷载称为静力等效荷载。当静定结构的一个几何不变部分上的荷载进行静力等效变换时，只有该几何不变部分的内力发生变化，结构其余部分内力不变。所谓静力等效变

22、换，就是用有相同合力的另一种荷载替换原来荷载的变换。、均表示 CD 部分以外杆段的内力状态。 由图 c)可知， 因为 CD 部分作用一平衡力系， 所以。根据静定结构局部平衡特性， CD 杆段以外部分内力等于零， 即于是就证明了静定结构的荷载等效特性。四、静定结构的构造变换特性四、静定结构的构造变换特性当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，结构其余部分内力不变。此外需要指出，静定结构的内力和支座反力仅仅与结构类型及荷载有关，而与杆件的材料性质及刚度无关。而结构的变形则还与杆件的材料性质及刚度有关。第六章第六章静定结构的位移计算静定结构的位移计算6-16-1概述概述一、静定结构的位移一、静

23、定结构的位移静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1.截面位移2.广义位移通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。二、位移计算的目的二、位移计算的目的1）验算结构的刚度次梁跨中挠度主梁跨中挠度楼盖跨中挠度吊车梁跨中挠度2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。如右上图示单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以由无穷多组解答，例如三、实功和虚功：三、实功和虚功：1.实功力在由该力引起的位移，上所作的功称为实功。即，位移也

24、从零线性增大至。也称为静可以取任意值右图中，外力是从零开始线性增大至力实功。2.虚功力FP在由非该力引起的位移上所作的功叫作虚功。右图简支梁，先加上1、2 之位移分别为实功：，则两截面。然后加，则 1、2 截面产生新的虚功：虚功强调作功的力与位移无关。6-26-2变形体虚功原理及位移计算一般公式变形体虚功原理及位移计算一般公式一、一、 变形体虚功原理变形体虚功原理定义： 设变形体在力系作用下处于平衡状态， 又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形， 则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。条件：条件：1）存在两种状态：第一状态为作用有平

25、衡力系；第二状态为给定位移及变形。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性下面讨论W及Wi的具体表达式。以上两种状态彼此无关。外力虚功：微段ds的内虚功dWi：整根杆件的内虚功为：根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：小结：小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构 （静定、 超静定、 杆系及非杆系结构） ， 适用于弹性或非弹性结构。考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。二、位移计算的一般公式二、位移计算的一般公式变形体虚功原理有两种应用形式，即虚

26、力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载，则虚功方程为 ：所以下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。1.欲求，则在 C 截面加上竖向单位载荷，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。2. 位移计算一般公式外力虚功内虚功所求位移3. 小结1）单位载荷在结构中产生的内力和支座反力，给定的位移和变形。力和位移无关。2）正负号规则：若及使杆件同侧纤维伸长，则乘积为正，反之为负；乘积及的正负号分别由力与应变的正负号确定。以顺时针方向为正，

27、反之为负；负；若3）外力虚功的，则与与同向，则乘积使隔离体产生顺时针转动为正，反之为负，以拉应变为正，压应变为以拉力为正，压力为负，为正，反之为负。,则与同向；若求得这一项前取正号。若求得的反向。4）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。图示单位荷载分别求位移5）求位移步骤如下：沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；利用位移计算一般公式求位移。例 6-2-1已知杆 AB 和 BC 在 B 处有折角 (见图 a)，求 B 点下垂距离 。解：1）将制造误差明确为刚体位移，即在 B 截面加铰，见图 b)。2）虚设平衡力系如图 c)所示。运用虚功方程W=0 得：

28、例 6-2-2已知杆 AB 在 B 左、右截面有竖向相对错动见图 a) ，求。解：1）将制造误差明确为刚体位移，将截面 B 变为滑动联结，见上页图 b)。2）虚设平衡力系如图 c）所示 。运用虚功方程W=0 得：例 6-2-3已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度。解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功方程得：三、广义位移的计算求图 a）结构 A、B 截面相对水平位移虚设单位载荷如上图 c) ，d)所示。由上图 b)可得：所以得：所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：例 6-2-4 因温度

29、变化底板 AB 弯曲成半径R=10m之圆弧状， 求截面 C、 D 的相对水平位移。解：在截面 C、D 上加一对大小相等 、方向相反、沿水平方向的单位荷载如图所示。注意，AC、BD 杆无弯曲变形。6-36-3支座移动和温度变化时的位移计算支座移动和温度变化时的位移计算一、支座移动时的位移计算一、支座移动时的位移计算若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：说明：1）等号右边的负号是公式推导而得出，不能去掉。2）若与方向相同，则乘积为正，反之为负。例 6-3-1已知刚架支座 B 向右移动a,求解：1）求2

30、）求3）求二、温度变化时的位移计算静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1.是温度改变值，而非某时刻的温度。2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：杆轴线处温度改变值：对于矩形截面杆件，3.微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变4.位移计算公式小结：1） 正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维， 伸长 （弯曲方向相同） ， 则乘积为正，反之为负。2）以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，压力为负。例 6-3-2求图示刚架 C 截面水平位移。已知杆件线膨胀系数为，矩形截面高为h。解：6-46-4静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算一、一

31、、 基本公式基本公式求下图示结构在荷载作用下的位移 。若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：在荷载作用下，应变与内力上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。正负号规则：1） 不规定和的正负号，只规定乘积，的正负号。若和使杆件同一侧纤维受拉伸长，则乘积为正，反之为负；2）3）和和以拉力为正，压力为负；的正负号见下图。若结构除荷载外，还有支座移动和温度变化，则位移计算公式为：二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式1.梁和刚架在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。

32、对于深梁，即h/l较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。2.桁架桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：3.组合结构4.拱拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：例 6-4-1求简支梁中点竖向位移，并讨论剪切变形对位移的影响。解：若杆截面为矩形，则k=；又=1/3，则E/G=2(1+ )=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，则可见，剪切变形的影响不能忽略。h/l=1/2，则6-56-5图乘法图乘法图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分改写成说明：1）条件：AB 杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与

33、Mk图形中有一个是直线图形。2）y0 与的取值：y0 一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0 与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0 与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。二、 常见图形的几何性质三 、 图乘法举例运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。分段图均应分为对应的若干段，然后进行计算。分块只对或中的一个图形进行分块，另一个图形不分块。例 6-5-1求。解：作分段：分块：图图，如上图所示。分为 AC、CB 两段，图的 CB 段分为两块。此题还可以这样处理：先认为整个 AB 杆的刚度是刚

34、度为的 AC 段即可。，再加上刚度为的 AC 段，再减去例 6-5-2求解：作分段：分块：图图，如右图所示。分为 AC、CB 两段。图的 AC 段分为两块。 ,EI等于常数。如果将 AC 段的图如下图那样分块，就比较麻烦。例 6-5-3求,EI等于常数。解：作图图，如下页图所示。例 6-5-4求解：作图及EI等于常数。图，如下所示。分段：分块：分为 AB、BC 两段。图的 BC 段分为两块。例 6-5-5求CH，EI等于常数解：作MP图和图见下页图。分块：MP图的 AB 段分为两块。6-66-6互等定理互等定理互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、一、

35、功的互等定理功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态 I 和状态 II。令状态 I 的平衡力系在状态 II 的位移上做虚功，得到：同样，令状态 II 的平衡力系在状态 I 的位移上做虚功，得到：所以即定理定理在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12 等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、二、 位移互等定理位移互等定理定理定理在任一线性变形体系中， 由荷载FP1 引起的与荷载FP2 相应的位移影响系数21 等于由荷载FP2 引起的与荷载FP1 相应的位移影响系数12。 即12=21由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移ij与力FPj

36、的比值是一个常数，记作ij，即：或于是所以12=12=2121说明：1）ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。i产生位移的方位；j产生位移的原因。2）FP1 和FP2 可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12 和21 就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲例 6-6-1验证位移互等定理。上仍然保持相等。解：所以12=12=2121例 6-6-2验证位移互等定理。解：所以12=12=2121三、反力互等定理三、反力互等定理反力互等定理只适用于超静定结构， 因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，

37、其内力和支座反力均等于零。根据功的互等定理有：在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即或所以说明：得 rij也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 i产生支座反力的方位；j产生支座移动的支座。定理定理在任一线性变形体系中， 由位移C1 引起的与位移C2 相应的反力影响系数r21 等于由位移C2引起的与位移C1 相应的反力影响系数r12。例 6-6-3验证反力互等定理。上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。四、位移反力互等定理四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：令所以即由此得到上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号

38、相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。定理定理在任一线性变形体系中，由位移C2 引起的与荷载FP1 相应的位移影响系数于由荷载FP1 引起的与位移C2 相应的反力影响系数混合法中得到应用。例 6-6-4验证位移反力互等定理。在绝对值上等，但二者符号相反。位移反力互等定理在6-76-7结构位移计算公式的另一种推导结构位移计算公式的另一种推导本节讨论问题的思路是：先导出局部变形时的位移公式，然后运用叠加原理，导出结构位移计算的一般公式。一、一、 局部变形时静定结构的位移计算公式局部变形时静定结构的位移计算公式例 6-7-1下图示悬臂梁 B 左右截面有相对转角，试求 A 截面竖向位移。解

39、：在截面 B 加铰，把实际位移表示为刚体位移状态。在截面 A 加上竖向单位荷载，在铰 B 左右截面虚设一对弯矩如图示根据平衡条件得：令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：例6-7-2图示悬臂梁 B 截面有相对剪切位移，试求 A 截面沿方向位移。解：在截面 B 上加上滑动连结，把实际位移表示为刚体位移。在截面 A 沿方向加上单位荷载，在 B 左右截面虚设一对剪力如图所示。显然：令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：例 6-7-3图示悬臂梁 B 截面有相对轴向位移，试求 A 截面沿方向位移。解：在截面 B 上加上轴向连结，把实际位移表示为刚体位移。在截面 A 沿方向加单位荷载，在 B 左右

40、截面虚设一对轴力如图所示。显然：令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：二、微段变形时的位移计算公式下图示梁除了微段ds有局部变形外，杆件其余部分没有变形。把微段 BC(ds)的三个应变集中到截面 C，这样就可以把微段 BC 的变形当作截面 C 的局部变形。根据前面三个例题的结论，应用虚功原理，就可以求得 A 截面沿方向由微段ds的变形所产生的位移增量d：三、 结构位移计算的一般公式整根杆件的变形在 A 点产生的位移可以由每个微段变形在该点引起的微小位移叠加得到，即：结构通常由若干根杆件组成，对上式取总和就得到整个结构变形时在某截面产生的位移：第七章第七章力力法法7-17-1超静定结构的组成

41、和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构的组成一、超静定结构的组成超静定结构有如下特征：1) 从几何构造分析的观点来看，超静定结构是有多余约束的几何不变体系。 2) 若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要补充位移条件。若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答。如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支座 B 的竖向反力可以是任意值。二、超静定次数二、超静定次数超静定次数超静定次数n n= = 结构多余约束数目。结构多余约束数目。为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆除的多余约束数。

42、规则：1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束；4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。例：例：a)a)7-27-2力法基本原理力法基本原理解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必须满足位移协调条件。一、一次超静定结构的力法计算一、一次超静定结构的力法计算1.1. 力法的基本体系和基本未知量力法的基本体系和基本未知量如下图示超静定梁，去掉支座 B 的链杆，用相应的未知力X1 代替，X1 称为力法基本未知量。不要把原结构拆成几何可变体系。 此去掉 B 支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基

43、本结构。外， 要把超静定结构的多余约束全部拆除。2.2. 力法方程力法方程力法方程为力法方程为原结构 B 截面竖向位移基本体系的位移基本体系的位移= =原结构的位移原结构的位移因为讨论：讨论：1）力法方程是位移方程；2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1 共同作用下沿X1 方向的位移等于原结构 B 支座竖向位移；3）系数的物理意义：方程可写为基本结构在X1=1 作用下沿X1 方向的位移；基本结构在FP作用下沿X1 方向的位移。3.3. 力法计算力法计算1)1)求系数及自由项求系数及自由项2)2)求未知力求未知力X X1 13)3) 作内力图作内力图二、多次超静定结构的力法计算二、多

44、次超静定结构的力法计算下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力X分别作用下的位移图。力法方程为力法方程为根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义。主系数主系数：11、22、33 恒大于零。副系数副系数：ij (ij)可能大于、等于或小于零。i i表示位移的方位；j j表示产生位移的原因。由位移互等定理：ij=ji，即12=21，23=32，31=13。作图及MP图，求出力法方程的系数和自由项，解方程求出力法未知量，然后根据下式求内力：三、超静定结构支座移动时的力法计算三、超静定结构支座移动时的力法计算超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，

45、超静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形，而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动时力法的解题思路。解：1）选两种基本体系如下图示（受X1 及支座转角共同作用）（只有X X1 1 作用，支座转角对杆端 A A 无影响）2）力法基本方程位移条件力法方程3）求系数和自由项4）求未知力X15） 作内力图在基本体系 II 中，若X1 为逆时针方向，如下图示，则力法方程成为：小结：小结：1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系。2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：为基本体系由X=1 产生的支座反力；为基本体系的支座

46、位移。3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。例 7-2-1写出图示刚架的力法方程并求出系数iC解:1）取两种基本体系如下图示2） 建立力法方程讨论方程及系数的物理意义。3） 求自由项本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去。7-37-3力法举例力法举例一、连续梁一、连续梁用力法解连续梁时，其基本体系是将杆在中间支座处变为铰，如下图所示。位移方程B=0 B 左右截面相对转角等于零。C=0 C 左右截面相对转角等于零。1. 力法方程方程各系数示于上页图中。讨论方程和系数的物理意义。2. 方程求解图、图及MP图见下页图示。上述弯矩图的一个特征是：弯矩图局部

47、化。将系数代入力法方程就得到：解方程得：3. 作内力图1)根据下式求各截面M值，然后画M图。2)根据M图求各杆剪力并画FQ图。很容易求得 CD 杆剪力为:二、超静定刚架二、超静定刚架例 7-3-1求图示刚架M图。1. 力法方程2. 方程求解将求得的系数代入力法方程就得到：将求得的系数代入力法方程就得到：解方程得：3. 讨论1）当k=0，即E1I1 很小或E2I2很大，则刚架弯矩图为：可见，柱 AB 相当于在横梁 BC 的 B 端提供了固定约束。2）当k=1，刚架弯矩图如图 a)示。3）当k=，即E1I1 很大或E2I2 很小。由于柱 AB 抗弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC 相当于简支

48、梁，M图见图 b)。结论：结论：在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度EI的比值k相关，而与杆件抗弯刚度EI的绝对值无关。若荷载不变，只要k不变，结构内力也不变。三三 、超静定桁架、超静定桁架以下图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方法。除注明者外，其余各杆刚度为EA。基本体系 I：力法方程：力法方程：位移等于零。基本结构中包括 AB 杆。基本体系 II：力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1 共同作用下，杆 AB 切口左右截面相对于水平力法方程：力法方程：力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1 共同作用下，结点 A、B 相对水平位移等于杆 AB 的伸长，但符号相反。基本结构中不

49、包括 AB 杆。例 7-3-2求上图示桁架各杆轴力，各杆 EA 相同。解: 根据上述基本体系 I 求得各杆FNP及标于图中。求得未知量后，桁架各杆轴力按下式计算：四四 、排架、排架例 7-3-3求图示排架M图。排架结构求解时，通常切断链杆以得到力法基本结构。这样，MP图和图局部化，求解力法方程系数比较简单。解：1）基本体系和力法方程方程物理意义：横梁切口左右截面相对水平位移等于零。2）求系数和自由项3）求多余未知力4）作M图五、单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图五、单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图杆件抗弯刚度 EI 与杆长l的比值称为线刚度，用符号i表示。7-47-4力法简化计算力法简化计算一、

50、力法简化计算的思路一、力法简化计算的思路若一个结构的超静定次数为n，则在荷载作用下其力法方程为：在上列方程中，主系数ii恒大于零，副系数ij（ij）则可能大于零、等于零或小于零。若能使全部副系数ij等于零，则方程组解耦，力法方程变为：即使不能使全部副系数等于零，若能使大部分副系数等于零，则力法计算也将大大简化。所以，力法简化计算的目的：使尽可能多的副系数等于零。：使尽可能多的副系数等于零。二、非对称结构的简化计算二、非对称结构的简化计算对于非对称结构，为简化计算，应尽量使图及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以，取基本结构时应考虑这一因素。三三 、对称结构的简化计算、对称结构的简化计算对称