结构力学复习笔记_1.pdf

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1、 .第一章 绪 论 1-1 结构和结构的分类 一、结构 工程中的桥梁、隧道、房屋、挡土墙、水坝等用以支承荷载和维护几何形态的骨架部分称之为结构 二、结构分类 1.杆系结构 杆件长度l远大于横截面尺寸b、h。钢结构梁、柱 2.板壳结构 厚度远小于其长度与宽度的结构 3.实体结构 长、宽、高三个尺寸相近的结构.1-2 结构力学的内容和学习方法 一、结构力学课程与其他课程的关系 结构力学是理论力学和材料力学的后续课程。理论力学研究的是刚体的机械运动(包括静止和平衡)的基本规律和刚体的力学分析。材料力学研究的是单根杆件的强度、刚度和稳定性问题。而结构力学则是研究杆件体系的强度、刚度和稳定性问题。因此，

2、理论力学和材料力学是学习结构力学的重要的基础课程，为结构力学提供力学分析的基本原理和基础。同时，结构力学又为后续的弹性力学(研究板壳结构和实体结构的强度、刚度和稳定性问题)以及混凝土结构、砌体结构和钢结构等专业课程提供了进一步的力学知识基础。因此，结构力学课程的学习在土木工程的房建、结构、道路、桥梁、水利及地下工程各专业的学习中均占有重要的地位。二、结构力学的任务和学习方法 结构力学的任务包括以下几个方面：(1)研究结构的组成规律、合理形式以及结构计算简图的合理选择；(2)研究结构内力和变形的计算方法，以便进行结构强度和刚度的验算；(3)研究结构的稳定性以及在动力荷载作用下结构的反应。结构力学

3、的学习方法：先修课,公式,定理,概念,作业 研究性学习：结合工程实际思考问题 1.研究对象 由细长杆件构成的体系平面杆系结构。如：梁、桁架、刚架、拱及组合结构等。2.研究内容 平面杆件体系的几何构造分析；：讨论结构的强度、刚度、稳定性、动力反应以及结构极限荷载的计算原理和计算方法等。几何构造分析主要是讨论几何不变体系的组成规律，因为只有几何不变体系才能作为结构来使用。强度计算在于保证结构物使用中的安全性，并符合经济要求。刚度计算在于保证结构物不会产生过大的变形从而影响使用。稳定性验算在于保证结构不会产生失稳破坏。动力分析是研究结构的动力特性以及在动荷载作用下的动力反应 结构受到的地震力、位移、

4、速度、加速度及动内力等。极限荷载的求解是为了充分发挥结构的承载能力，由讨论结构的弹性计算转变为塑性计算。结构力学的计算问题分为两类：一类为静定性的问题，只需根据下面三个基本条件的第一个条件平衡条件，即可求解；另一类为超静定性的问题，必须满足以下三个基本条件，方能求解。三个基本条件是：(1)力系的平衡条件在一组力系作用下，结构的整体及其中任何一部分都应满足力系的平衡条件。(2)变形的连续条件(即几何条件)连续的结构发生变形后，仍是连续的，材料没有重叠或缝隙；同时结构的变形和位移应满足支座和结点的约束条件。(3)物理条件把结构的应力和变形联系起来的物性条件，即物理方程或本构方程。1-3 结构计算简

5、图 一、选取结构的计算简图必要性、重要性：将实际结构作适当地简化，忽略次要因素，显示其基本的特点。这种代替实际结构的简化图形，称为结构的计算简图。$合理地选取结构的计算简图是结构计算中的一项极其重要而又必须首先解决的问题。二、选取结构的计算简图的原则：1、能反映结构的实际受力特点，使计算结果接近实际情况。2、忽略次要因素，便于分析计算。三、简化内容:1、体系的简化:空间结构 平面结构 2、杆件的简化:杆件 杆件的轴线 3、结点的简化:刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)4、支座的简化:固定铰支座 可动较支座 固定端支 滑动支座(定向支座)5.荷载的简化:集中力、集中力偶、分布荷载 1-3 结构

6、计算简图 一、结构体系的简化 一般结构实际上都是空间结构，各部相连成为一空间整体，以承受各方向可能出现的荷载。在多数情况下，常忽略一些次要的空间约束，而将实际结构分解为平面结构。二、杆件的简化 杆件用其轴线表示，杆件之间的连接区用结点表示，杆长用结点间距表示，荷载作用于轴线上。三、支座和支座反力 支座定义：把结构与基础联结起来的装置。1.固定支座 简图：特点：1)结构在支座截面不产生线位移和转角；2)支座截面有反力矩以及x、y方向的反力。2.固定铰支座 特点：1)结构在支座截面可以绕圆柱铰 A 转动 2)x、y方向的反力通过铰 A 的中心。3.活动铰支座（辊轴支座、摇轴支座）特点：1)杆端 A

7、 产生垂直于链杆方向的线位移；2)反力沿链杆方向作用，大小未知。4.滑动支座（定向支座）特点：1）杆端 A 无转角，不能产生沿链杆方向的线位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；2）杆端存在反力矩以及沿链杆方向的反力。！四、结点的简化 五、材料性质和荷载的简化 1、材料性质的简化 在土木工程中结构所用的建筑材料通常为钢、混凝土、砖、石、木料等。在结构计算中，为了简化，对组成各构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。上述假设对于金属材料在一定受力范围内是符合实际情况的。对于混凝土、钢筋混凝土、砖、石等材料则带有一定程度的近似性。至于木材，因其顺纹与横纹方向的物理性质不

8、同，故应用这些假设时应予以注意。2、荷载的简化 结构承受的荷载可分为体积力和表面力两大类。体积力指的是结构的重力或惯性力等；表面力则是由其他物体通过接触面传给结构的作用力，如土压力、车辆的轮压力等。在杆件结构中把杆件简化为轴线，因此不管是体积力还是表面力都可以简化为作用在杆件轴线上的力。荷载按其分布情况可简化为集中荷载和分布荷载。荷载的简化与确定比较复杂。*1-4 杆系结构分类 1.梁 1）单跨梁 2）多跨梁 梁的特点：（梁的轴线通常为直线，水平梁在竖向荷载作用下，截面存在弯矩和剪力，以受弯为主 2.刚架 刚架的特点：1）刚架通常由梁和柱等直杆组成，杆件间的结点多为刚结点；2）荷载作用下杆件截

9、面存在弯矩、剪力和轴力。3.拱 拱的特点：&1)拱的轴线为曲线，在竖向荷载作用下支座有水平推力 （见图)；2)水平推力大大改变了拱的受力特性。4.桁架和组合结构 特点：1)桁架由直杆组成，所有结点都是铰结点，当荷载作用于结点时，各杆只受轴力；2)组合结构则是由梁式杆和链杆组成，其中梁式杆以受弯为主，内力不仅有轴力，还有弯矩、剪力。根据杆件结构的计算特点，结构可分为静定结构和超静定结构两大类。(1)静定结构 凡用静力平衡条件可以确定全部支座反力和内力的结构称为静定结构。(2)超静定结构 凡不能用静力平衡条件确定全部支座反力和内力，需要考虑变形条件和物理条件的结构称为超静定结构。根据杆件和荷载在空

10、间的位置，结构可分为平面结构和空间结构。(1)平面结构 各杆件的轴线和荷载都在同一平面内，称为平面结构。(2)空间结构、各杆件的轴线和荷载不在同一平面，或各杆件轴线在同一平面内，但荷载不在该平面内时，称为空间结构。荷载的分类 1.按荷载作用时间长短可分为：恒载永久作用在结构上的荷载。如自重等。活载荷载有时作用在结构上，有时又不作用在结构上。如：楼面活荷载，雪荷载。2.按荷载作用位置可分为：固定荷载作用位置不变的荷载，如自重等。移动荷载荷载作用在结构上的位置是移动的，如吊车荷载、桥梁上的汽车和火车荷载。|3.按荷载作用的性质可分为：静荷载荷载的大小、方向、位置不随时间变化或变化很缓慢的荷载。恒载

11、都是静荷载。动荷载荷载的大小、方向随时间迅速变化，使结构产生显著振动，结构的质量承受的加速度及惯性力不能忽略。化爆和核爆炸的冲击波荷载、地震荷载等都是动力荷载。五、线性变形体系 若体系产生符合约束条件的微小连续变形，材料服从虎克定理，则该体系称为线性变形体系，可以用叠加原理求结构的内力和变形。1.微小连续变形 变形与杆件尺寸相比很小，结构变形后几何尺寸无变化，荷载位置及作用线不变，变形符合支座约束条件。2.材料服从虎克定律 即应力应变满足关系式：第二章 平面体系的几何构造分析 2-1 几何构造分析的基本概念#一、几何构造分析的目的 1.判断某个体系是否为几何不变体系，因为只有几何不变体系才能作

12、为结构使用。2.研究几何不变体系的组成规律，保证设计的工程结构在荷载下能维持平衡 3.正确区分静定结构与超静定结构，指导内力计算。二、基本概念 1.几何不变体系与几何可变体系（忽略变形的前提下）几何不变体系在任何外力作用下，体系的位置和形状不会改变。!几何可变体系在外力作用下，体系的位置和形状是可以改变的。几何可变体系 分为常变体系、瞬变体系 常变体系可以发生大位移（有限位移）的几何可变体系叫作常变体系。瞬变体系本来几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。由于瞬变体系能产生很大的内力,故几何常变体系和几何瞬变体系不能作为建筑结构使用.只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！2.刚

13、片.由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在几何构造分析中称为刚片。3.自由度 体系在平面内运动时，用来确定其位置所需的独立参考变量（坐标）的数目。1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数x、y。2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数x、y、。4.约束：凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。约束的种类分为：。1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根简单链杆相当于一个约束。复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称为复杂链

14、杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。2）铰 简单铰 只与两个刚片连结的铰称为简单铰。一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。)复杂铰 与三个或三个以上刚片连结的铰称为复杂饺。若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为 2(m-1)个。3）刚性连结 看作一个刚片 一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余约束,若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。-4）瞬铰（虚铰）两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交点处

15、有一个瞬铰（虚铰）。2-2 平面体系的计算自由度 一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一些约束组成。按照各部件都是自由的情况，算出各部件自由度总数，再算出所加入的约束总数，将两者的差值定义为：体系的计算自由度 W。即：1.将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆为约束。则计算自由度公式为：！在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。不考虑简单刚结数，将其统一为一个刚片后，则 W=3m （2h+b）其中，刚片数m，单铰数h，支承链杆数b 注意：1、复连接要换算成单连接。2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有 a 个无铰封闭框，约束数应加 3

16、a 个。3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆，固定端相三于个支承链杆。！0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。W=0 实际约束数等于体系必须的约束数 不能断定体系是否几何不变 W0 体系有多余约束 由此可见:W0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而不是充分条件。2-3 几何不变体系的组成规律 一、几何不变体系的组成规律&基本规律：三角形规律。1.规律 1 一个结点与一个刚片的连接 一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：结点 A，刚片 I 提供的约束：两根链杆 1，2 在一个刚片上增加两根链杆，此两杆不在一直线上，两杆的另一端又用铰相连。

17、这种构造称为二元体，在一个刚片上增添一个二元体仍为几何不变体系。2.规律 2 两个刚片之间的连接 两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：铰 A 及链杆 1 铰 A 也可以是瞬铰，如右图示。3.规律 3 三个刚片之间的连接 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：刚片 I，II，III 提供的约束：铰 A、B、C ,4.规律 4 两个刚片之间的连接 两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：链杆

18、 1，2，3 5.关于无穷远瞬铰的情况 刚片 I,II用铰 A 连接 刚片 I,III用铰 B连接 刚片 II,III用铰 C 连接 一个瞬铰 C 在无穷远处，铰 A、B 连线与形成瞬铰的链杆 1、2 不平行，故三个铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多余约束（图 a）。瞬铰 B、C 在两个不同方向的无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的点，铰 A 位于有限点。由于有限点不在无穷线 二、举例 解题思路：基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。,例 2-2-1 试分析图 a)所示体系的几何构造。解：1）被约束对象：刚片

19、I,II 及结点 D。刚片 I、II 用链杆 1、2、3 相连，符合规律 4，组成大刚片 ；大刚片 、结点 D 用链杆 4、5 相连，符合规律 1。故体系为几何不变且无多余约束。2）被约束对象：刚片 I,II,III 及结点 D，见图 b)。刚片 I、II 用链杆 1、2 相连(瞬铰 o)；刚片 I、III 用铰 B 相连；刚片 II、III 用铰 A 相连。铰 A、B、o 不共线，符合规律 3，组成大刚片 。大刚片 与结点 D 用链杆 3、4 相连，符合规律 1。故体系几何不变且无多余约束。$例 2-2-2 试分析图示体系的几何构造。解：刚片 I、II 用链杆 1、2、3 相连，符合规律 4

20、。故该体系几何不变且无多余约束。例 2-2-3 试分析图示体系的几何构造。解：刚片 I、II 用链杆 1、2 相连，（瞬铰 A)；刚片 I、III 用链杆 3、4 相连，（瞬铰 B)；刚片 II、III 用链杆 5、6 相连，（瞬铰 C)。形成瞬铰 B、C 的四根链杆相互平行（不等长），故铰 B、C在同一无穷远点，所以三个铰 A、B、C 位于同一直线上，故体系为瞬变体系（见图 c）。A、B、C 三铰均在无穷远处，位于同一无穷线上，故为瞬变体系。例 2-2-4 试分析图示体系的几何构造。解：刚片 I、II 用链杆 1、2 相连（瞬铰 A)刚片 I、III 用链杆 3、4 相连（瞬铰 B)刚片 I

21、I、III 用链杆 5、6 相连（瞬铰 C)因为 A、B、C 三铰不在同一直线，符合规律 3，故该体系几何不变且无多余约束。机动分析总结 根据简单的组成规则，首先把直接能观察出来的几何不变部分看做刚片，再应用规则分析；或者首先拆除二元体，使体系几何组成简单化再分析，在 分析铰结链杆体系时，二元体规则较三刚片规则方便。几何构造与静定性的关系 1、静定及超静定结构在静力学解答方面的特性 静定结构：全部的反力及内力可用平衡方程唯一确定 超静定结构：全部的反力及内力不可用平衡方程全部唯一确定 2、静定及超静定结构在几何构造方面的特性 静定结构：几何不变且无多余联系 超静定结构：几何不变且有多余联系,小

22、结：1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及所提供的约束。2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束，除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。3）注意约束的等效替换。第三章 静定结构的受力分析 3-1 杆件受力分析 静定结构的定义：从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束的结构称为静定结构。从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由三个平衡方程唯一确定。、平衡方程为：Fx=0 Fy=0 M=0 或：MA=0 MB=0 MC=0(A,B,C 不再同一直线上)一、隔离体 1.内力正负号 在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁

23、。2.隔离体 作隔离体应注意下列几点：1）隔离体与其余部分的联系要全部切断，代之以相应的约束力；;2）约束力要与被切断的约束性质相应；3）隔离体只画受到的力，不画该隔离体施加给其余部分的力；4）不要遗漏力。隔离体受力图应包括荷载以及受到的全部约束力；5）已知力按实际方向表示，注明数值。未知力按正方向表示。二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系 1.微分关系 小结：1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向荷载的集度，但正负号相反。2）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。3）弯距图上某点的曲率等于该点的横向荷载的集度，但正负号相反。4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷载的集度，但正负号相反。因

24、此：若剪力等于 0，Q 图为水平线,M 图平行于杆轴；若剪力为常数，Q 图为斜直线,M 图为抛物线,且凸向与荷载指向相同.若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时，M 图为抛物线。2.集中荷载与内力之间的增量关系 小结：1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，M 图有台阶，台阶高度等于m。2）左右截面剪力不变。￥内力图形状特征 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。三、分段叠加法作弯矩图 分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的简便作图法。叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。现在

25、讨论分段叠加法的做法，见下图。在求出各控制截面A、C、D、B 在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M 图的问题。步骤：1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线基线。控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座截面等。2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。例 3-1-1 作图示单跨梁的M、FQ图。；解：1）求支座反力 2）选控制截面 A、C、D、F 并求弯矩值。已知 MA0，MF0。取

26、右图 AC 段为隔离体：取右图 DF 段为隔离体：3)作M图，将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对 AC、CD、DF 段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。4)作FQ图 例 3-1-2 作图示单跨梁的M、FQ图。解：1）求支座反力 对悬臂段 EF：3)作M、FQ图 将MA、MC、MD、ME、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对 AC、DE、EF 段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。小结：1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合；2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；3）先画M 图后画FQ图，注意荷

27、载与内力之间的微分关系。*四、斜杆受力分析 以下图示斜梁为例进行讨论。解：1）支座反力如上图示。2）求任一截面 C 之MC、FQC、FNC 。取右图 AC 段为隔离体：*斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。3)作内力图。例 3-1-3 作图示斜梁的内力图。解：1)求 A、B 截面剪力和轴力 3)作内力图。)注意右上图示梁 C、D 截面弯矩图的画法。3-2 静定多跨梁受力分析 一、静定多跨梁的构造特征和受力特征 1.构造特征 静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部分。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部分，见下图。2.受力特征 由静定多跨梁的组成顺序可

28、以看出，若荷载作用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在附属部分上，则基本部分同样受力。因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开始，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。二、内力分析 解题步骤：1）画组成次序图；2）从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。注意附属部分传给基本部分的力。3）对于每一段单跨梁，用分段叠加法作M 图。例 3-2-1 作图示静定多跨梁的M图和FQ图。】解：1）作组成次序图 2）求附属部分和基本部分的约束力 对于 CE 段梁:对于 AC 段梁:3）内力图如下图示 例 3-2-2 作图示静定多跨梁的M图和FQ图。解：1）作组成次序图 2）求附属部分和基本部分的约束力

29、 梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点 D 的集中力（80kN）可看作直接作用于基本部分 AD 上。对于 AD 段梁：对于 FL 段梁：3）内力图如下图示 例 3-2-3 求x的值，使梁正、负弯矩相等。】解：BD 跨为基本部分，AB 跨为附属部分。AB 跨跨中弯矩ME为：BD 跨支座 C 负弯矩MC为：令ME=MC 得：对于 BD 杆：CD 跨最大弯矩为：3-3 静定平面刚架受力分析 一、基本概念 平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结点相连接。刚结点有如下特征：几何特征一个简单刚结点相当于三个约束，能减少体系三个自由度。变形特征在刚结点处，各杆端截面有相同的线位移及角位移。静力特征刚结点能传

30、递弯矩、剪力和轴力。二、静定平面刚架分类 悬臂刚架梁为悬臂杆，如火车站之月台结构；简支刚架用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架；三铰刚架三个刚片(包括基础)用三个铰两两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚架的支座存在水平推力。;三、静定平面刚架内力分析举例 例 3-3-1 作图示平面刚架内力图。解：ACD 为附属部分，其余为基本部分。1）支座反力 考虑附属部分 ACD：?考虑刚架整体平衡：2)作M图 取右图示 EHK 部分为隔离体：取右图示 DE 部分为隔离体：各柱上端弯矩为：3)作FQ 图 杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程求得。下面以 EH 杆为

31、例说明用力矩方程求剪力的方法。取右图示 EH 杆为隔离体：4)作FN图 各杆轴力可以用投影方程求解。根据剪力图，取各刚结点为隔离体，用投影方程求轴力。例3-3-2 例3-3-3 作图示三铰刚架内力图。解：1)支座反力/。整体平衡：由 CEB 部分平衡：由整体平衡：2)作M图 AD 杆：MDAql2/16(右拉)M中ql2/16(右拉)3)作FQ、FN图 很容易作出剪力图和轴力图如上右图示。例 3-3-3 作图示三铰刚架内力图。解：1)支座反力 考虑整体平衡:由 BEC 部分平衡：2)支座反力FVA、FVB、FHA、FHB与拱轴形状无关，只与三个铰 A、B、C 及荷载的大小和相对位置有关。2.弯

32、矩计算公式 求任意截面 D 的弯矩。由 AD 段隔离体可得：由上式可见，因为有推力存在，三铰拱任一截面之弯矩小于代梁中相应截面的弯矩，即;下面求 K、J 截面的弯矩MK和MJ。求MK%求MJ 3.求FQ、FN的计算公式 拱轴任意截面 D 切线与水平线夹角为。相应代梁中，设为正方向。小结：1)左半拱 0，右半拱 三、静定结构的荷载等效特性 具有相同合力的各种荷载称为静力等效荷载。当静定结构的一个几何不变部分上的荷载进行静力等效变换时，只有该几何不变部分的内力发生变化，结构其余部分内力不变。所谓静力等效变换，就是用有相同合力的另一种荷载替换原来荷载的变换。、均表示 CD 部分以外杆段的内力状态。由

33、图 c)可知，因为 CD 部分作用一平衡力系，根据静定结构局部平衡特性，CD 杆段以外部分内力等于零，即，所以。于是就证明了静定结构的荷载等效特性。四、静定结构的构造变换特性 当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，结构其余部分内力不变。%此外需要指出，静定结构的内力和支座反力仅仅与结构类型及荷载有关，而与杆件的材料性质及刚度无关。而结构的变形则还与杆件的材料性质及刚度有关。第六章 静定结构的位移计算！6-1 概述 一、静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1.截面位移 2.广义位移 通常把两

34、个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。，二、位移计算的目的 1）验算结构的刚度 次梁跨中挠度 主梁跨中挠度 楼盖跨中挠度 吊车梁跨中挠度 2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件 求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。如右上图示单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以由无穷多组解答，例如可以取任意值 三、实功和虚功：1.实功 力在由该力引起的位移，上所作的功称为实功。即 右图中，外力是从零开始线性增大至，位移也从零线性增大至。也称为静力实功。2.虚功 力FP在由非该力引起的位移上所作的功叫作虚功。右图简支梁，先加上，则两截面 1、2 之位

35、移分别为。然后加，则 1、2 截面产生新的 实功：虚功：虚功强调作功的力与位移无关。6-2 变形体虚功原理及位移计算一般公式：一、变形体虚功原理 定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。条件：1）存在两种状态：第一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形。2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 下面讨论W及Wi 的具体表达式。!外力虚功：微段ds的内虚功dWi：。以上两种状态彼此无关。整根杆件的内

36、虚功为：根据虚功方程W=Wi，所以有：【结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。二、位移计算的一般公式 变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移;虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载，则虚功方程为：所以 下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以

37、具体说明。1.欲求，则在 C 截面加上竖向单位载荷，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。2.位移计算一般公式 外力虚功 内虚功 所求位移 3.小结 1）单位载荷 在结构中产生的内力和支座反力，给定的位移和变形。力和位移无关。%2）正负号规则：若及使杆件同侧纤维伸长，则乘积为正，反之为负；乘积及 的正负号分别由力与应变的正负号确定。使隔离体产生顺时针转动为正，反之为负，以顺时针方向为正，反之为负；以拉力为正，压力为负，以拉应变为正，压应变为负；若与同向，则乘积为正，反之为负。3）外力虚功这一项前取正号。若求得的,则 与 同向；若求得的，则与反向。4）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。图示单位荷

38、载分别求位移 5）求位移步骤如下：沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；利用位移计算一般公式求位移。例 6-2-1 已知杆 AB 和 BC 在 B 处有折角 (见图 a)，求 B 点下垂距离。解：1）将制造误差明确为刚体位移，即在 B 截面加铰，见图 b)。2）虚设平衡力系如图 c)所示。运用虚功方程W=0 得：例 6-2-2 已知杆 AB 在 B 左、右截面有竖向相对错动见图 a)，求。解：1）将制造误差明确为刚体位移，将截面 B 变为滑动联结，见上页图 b)。2）虚设平衡力系如图 c）所示。运用虚功方程W=0 得：例 6-2-3 已知一直杆弯曲成圆弧

39、状，求杆中挠度 。（解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功方程得：三、广义位移的计算 求图 a）结构 A、B 截面相对水平位移 虚设单位载荷如上图 c)，d)所示。￥由上图 b)可得：所以得：所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：例 6-2-4 因温度变化底板 AB 弯曲成半径R=10m之圆弧状，求截面 C、D 的相对水平位移 。解：在截面 C、D 上加一对大小相等、方向相反、沿水平方向的单位荷载如图所示。注意，AC、BD 杆无弯曲变形。6-3 支座移动和温度变化时的位移计算 一、支座

40、移动时的位移计算 若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：说明：1）等号右边的负号是公式推导而得出，不能去掉。2）若与 方向相同，则乘积为正，反之为负。例 6-3-1 已知刚架支座 B 向右移动a,求 解：1）求 2）求 3）求 二、温度变化时的位移计算 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1.是温度改变值，而非某时刻的温度。2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：杆轴线处温度改变值 ：(对于矩形截面杆件，3.微段ds的应变 拉应变 弯曲应变 剪应变 :4.

41、位移计算公式 小结：1）正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维，伸长（弯曲方向相同），则乘积为正，反之为负。以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，压力为负。2）例 6-3-2 求图示刚架 C 截面水平位移。已知杆件线 膨胀系数为，矩形截面高为h。解：6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、基本公式 求下图示结构在荷载作用下的位移 。若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：*在荷载作用下，应变 与内力 上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。正负号规则：1）不规定和的正负号，只规定乘积，的正负号。若和使杆件同一侧纤维受拉伸长，则乘积为正，反之为负；2）和 以拉力为正

42、，压力为负；3）和的正负号见下图。若结构除荷载外，还有支座移动和温度变化，则位移计算公式为：二、各类结构的位移计算公式 1.梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：；在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。2.桁架 桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：3.组合结构 4.拱 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：例 6-4-1 求简支梁中点竖向位移，并讨论剪切变形对位移的影响。解：)若杆截面为矩形，则k=；又=1/3，则E/G=2(1+)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1

43、/10，则 h/l=1/2，则 可见，剪切变形的影响不能忽略。6-5 图乘法 ）图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式.为方便讨论起见，把积分 改写成 说明：1）条件：AB 杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。2）y0 与的取值：y0 一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0 与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0 与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。二、常见图形的几何性质 *三、图乘法举例 运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩

44、图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。分段图均应分为对应的若干段，然后进行计算。分块只对或 中的一个图形进行分块，另一个图形不分块。例 6-5-1 求 。解：作 图图，如上图所示。分段：分为 AC、CB 两段，分块：图的 CB 段分为两块。此题还可以这样处理：先认为整个 AB 杆的刚度是，再加上刚度为的 AC 段，再减去刚度为的 AC 段即可。例 6-5-2 求 ,EI等于常数。解：作 图 图，如右图所示。分段：分为 AC、CB 两段。分块：图的 AC 段分为两块。如果将 AC 段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。例 6-5-3 求,EI等于常数。解：作 图 图，如下页图所示。例 6-5-4

45、 求EI等于常数。解：作 图及 图，如下所示。分段：分为 AB、BC 两段。分块：图的 BC 段分为两块。#例 6-5-5 求CH，EI等于常数 解：作MP图和 图见下页图。分块：MP图的 AB 段分为两块。6-6 互等定理？互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、功的互等定理 功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态 I 和状态 II。令状态 I 的平衡力系在状态 II 的位移上做虚功，得到：同样，令状态 II 的平衡力系在状态 I 的位移上做虚功，得到：。所以 即 定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12 等于第二状态

46、 的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、位移互等定理 定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1 引起的与荷载FP2 相应的位移影响系数21 等于由荷载FP2 引起的与荷载FP1 相应的位移影响系数12。即 12=21 由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：或 于是 所以 12=21 说明：】1）ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。i产生位移的方位；j产生位移的原因。2）FP1 和FP2 可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12 和21 就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲

47、可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。例 6-6-1 验证位移互等定理。解：所以 12=21 例 6-6-2 验证位移互等定理。解：所以 12=21 三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。根据功的互等定理有：在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即 或 所以 得 说明：rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 i 产生支座反力的方位；j 产生支座移动的支座。定理 在任一线性变形体系中，由位移C1 引起的与位移C2 相应的反力影响系数r21 等于由位移C2引

48、起的与位移C1 相应的反力影响系数r12。例 6-6-3 验证反力互等定理。#上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。四、位移反力互等定理 根据功的互等定理有：令 即 所以 由此得到 上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。(定理 在任一线性变形体系中，由位移C2 引起的与荷载FP1 相应的位移影响系数在绝对值上等于由荷载FP1 引起的与位移C2 相应的反力影响系数，但二者符号相反。位移反力互等定理在混合法中得到应用。例 6-6-4 验证位移反力互等定理。6-7 结构位移计算公式的另一种推导 本节讨论问题的思路

49、是：先导出局部变形时的位移公式，然后运用叠加原理，导出结构位移计算的一般公式。一、局部变形时静定结构的位移计算公式 例 6-7-1 下图示悬臂梁 B 左右截面有相对转角，试求 A 截面竖向位移。%解：在截面 B 加铰，把实际位移表示为刚体位移状态。在截面A 加上竖向单位荷载，在铰 B 左右截面虚设一对弯矩 如图示根据平衡条件得：令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：例6-7-2 图示悬臂梁 B 截面有相对剪切位移，试求 A 截面沿 方向位移。解：在截面 B 上加上滑动连结，把实际位移表示为刚体位移。在截面 A 沿方向加上单位荷载，在 B 左右截面虚设一,对剪力如图所示。显然：令虚设平衡力系

50、在实际位移上做虚功，可得出：例 6-7-3 图示悬臂梁 B 截面有相对轴向 位移，试求 A 截面沿 方向位移。解：在截面 B 上加上轴向连结，把实际位移表示为 刚体位移。在截面 A 沿方向加单位荷载，在 B 左右:截面虚设一对轴力如图所示。显然：令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：二、微段变形时的位移计算公式 下图示梁除了微段ds有局部变形外，杆件其余部分没有变形。把微段 BC(ds)的三个应变集中到截 面 C，这样就可以把微段 BC 的变形当 作截面 C 的局部变形。根据前面三个例 题的结论，应用虚功原理，就可以求得 A 截面沿方向由微段ds的变形所产生的位移增量d：三、结构位移计算的