2022年排列组合练习题 .pdf

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1、涂色问题1.要给地图A,B,C,D 四个区域分别涂上红、黄、蓝3 种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻的区域必须涂不同的颜色，不同的涂法有多少种？2.将四种不同颜色涂入五个区域，相邻两个区域两个区域颜色都不相同，有多少种不同的涂法？3.用四种不同的颜色将正方形1，2，3，4 四个小方格涂色，要求每一个方格只涂一种颜色，且相邻的方格不涂相同的颜色，求不同的涂色方法？4.如图，一环形花坛分成A,B,C,D 四块，先有4 种不同的花选种，要求在每块里种1 种花，且相邻的2 块种相同的花，则不同的种法总数是5.用 5 种不同颜色给四棱锥顶点涂色，要求同棱不同色，有多少种不同涂法？练习：1、

2、有 10 个车站，共需要准备多少种车票？2 有 10 个车站，共有多少中不同的票价？平面内有10 个点，共可作出多少条不同的有向线段？有10 个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？从10 个同学中选出2 名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？以上问题中，属于排列问题的是（填写问题的编号）2、从 4 种蔬菜品种中选出3 种，分别种植在不同土质的3 块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？3、5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（ 2）女生按指定顺序排列4、一天的课表有6 节课，其中上午4 节，下午 2 节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六

3、节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？5、由数字 0， 1，2，3，4，可组成多少个没有重复数字且比20000 大的自然数？6、位同学站成一排， （1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一

4、起，另外四个人也必须站在一起7、某人射出8 发子弹，命中4 发，若命中的4 发中仅有 3 发是连在一起的，那么该人射出的8 发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）A720 种B480 种C24 种D20 种8、 （ 1）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法有种。（2）有 15 个一样的求，分给3 个人，每人至少分2 个，则有几种不同的分法？（3）将 20 个相同的小球放入编号为 1、2、 3、4 的四个盒子里，要求每个盒子所分的小球数不少于盒子的编号，则有多少种不同的分法？排列、组合、概率练习题1在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重

5、复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）36 个（B） 24 个（ C ）18 个（D）6个2从 4 名男生和 3 名女生中选出3 人，分别从事三项不同的工作， 若这 3 人中至少有1 名女生， 则选派方案共有（）108 种（B）186 种（C）216 种（D）270 种3某外商计划在四个候选城市投资3 个不同的项目 , 且在同一个城市投资的项目不超过2 个, 则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种 B.36种 C.42种 D.60种4高三（一）班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（） A 180

6、0 （B）3600 （C）4320 （ D） 5040 5袋中有 40 个小球，其中红色球16 个、蓝色球12 个，白色球8 个，黄色球4 个，从中随机抽取10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为12344812161040C C C CC21344812161040C C C CC23144812161040C C C CC13424812161040C C C CC6在正方体上任选3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（）A17B27C37D477.在 AOB 的 OA 边上取 m 个点，在 OB 边上取 n 个点 (均除 O 点外 )，连同

7、 O 点共 m+n+1 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( ) 1212111121212121211211CCC D.CCCCCCC.CCCC.C BCCCA.Cnmnmnmmnnmmnnmmnnm8.将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）191121151189在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为3 或 6 的概率是（）3101511011210将 1，2， , ， 9 这 9 个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（）

8、A561B701C3361D420111如图，三行三列的方阵中有9个数(12 312 3)ijaij， ， ；，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或111213212223313233aaaaaaaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 同列的概率是（）A37B47C114D131412.已知一组抛物线1212bxaxy，其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数，b 为 1,3,5,7 中任取的一个数，从这些

9、抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1 交点处的切线相互平行的概率是（A）121（B）607（C）256（ D）25513已知集合1,0,1S,1,2,3,4P,从集合S,P中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_个. 14 安排 7 位工作人员在5 月 1日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5 月 1 日和2 日，不同的安排方法共有_种。 （用数字作答）15 电视台连续播放6 个广告，其中含4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 16. 在一个小组中有8 名女同学和4 名男同学，

10、 从中任意地挑选2 名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是_（结果用分数表示） 。17.四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_18将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有种？19每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).（I）连续抛掷2 次，求向上的数不同的概率； （II）连续抛掷 2 次，求向上的数之和为6 的概率；（III ）连续抛掷5 次，求向上的数为奇数恰好出现3 次的概率。20. 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在

11、集合 3， 2， 1， 0，1，2，3，4 中选取 3 个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？21. 在 20 件产品中有15 件正品， 5 件次品，从中任取3 件，求： 1）恰有 1 件次品的概率； （2）至少有1 件次品的概率 . 22袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.(1)摸出2个或3个白球(2)至少摸出一个黑球. 236个人坐在一排10个座位上 ,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? (3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种? 24. 已知 8 支球队中有3 支弱队 ,以抽签方式将

12、这8 支球队分为A、 B 两组 ,每组 4 支.求：（） A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（） A 组中至少有两支弱队的概率. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 答案与点拨：1 B 解： 依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3 个数字都是奇数，有33A种方法（ 2）3 个数字中有一个是奇数，有1333C A，故共有33A1333C A24 种方法，故选B 2 B 解： 从全部方案中减去只选派男生的方案数

13、，合理的选派方案共有3374AA=186 种，选 B. 3 D 解： 有两种情况，一是在两个城市分别投资1 个项目、 2 个项目，此时有123436CA种方案，二是在三个城市各投资1 个项目，有3424A种方案，共计有60 种方案，选D. 4 B 解： 不同排法的种数为5256A A3600，故选 B 5 A 解： 依题意，各层次数量之比为4 3 2 1，即红球抽4 个，蓝球抽3 个，白球抽2 个，黄球抽一个，故选A6 C 解： 在正方体上任选3 个顶点连成三角形可得38C=56 个三角形，要得等腰直角三角形共有64=24 个（每个面内有 4 个等腰直角三角形） ，得3824C，所以选 C。7

14、.C8.B9.A 10 B提示：将 1,2，3， , ， 9 平均分成三组的数目为33396333280C C CA,又每组的三个数成等差数列,种数为 4,所以答案为B11.D12.B13 2311234212 3C C A，其中(1,1)重复了一次14. 2400 解： 先安排甲、乙两人在后5 天值班，有25A=20 种排法，其余5 人再进行排列，有55A=120 种排法，所以共有 20 120=2400 种安排方法。15. 48 解： 分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种； 中间 4 个为不同的商业广告有A44种， 从而应当填A22 A4448. 从而应填 4816.解： 在一个小组中

15、有8 名女同学和4 名男同学，从中任意地挑选2 名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是28212CPC3314. 17.3618.9 19 解： （I）设 A 表示事件 “ 抛掷 2 次，向上的数不同” ，则6 55().666P A答：抛掷 2 次，向上的数不同的概率为5.6（II ）设 B 表示事件 “ 抛掷 2 次，向上的数之和为6” 。向上的数之和为6 的结果有(1,5)、(2, 4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5 种，55( ).6 636P B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

16、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 答：抛掷 2 次，向上的数之和为6 的概率为5.3620解由图形特征分析， a0,开口向上， 坐标原点在内部f(0)=c0;a0,开口向下， 原点在内部f(0)=c0,所以对于抛物线y=ax2+bx+c 来讲，原点在其内部af(0)=ac0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a 和c，再确定 b,故满足题设的抛物线共有C13C14A22A16=144 条21. 解 （1）从 20 件产品中任取3 件的取法有320C，其中恰有1 件次品的取法为15215CC。恰有一件次品的概率P=76353

17、2015215CCC. (2) 法一从 20 件产品中任取3 件，其中恰有1 件次品为事件A1, 恰有 2 件次品为事件A2， 3 件全是次品为事件 A3, 则它们的概率P(A1)= 32015215CCC=228105,2282)(320115252CCCAP,2282)(320353CCAP, 而事件 A1、A2、A3彼此互斥，因此3 件中至少有1件次品的概率P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 228137. 法二 记从 20 件产品中任取3 件， 3 件全是正品为事件A，那么任取3 件，至少有1 件次品为A，根据对立事件的概率加法公式P(A)=2281371)(

18、1320315CCAP22.解：（）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件,A B，则73)(,73)(481325482325CCCBPCCCAP,A B为两个互斥事件6()( )( )7P ABP AP B即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76（）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则45481( )14CP CC至少摸出一个黑球为事件C的对立事件其概率为1413141123解：6个人排有66A种 , 6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位. (1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有4735C种插法，故空位不相邻的坐法有646725200A C种。(

19、2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 有27A种插法 ,故4个空位中只有3个相邻的坐法有626730240A A种。(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：4个空位各不相邻有47C种坐法 ; 4个空位2个相邻，另有2个不相邻有1276C C种坐法 ; 4个空位分两组 ,每组都有2个相邻 ,有27C种坐法 . 24. 解： （）解法一：三支弱

20、队在同一组的概率为.7148154815CCCC故有一组恰有两支弱队的概率为.76711解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523CCCCCC（）解法一：A组中至少有两支弱队的概率21481533482523CCCCCC解法二： A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和 B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为.21排列组合题型拓展一、涂色问题1、引例： 引例 1(2001 年全国高中数学联赛第12 题)在一个正六边形的6 个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则

21、有 _种栽种方案引例 2(2003 年全国高考新课程卷理工第15 题 )某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图） ，现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种 （以数字作答）引例 2分析：首先栽种第1 部分，有14C种栽种方法；然后问题就转化为用余下3 种颜色的花， 去栽种周围的5 个部分（如右图所示），此问题和引例1 是同一题型， 因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。2、剖析为了深入探讨这一题型的解法，（1）让我们首先用m（m3）种不同的颜色（可供选择），去涂 4 个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不

22、同颜色），如图所示以 1 和 3（相间）涂色相同与否为分类标准：1 和 3 涂同一种颜色，有m 种涂法； 2 有 m1 种涂法， 4 也有 m1 种涂法，共有(1) (1)mmm种涂法。1 和 3 涂不同种颜色，有2mA种涂法； 2 有 m2 种涂法， 4 也有 m2 种涂法，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 共有2(2) (2)mAmm种涂法。综合和，共有(1)(1)m mm+2(2)(2)mA mm432463

23、mmmm种涂法。（）下面来分析引例1(2001 年全国高中数学联赛第12 题) 在一个正六边形的6 个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案以 A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准：A、C、E 栽种同一种植物，有4 种栽法； B、D、F 各有 3 种栽法， 共有433 3108 种栽法。B、D、 F共有 32 2 种栽法（：若A、C 栽种同一种植物，则B 有 3 种栽法， D、F 各有 2 种栽法）， A、C、E 种 3 种植物，有34A栽法； B、D、F 各有 2 种栽法，共有34A222192 种栽法。综

24、合、，共有108+432+192=732 种栽法。（）上述 (1)、(2)给出了“设一个圆分成P1，P2，, ， Pn，共 n（n 为偶数）个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（ m3，n3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的一般解题思路：即 以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。（4） 那么， “设一个圆分成P1，P2，, ， Pn，共 n（n 为奇数）个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m3，n3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的解题思路又

25、如何呢？分析：对扇形 P1有 m 种涂色方法，扇形 P2有 m1种涂色方法，扇形 P3也有 m1 种涂色方法，,扇形 Pn也有 m1 种涂色方法于是，共有1(1)nmm种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现P1与 Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从1(1)nmm中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与 Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m 种颜色对n1（n1 为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。而用 m 种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（）中给出了解题思路。下面，就让我们把这种解题思路应用于引例 2(

26、2003 年全国高考新课程卷理工第15 题) 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分（如图） ，现要栽种 4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种 （以数字作答）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 分析：首先栽种第1 部分，有14C种栽种方法；然后问题就转化为用余下3 种颜色的花， 去栽种周围的5 个部分（如右图所示） ，对扇形 2 有 3 种栽种方法，扇形 3

27、有 2 种栽种方法，扇形 4 也有 2 种栽种方法，扇形 5 也有 2 种栽种方法，扇形 6 也有 2 种栽种方法于是，共有432种不同的栽种方法。但是，这种 栽种方法可能出现区域2 与 6 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从432中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2 与 6 看作一个扇形，其涂色方法相当于用3 种颜色的花对4 个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙） 。而用 3 种颜色的花对4 个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。综合和，共有141243332(221 1)4(4818)430120CCA种栽法。当然此式中的1233221 1CA18 也可以直接

28、用（1）中的公式算出：即432463mmmm432343633318 4、迁移练习1(2003 年全国高考新课程卷理工第15 题改编 ) 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分（如图） ，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5 种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_种；若要求5 种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有 _种（以数字作答）2(2001 年全国高中数学联赛第12 题改编 ) 在一个正六边形的6 个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种 植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种 栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有_种栽种方案 参考答案： 11200，600； 2 732，480 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -