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1、课时作业 49抛物线一、选择题1(2018云南昆明一中模拟)已知点F是抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A4 B3C2 D1解析：由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3，故选B.答案：B2(2018陕西高三质检(一)设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率e()A. B.C. D3解析：本题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率由题意得双曲线的一条渐近线方程为yx，代入抛物线方程，整理得ax2b
2、xa0，因为双曲线的渐近线与抛物线相切，所以b24a20，所以b24a2，所以c25a2，所以离心率e，故选B.答案：B3(2018湖南岳阳二模)若直线y2x与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A5p B10pC11p D12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x24pxp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，y1y29p，直线过抛物线的焦点，|AB|y1y2p10p，故选B.答案：B4(2018合肥二模)已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A B1C D解析：设M(x0，y0)，易知焦点为F，由抛
3、物线的定义得|MF|x02p，所以x0p，故y2pp3p2，解得y0p，故直线MF的斜率k，选A.答案：A5(2018甘肃省五掖市高三第一次考试)过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|()A.B.C5D.解析：p2，|AB|2.答案：D6(2018广东汕头一模，8)过抛物线C：x22y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|()A1 B2C3 D4解析：x22y，y，yx，抛物线C在点B处的切线斜率为1，B，抛物线x22y的焦点F的坐标为，直线l的方程为y，|AF|BF|1.故选A.答案：A7(
4、2018东北三省四市联考(一)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B.C. D.解析：本题考查抛物线的定义抛物线y2x2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是，又2p，则，即|PF|的最小值为，故选D.答案：D8(2018甘肃省五掖市高三第一次考试)已知抛物线y28x的焦点到双曲线E：1(a0，b0)的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是()A(1， B(1,2C，) D2，)解析：抛物线y28x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bxay0，由题知，化简得b23a2，又c2a2b2，c24a2，e2，又e1，e
5、(1,2答案：B9(2018广州毕业班测试(二)已知点A(4,4)在抛物线y22px(p0)上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则EAF的平分线所在的直线方程为()A2xy120 Bx2y120C2xy40 Dx2y40解析：本题考查抛物线的定义、直线的方程因为点A(4,4)在抛物线y22px(p0)上，所以168p，解得p2，所以抛物线的方程为y24x，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x1，E(1,4)由抛物线的定义可得|AF|AE|，所以EAF的平分线所在的直线就是线段EF的垂直平分线因为kEF2，所以EAF的平分线所在的直线的斜率为，所以所求方程为y4(x4)
6、，即x2y40，故选D.答案：D10(2017新课标全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14C12 D10解析：因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)4
7、（11k2)84（k2）84216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.答案：A二、填空题11(2018山西五校联考)抛物线x210y的焦点在直线2mxmy10上，则m_.解析：抛物线的焦点为，代入直线方程2mxmy10，可得m.答案：12(2018湖南省东部六校质检)已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为_解析：依题意，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以c1，又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1.答案：113(2017天津卷，12)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l
8、上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_解析：本题主要考查抛物线的几何性质，圆的方程由抛物线的方程可知F(1,0)，准线方程为x1，设点C(1，t)，t0，则圆C的方程为(x1)2(yt)21，因为FAC120，CAy轴，所以OAF30，在AOF中，OF1，所以OA，即t，故圆C的方程为(x1)2(y)21.答案：(x1)2(y)2114(2017山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得a2
9、y22pb2ya2b20， y1y2.又 |AF|BF|4|OF|， y1y24，即y1y2p， p，即， ， 双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx能力挑战15(2017新课标全国卷文科)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.