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1、课时作业 51证明、最值、范围、存在性问题1(2018四川成都高中毕业班第一次诊断检测)已知椭圆1的右焦点为F，设直线l：x5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点(1)若直线l1的倾斜角为，求ABM的面积S的值；(2)过点B作直线BNl于点N，证明：A，M，N三点共线解析：(1)由题意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线l1的倾斜角为，k1.直线l1的方程为yx1，即xy1.代入椭圆方程，可得9y28y160.y1y2，y1y2.SABM|FM|y1y2|.(2)设直线l1的方程为yk(x1)代入椭
2、圆方程，得(45k2)x210k2x5k2200，则x1x2，x1x2.直线BNl于点N，N(5，y2)kAM，kMN.而y2(3x1)2(y1)k(x21)(3x1)2k(x11)kx1x23(x1x2)5k0，kAMkMN.故A，M，N三点共线2(2018广东省五校高三第一次联考)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线xy10与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足t(其中O为坐标原点)，求实数t的取值范围解析：(1)由题意知，以椭
3、圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2，圆心到直线xy10的距离da.(*)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc，ac，代入(*)式得bc1，ab，故所求椭圆方程为y21.(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，设P(x0，y0)，将直线l的方程代入椭圆方程得(12k2)x28k2x8k220，64k44(12k2)(8k22)0，解得k2.设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x24).由t，得tx0x1x2，ty0y1y2，当t0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足t
4、，符合题意；当t0时，x0，y0.将上式代入椭圆方程得1，整理得t2，由k2知，0t2b0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点由e及a2c2b21可得a2，a2，b1.(2)存在由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)由题易知，直线l与x轴不
5、重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)代入C1的方程，整理得 (k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yp，点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)，(k，4)，k(1，k2)连接AP、AQ，依题意可知APAQ，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)4(2018东北三省四市联考)已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到直线xy20的距离是3.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：ykxm(k0)与该椭圆
6、交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为，求BOC面积的最大值解析：(1)由题意b1，右焦点(c,0)(c0)到直线xy20的距离为d3，c，又a2b2c2，a，又椭圆E的交点在x轴上，椭圆E的方程为y21.(2)设B(x1，y1)，C(x1，y2)，则联立直线l与椭圆方程有得(3k21)x26mkx3m230.又|BC|，平方得|BC|2，由O到直线l的距离为，得m2(k21)，代入式，得|BC|23，当且仅当k2时，9k26，|BC|有最大值2.(SBOC)max2，BOC的面积的最大值为.5(2018陕西省高三教学质量检测试题(一)已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左、右焦
7、点，点P(1，)在椭圆E上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解析：(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆E：1.将P(1，)代入可得b23，椭圆E的方程为1.(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时，；当AC的斜率k存在且k0时，AC的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AC|x1x2|.直线BD的斜率为，|BD|.综上，2，.故
8、存在常数，使得，成等差数列能力挑战6(2017山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解析：(1)由题意知e，2c2，所以a，b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k2)x24k1x10.由题意知0，且x1x2，x1x2，所以|AB| |x1x2| .由题意可知圆M的半径r为r|AB| .由题设知k1k2，所以k2，因此直线OC的方程为yx.联立方程得x2，y2，因此|OC| .由题意可知sin，而，令t12k，则t1，(0,1)，因此1，当且仅当，即t2时等号成立，此时k1，所以sin，因此，所以SOT的最大值为.综上所述：SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1.