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1、圆锥曲线复习题一、联立直线与曲线方程，直接利用韦达定理这种问题主要是联立直线与曲线方程，产生韦达定理，把条件转化为韦达定理的应用，从而解决问题。比方以下这几个条件都是转化为韦达定理的常见类型：以弦AB为直径的圆过原点(或某个定点)即为直角(有时候会转化为锐角、钝角)等等，请同学注意总结补充。 1、定点F1，0，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且1动点N的轨迹方程；2线l与动点N的轨迹交于A，B两点，假设，求直线l的斜率k的取值范围.解:1设动点N的坐标为x,y，那么 ，因此，动点的轨迹方程为 2设l与抛物线交于点Ax1,y1,B(x2,y2)，当l与x轴垂直时，
2、那么由， 不合题意，故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k0),那么由由点A，B在抛物线又y2=4x, y=kx+b得ky24y+4b=0,所以因为解得直线l的斜率的取值范围是. 2、如图、椭圆的一个焦点是F1，0，O为坐标原点.椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；设过点F的直线l交椭圆于A、Bl绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.解：()设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形， 所以,即1 因此，椭圆方程为 ()设()当直线 AB与x轴重合时， ()当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：整理得所以因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即
3、恒成立. 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0,解得a或a,综合i(ii)，a的取值范围为，+.3、曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为41求曲线的方程；2设过的直线与曲线交于、两点，且为坐标原点，求直线的方程解：1根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，那么 所以动点M的轨迹方程为 2当直线的斜率不存在时，不满足题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， ， 由方程组得那么，代入，得即，解得，或所以，直线的方程
4、是或 4、椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为求椭圆的标准方程；假设直线与椭圆相交于，两点不是左右顶点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解： (I)由题意设椭圆的标准方程为， (II)设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点， ，解得，且满足.当时，直线过定点与矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为5、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和I求的取值范围；II设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由解：由条件，直
5、线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为设，那么，由方程，又而所以与共线等价于， 将代入上式，解得由知或，故没有符合题意的常数二、弦长、面积的问题这类问题比拟明了，注意求面积的根本方法之一：面积分割，求面积的最值一般是建立有关变量k的函数关系，通过研究函数的最值求面积的最值(利用均值不等式很常见)。弦长公式：其中1、椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.求P点坐标；求证直线AB的斜率为定值；求PAB面积的最大值.解：由题可得，设那么，点在曲线上，那么，从而，得.
6、那么点P的坐标为.由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，那么BP的直线方程为：.由得 ，设，那么，同理可得，那么，.所以：AB的斜率为定值.设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为，那么。当且仅当取等号三角形PAB面积的最大值为。2、椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.解：设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为设，1当轴时，2当与轴不垂直时，设直线的方程为由，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面
7、积取最大值3、椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为设点的坐标为，证明：；求四边形的面积的最小值解：椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，那么，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为4、双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。 1求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设，求面积的取值范围。方法一 解由题意知，双曲线C的
8、顶点0，a到渐近线，所以所以由所以曲线的方程是由知双曲线C的两条渐近线方程为设由将P点的坐标代入因为又所以记那么由又S1=2，当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值所以面积范围是方法二由题意知，双曲线C的顶点0，a到渐近线，由所以曲线的方程是.设直线AB的方程为由题意知由由将P点的坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点，那么Q点的坐标为0，m=.三、对称问题涉及到弦的垂直平分线问题 这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比方：求L在x轴y
9、轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比拟隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比方：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形即D在AB的垂直平分线上、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。1、抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，那么|AB|等于解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，由弦长公式可求出2、椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为求椭圆的标准方程；点和直线：，线段是椭圆的一条弦且直线垂直平分弦，求实数的值解：；由条件可得直线的方程为于是，有，设弦的中点为，那么由中点坐标公式得，由此及点在直线得3、倾斜角为a的
10、直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；假设a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。解：设抛物线的标准方程为，那么，从而因此焦点的坐标为2，0.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。设，直线AB的斜率为，那么直线方程为。将此式代入,得，故。记直线m与AB的交点为，那么，故直线m的方程为.令y=0,得P的横坐标故。从而为定值。O1xy4、某学生在平面直角坐标系内画了一系列直线，和以原点O为圆心为半径的圆，他发现这些直线和对应同一t值的圆的交点形成的轨迹很熟悉，然后又取长度为2的线段
11、AB不与x轴垂直，使AB的两端点在此轨迹上滑动，并记线段AB的垂直平分线与x轴的交点1求上述交点的轨迹方程；2求的取值范围解：1直线方程，圆的方程，消t即得轨迹E的方程为2显然AB不与y轴垂直，设AB所在直线方程为代入得设，由韦达定理得又，A、B中点为，线段AB的垂直平分线为：令y=0得，所以等号不成立，故的取值范围是5、设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。解：两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是轴的平行线，依题意不同时为0上述条件等价于上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点。设在轴
12、上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程得 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的中点的坐标为，那么，由，得，于是即得在轴上截距的取值范围为6、设、分别是椭圆的左、右焦点. 假设P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； 是否存在过点A5，0的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？假设存在，求直线l的方程；假设不存在，请说明理由. 解：易知，设Px，y，那么， ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 假设存在满足条件的直线l易知点A5，0在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，
13、所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为 由方程组依题意 当时，设交点C，CD的中点为R，那么又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 7、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N0，3到椭圆上的点最远距离为1求此时椭圆G的方程；2设斜率为kk0的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P0，、Q的直线对称？假设能，求出k的取值范围；假设不能，请说明理由解：1根据椭圆的几何
14、性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中即椭圆方程可为，Hx,y为椭圆上一点，那么，那么有最大值，舍去，所求椭圆方程为2设，那么由 两式相减得又直线PQ直线m 直线PQ方程为将点Q代入上式得，由得Q，Q点必在椭圆内部，由此得故当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称上题用判别式大于零来构建不等式也是常见方式。8、椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。I求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；II设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：I圆过点O、F，圆心M在直线上。设那么圆半
15、径由得解得所求圆的方程为II设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点那么的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为9、椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且求椭圆的离心率；直线AB的斜率；设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。解 1由，得,从而，整理得，故离心率2由1知，所以椭圆的方程可以写为设直线AB的方程为即由设那么它们的坐标满足方程组 消去y整理，得依题意，而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得.(3)由2知，当时，得A由得线段的垂直平
16、分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故当时，同理可得.10、，椭圆C以过点A1，两个焦点为1，01，0。（1） 求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 解 由题意，c1,可设椭圆方程为。 因为A在椭圆上，所以，解得3，舍去。所以椭圆方程为 证明 设直线方程：得，代入得 设，因为点1，在椭圆上，所以， 。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得， 。所以直线EF的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值为。 四、分比
17、问题这类问题主要是研究过一个定点P作直线与曲线产生两个交点AB，进而研究P分两个交点AB所成的比例关系。往往是两种形式出现，一种是以比例：，一种是向量：，有时候是求直线方程，有时候是求分比的值或取值范围等等，这种问题主要是抓住分比与坐标的关系，判断在联立方程时应该消去，以减少运算量，然后把问题转化到韦达定理的应用上。1、如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.求的值；求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？假设直线l过点E2，0交中曲线C于M、N两点，且，求l的方程.解：由得 ， 设P点坐标为x，yx0，由得 消去m，n可得，又因， P点的轨迹方程为它表示以
18、坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支。解法1：设直线l的方程为，将其代入C的方程得即 易知否那么，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意设，那么l与C的两个交点在轴的右侧：，即 又由同理可得 由得：由得由得消去得 解之得： ，满足 故所求直线l存在，其方程为：或 解法2：设直线l方程为：，设又l过点E2，0交中曲线C于M、N两点，且，那么有：，所求l方程为：或。2、给定抛物线C:,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点1求的值；2设=，当三角形OAB的面积S2，求的取值范围.解：1根据抛物线方程，可得F1，0，设直线l的方程为x=my+
19、1，将其与C的方程联立，消去x得，设A，B的坐标分别为，.那么.因为，所以 故 . 2因为 所以.即，又 ， 由、消去后，得，将其代入注意到0，解得. 从而可得， .故三角形OAB的面积S =|OF|，因为2恒成立. 所以只要解即可，解得.3、设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点. I证明：； II假设的面积取得最大值时的椭圆方程.I解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故将，得 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得，即 II解：设由，得因为，代入上式，得 于是，OAB的面积 其中，上式取等号的条件是由将这两组值分别代入，均可解出所以，OAB的面积取得最大值的
20、椭圆方程是4、圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I求曲线E的方程；II假设过定点F0，2的直线交曲线E于不同的两点G、H点G在点F、H之间，且满足，求的取值范围.解：1NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|又动点N的轨迹是以点C1，0，A1，0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为 2当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设 ，又当直线GH斜率不存在，方程为 5、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.1求椭圆C 的标准方程；2过椭圆C 的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，假设， ，求证：.解
21、：设椭圆C的方程为 抛物线方程化为，其焦点为， 那么椭圆C的一个顶点为，即 由，椭圆C的方程为 2证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为 ，代入方程 并整理，得， 又，而 ， ，即，所以 6、点的坐标分别是，直线相交于点M，且它们的斜率之积为1求点M轨迹的方程；2假设过点的直线与1中的轨迹交于不同的两点、在、之间，试求与面积之比的取值范围为坐标原点解：1设点的坐标为， 整理，得， 2如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为将代入，整理，得，由，解得设，那么令，且且，解得且 ，且故OBE与OBF面积之比的取值范围是7、椭圆的方程为双曲线的两条渐近线为和，过椭圆的右焦点作直线，使得于
22、点，又与交于点，与椭圆的两个交点从上到下依次为如图.(1)当直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；(2)设，证明：为常数. 解：1由，解得:， 所以椭圆的方程是:. 2解法1：设由题意得: 直线的方程为: ,直线的方程为: , 那么直线的方程为: ,其中点的坐标为; 由 得: ,那么点; 由 消y得:,那么; 由得:,那么:,同理由得:, 故为常数. 解法2：过作轴的垂线，过分别作的垂线，垂足分别为， 由题意得: 直线的方程为: ,直线的方程为: , 那么直线的方程为: ,其中点的坐标为; 由 得: ,那么直线m为椭圆E的右准线; 那么: ,其中e的离心率; , 故为常数. 8、给
23、定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线L与C相交于A、B两点。设L的斜率为1，求与的夹角的余弦值；设，假设4,9，求L在y轴上截距的变化范围.答案：(1) (2)五、求轨迹方程问题1、1一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。2双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。解：1法一设动圆圆心为，半径为，设圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，当与相切时，有 当与相切时，有 将两式的两边分别相加，得，即 移项再两边分别平方得： 两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆法二由解法一可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和
24、的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，圆心轨迹方程为。2如图，设点坐标各为，在双曲线方程中，双曲线两焦点为，存在，由三角形重心坐标公式有，即 。，。点在双曲线上，将上面结果代入曲线方程，有即所求重心的轨迹方程为：。2、椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解：1设椭圆G的方程为： 半焦距为c; 那么 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为 3假设，由可知点6，0在圆外， 假设，由可知点-6
25、，0在圆外； 不管K为何值圆都不能包围椭圆G.3、在平面直角坐标系xOy中，点P到点F3，0的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 求点P的轨迹C；设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解：设点P的坐标为x，y，那么3x-2由题设 当x2时，由得 化简得 当时 由得化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧局部与抛物线在直线x=2的左侧局部包括它与直线x=2的交点所组成的曲线，参见图1如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A2，B2，直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，
26、由知 假设直线l的斜率k存在，那么直线l的方程为i当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M，N，都在C 上，此时由知MF= 6 - NF= 6 - 从而MN= MF+ NF= 6 - + 6 - =12 - ( +)由 得 那么，是这个方程的两根，所以+=*MN=12 - +=12 - 因为当 当且仅当时，等号成立。2当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，那么知， 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以。而点A，E都在上，且 有1知 假设直线的斜率不存在，那么=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为.六、定点、定值问题1、椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭
27、圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为求椭圆的标准方程；假设直线与椭圆相交于，两点不是左右顶点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解： (I)由题意设椭圆的标准方程为， (II)设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为2、抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且0过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为证明为定值；设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值解：()由条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y
28、)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 4分所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为07分()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()
29、3，由2知S4，且当1时，S取得最小值43、如题图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；假设a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。解：设抛物线的标准方程为，那么，从而因此焦点的坐标为2，0.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。答21图解法一：如图21图作ACl，BDl，垂足为C、D，那么由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，那么|FA|AC|解得，类似地有，解得。记直线m与AB的交点为E，那么所以。故。解法二：
30、设，直线AB的斜率为，那么直线方程为。将此式代入,得，故。记直线m与AB的交点为，那么，故直线m的方程为.令y=0,得P的横坐标故。从而为定值。4、椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. 1求椭圆的离心率； 2设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解：设椭圆方程为那么直线AB的方程为化简得.令那么 共线，得又即，故离心率为II证明：由I知，所以椭圆可化为.设，由得在椭圆上，即 由I知又又，代入得 故为定值，定值为15、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. 1假设M为定点，证明：直线EF的
31、斜率为定值； 2假设M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹解：1设My,y0，直线ME的斜率为k(l0)那么直线MF的斜率为k，方程为由，消解得(定值)所以直线EF的斜率为定值2直线ME的方程为由得同理可得设重心Gx, y，那么有消去参数得6、双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是I证明，为常数；II假设动点满足其中为坐标原点，求点的轨迹方程解：由条件知，设，I当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，此时当不与轴垂直时，设直线的方程是代入，有那么是上述方程的两个实根，所以，于是综上所述，为常数II解法一：设，那么，由得：即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在
32、双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是解法二：同解法一得当不与轴垂直时，由I 有由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是ABxyNCO7、在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于两点I假设点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；II是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在，求出的方程；假设不存在，说明理由此题不要求在答题卡上画图NOACByx解法1：依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得由韦达定理得，于是，
33、当时，假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，NOACByxl那么，点的坐标为，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线解法2：前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得从而，当时，假设满足条件的直线存在，其方程为，那么以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，那么设直线与以为直径的圆的交点为，那么有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线8、如题21图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；假设为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明
34、为定值，并求此定值解：I设抛物线的标准方程为，那么，从而因此焦点的坐标为，又准线方程的一般式为从而所求准线的方程为II解法一：如答21图作，垂足分别为，那么由抛物线的定义知，记的横坐标分别为，那么，解得类似地有，解得记直线与的交点为，那么所以故解法二：设，直线的斜率为，那么直线方程为将此式代入得，故记直线与的交点为，那么，故直线的方程为，令，得点的横坐标，故从而为定值9、动圆过定点，且与直线相切，其中.I求动圆圆心的轨迹的方程；II设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解：I如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的
35、垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；II如图，设，由题意得否那么且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知1当时，即时，所以，所以由知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点2当时，由，得=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由12知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.七、最值和取值范围问题1、设,在平面直角坐标系中,向量,向量,动点的轨迹为E.1求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 2,证明:存在圆心在原点的圆
36、,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3),设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解：1因为,所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 那么使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求
37、的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1, 由2知, 即 ,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由2知得,即有唯一解那么=, 即, 由得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 由 中,所以, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.2、直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与
38、直线分别交于两点I求椭圆的方程；求线段MN的长度的最小值；当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？假设存在，确定点的个数，假设不存在，说明理由解： 方法一I由得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设那么得，从而 即又由得故又 当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值由可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线那么由解得或 3、点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值解：(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,那么即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上那么即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段A