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1、请学生考前做一遍江苏省高考数学模拟题( 压题卷 ) 一、填空题1已知函数31xxy的最大值为 M，最小值为 m，则mM的值为2 2已知函数)(log2xaxya在区间 2，4上是增函数，则实数a 的取值范围是), 1(3 已知点 O 为ABC 的外心，且4AC，2AB， 则 A O B C的值等于6 4 已 知a，b是 平 面 内 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 若 向 量c满 足0)()(cbca，则 c 的最大值是2 5若43)(2xxxf，6, 3x，则对任意6, 30 x，使0)(0 xf的概率为956. 已知2nx，函数xx22cos4sin1的最小值是8 . 7.
2、当 x(1，3)时，不等式 x2+mx+40 恒成立，则 m 的取值范围是(- ，- 5 . 8已知 F1、F2分别是椭圆12222byax，)0(ba的左、右焦点，以原点O 为圆心， OF1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于 A、B 两点，若 F2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于13二、三角、立几、概率题1 已知在 ABC 中，a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边，向量(cos ,sin)mAA ，(cos ,sin)nBB ，3sincosm nBC (1)求角 A 的大小；(2)若 a=3，求 ABC 面积的最大值解：(1)coscossinsinm nABAB，又3s
3、incos()m nBAB3sincoscossinsinBABAB ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页3 s i n2 s i nsi nBBA，3sin2A，3A或23A(2)2222cosabcbcA，当3A时，229bcbcbc，1393s i n244sb cAb c；当23A时，2293bcbcbc，故3bc，13 3sin24SbcA2如图，四边形 ABCD 为矩形，BC平面 ABE，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE(1)求证： AEBE；(2)设点 M 为线段 AB 的中点，点 N 为线
4、段 CE 的中点，求证：MN /平面 DAE解：(1)因为 BC平面 ABE，AE平面 ABE，所以 AEBC，又 BF平面 ACE，AE平面 ACE，所以 AEBF，又 BFBC=B，所以 AE平面 BCE，又 BE平面 BCE，所以 AEBE(2)如图所示，取 DE 的中点 P，连结 PA，PN，因为点 N 为线段 CE 的中点所以 PN/DC，且12PNDC，又四边形 ABCD 是矩形，点 M 为线段 AB 的中点，所以 AM/DC，且12AMDC，所以 PN/AM， 且 PN=AM， 故 AMNP 是平行四边形，所以 MN/AP，而 AP平面 DAE，MN平面 DAE，所以 MN/平面
5、 DAE3从一副扑克牌的红桃花色中取5 张牌，点数分别为1，2，3，4，5 甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌， 记下点数 如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜(1)求甲胜且点数的和为6 的事件发生的概率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页(2)这种游戏规则公平吗？说明理由解：(1)设“ 甲胜且点数的和为6” 为事件 A，甲的点数为 x，乙的点数为 y，则(x，y)表示一个基本事件，两人取牌结果包括(1，1)，(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(5，4)，(5，5)
6、共 25 个基本事件； A 包含的基本事件有 (1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共 5 个，所以 P(A)=525=15所以，编号之和为6 且甲胜的概率为15(2)这种游戏不公平设“ 甲胜” 为事件 B，“ 乙胜” 为事件 C 甲胜即两个点数的和为偶数，所包含基本事件数为以下13 个：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)；所以甲胜的概率为P(B)=1325；乙胜的概率为P(C)=1-1325=1225，P(B) P(C)，这种游戏规则不公平三、解析几何题
7、1已知过点( 1,0)A的动直线l与圆22:(3)4C xy相交于,P Q两点，M是PQ中点，l与直线:360m xy相交于N(1)求证：当l与 m垂直时，l必过圆心C; (2)当2 3PQ时，求直线l的方程 ; (3)探索 AMAN 是否与直线l的倾斜角有关 ?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由解：(1)l与 m垂直，且11,3,3mkk故直线l方程为3(1),yx即330.xy圆心坐标（ 0，3）满足直线l方程，当l与 m垂直时，l必过圆心C(2)当直线l与 x轴垂直时，易知1x符合题意当直线l与 x轴不垂直时，设直线l的方程为(1),yk x即0kxyk，2 3,431PQCM，则由
8、2311kCMk，得43k，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页直线:4340.lxy故直线l的方程为1x或4340.xy(3),().CMMNAMANACCMANAC ANCMANAC AN当l与 x轴垂直时，易得5( 1,),3N则5(0,),3AN又(1,3)AC，5AM ANAC AN当l的斜率存在时，设直线l的方程为(1),yk x则由(1),360,yk xxy得365(,),1313kkNkk则55(,).1313kANkk5155.1313kAMANAC ANkk综上所述， AM AN 与直线l的斜率
9、无关，且5AM AN2已知 A、B 是椭圆2214xy的左、右顶点，直线( 22)xtt交椭圆于 M、N 两点，经过 A、M、N 的圆的圆心为1C ，经过 B、M、N 的圆的圆心为2C (1)求证12C C为定值；(2)求圆1C 与圆2C 的面积之和的取值范围解：(1)由题设 A（-2，0） ，B（2，0） ，由2214xtxy，解出22( , 1),( ,1)44ttM tN t设1122(,0),(,0)C xCx，由22112()14txtx解出13(2)8tx同理，2222()14txxt解出23(2)8tx，122132C Cxx(定值)(2)两圆半径分别为131028tx及2103
10、28tx，两圆面积和222(310)(103 )(9100)6432Sttt，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页所以 S 的取值范围是257,843已知圆221:(1)16Fxy，定点2(1 ,0),F动圆过点2F ，且与圆1F 相内切(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)若过原点的直线l与 （1） 中的曲线 C 交于 A， B 两点， 且1ABF 的面积为32，求直线l的方程解：(1)设圆 M 的半径为 r ，因为圆M与圆1F 内切，所以2MFr ，所以124MFMF ，即124MFMF所以点 M 的轨迹 C
11、 是以12,F F 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221(0)xyabab，其中24,1ac，所以2,3ab所以曲线C的方程22143xy(2)因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，112ABFAOFSS因为132ABFS，所以134AOFS不妨设点11(,)A x y在 x 轴上方， 则1111324AOFSOFy， 所以113,32yx，即：A 点的坐标为3( 3,)2或3(3,)2，所以直线l的斜率为12，故所求直线方程为20 xy4已知圆 C 的圆心在抛物线22(0)xpy p上运动，且圆C 过(0,)Ap点，若MN 为圆 C 在 x轴上截得的弦 . (1)求弦长MN；精选学习资
12、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页(2)设12,AMlANl ，求1221llll的取值范围解：(1)设00(,)C xy，则圆 C 的方程为：22220000()()()xxyyxyp令0y，并由2002xpy ，得2220020 xx xxp，解得1020,xxp xxp 从而212MNxxp ，(2) 设MAN，因为21211sin22MANSllOA MNp，所以21 22sinpl l，因为 l12+l22- 2 l1 l2cos =4p2，所以 l12+l22=)tan11(4cossin44222ppp.所以2
13、2212122211 214(1)sintan2(sincos )22sin(45 )2plllllll lp因为0090，所以当且仅当45时，原式有最大值2 2 ，当且仅当90时，原式有最小值为2，从而1221llll的取值范围为 2,22 四、导数题1 汶川大地震后，为了消除某堰塞湖可能造成的危险，救授指挥部商定，给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽（如图所示）进行引流，已知等腰梯形的下底与腰的长度都为a ，且水槽的单位时间内的最大流量与横载面的面积为正比，比例系数0k(1)试将水槽的最大流量表示成关于的函数( )f；(2)为确保人民的生命财产安全，请你设计一个方案，使单位时间内水
14、槽的流量最大（即当为多大时，单位时间内水槽的流量最大）解：(1)设水槽的横截面面积为s，则21(2 cos )sinsin(1cos ).2saaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页所以2( )sin(1cos ),(0,).2fksa k(2)因为22( )(2coscos1)fa k，令( )0f，则22coscos10解得1cos2或cos1，由02知cos1，所以1cos,.23当03时，( )0f，即( )f在(0,)3上递增，当32时，( )0f，即( )f在(,)32上递减，所以当3时，水槽的流量
15、最大，即设计成3的等腰梯形引水槽，可使单位时间内水槽的流量最大2某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m(1)过点p的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B两点，且与走廊的一边的夹角为(0)2， 将线段AB的长度l表示为的函数；(2)一根长度为 5m 的铁棒能否水平 （铁棒与地面平行） 通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计） 解：(1)根据图得22( ),(0,).sincos2lBPAP(2)解法 1：铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：22( )()()sincosl220 sin2 cos0 cos2 sinsincos22222(sincos).sincos令( )
16、0l得，4当04时，( )0, ( )ll为减函数；当42时，( )0, ( )ll为增函数；所以当4时，( )l有最小值 4 2 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页因为 4 25，所以铁棒能水平通过该直角走廊解法 2：铁棒能水平通过该直角走廊，理由如下：22222(sincos )4(12sincos ) ( )sincossincosl224814(1)4(sincos )sincossincos224(1)4sin 2，因为(0,)2，所以2(0,)，所以当2,24时，2sin 2有最小值 2所以2 ( )
17、l有最小值 32，( )l有最小值 4 2 ，因为 4 25，所以铁棒能水平通过该直角走廊3已知函数2( )4(2)lnf xxxax ，(Ra，且0a)(1)当18a时，求函数( )f x的单调区间；(2)求函数( )f x在区间2e,e 上的最小值解：(1)当18a时2( )416ln(0)f xxxx x，162(2)(4)( )24.xxfxxxx由( )0fx，解得4x或20.x注意到0 x，所以函数( )f x的单调递增区间是(4,).由( )0fx，解得04x或2x，注意到0 x，所以函数( )f x的单调递减区间是(0,4).综上所述，函数( )f x的单调递增区间是(4,)，
18、单调递减区间是(0,4).(2)当2e,e x时，2( )4(2)ln,f xxxax22242( )24axxafxxxx，设2( )242g xxxa ，当0a时，有1642(2)80aa，此时( )0g x恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页所以( )0,( )fxf x在2e,e 上单调递增，所以2min( )(e)e4e2.f xfa当0a时，1642(2)80aa，令( )0fx，即22420 xxa，解得212ax或212ax；令( )0fx，即22420 xxa，解得2211.22aax当22
19、1e ,2a即222(e1)a时( )f x在区间2e,e 上单调递减，所以242min( )(e )e4e42f xfa ；当22e1e2a，即2222(e 1)2(e1)a时，( )f x在区间2e,12a上单调递减，在区间221,e 2a上单调递增，所以min22( )(1)23(2)ln(1)222aaaf xfaa；当21e2a，即202(e1)a时，( )f x在区间2e, e 上单调递增，所以2min( )(e)e4e2.f xfa综上所述，当222(e1)a时，42min( )e4e42f xa ；当2222(e 1)2(e1)a时，min2( )23(2)ln(1)22aaf
20、 xaa；当0a或202(e 1)a时，2min( )e4e2.f xa4函数3( )3f xxx(1)求函数( )f x的极值；(2)已知( )f x在 ,2t t上是增函数，求 t的取值范围；(3)( )f x在 ,2t t上最大值M与最小值 m 之差Mm为( )g t，求( )g t的最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页值解：(1)2( )33fxx，令( )0fx，1x，x(, 1)1( 1,1)1 (1,)( )fx+ 0 0 + ( )f x2 - 2 所以，( )f x极大=( 1)2f，( )f
21、x极小=(1)2.f(2)( )fx在 ,2t t上是增函数，必须有21t或1t，所以 t 的取值范围是 (- ,-3 1，).(3)当3t时，( )mf t，(2)Mf t，2( )6122g tMmtt，令(2)( )f tf t，261220tt，613t，当6313t时，( )mf t，2M，3( )32g ttt，当6113t时，(2)mf t，2M，32( )69g tttt ，当6113t，2m，( )Mf t，3( )32g ttt，当6113t时，2m，(2)Mf t，32( )694g tttt，当1t时，( )mf t，(2)Mf t，2( )6122g ttt精选学习资
22、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页233233226122(3),632( 31),3669( 11),3( )632( 11),36694( 11),36122(1),ttttttttttg ttttttttttt( )g t最小值为662 6( 1)( 1)2339gg五、数列题1已知等差数列 AN的首项为 a，公差为 b，等比数列 BN的首项为 b，公比为a，其中 a,b都是大于 1 的正整数，且 a1b1，b23时 ， 关 于x的 方 程( )f xm的 解 集 为28|l o g2ammx x或3logaxm4已
23、知函数12( )3, ( )( ,f xaxg xbxcxa bR）且1()(1)(0)2ggf(1)试求,b c所满足的关系式；(2)若0b，方程( )( )f xg x在(0,)有唯一解，求 a的取值范围；(3)若1b，集合|( )( ),( )0Axf xg x g x，试求集合 A；解：(1)由1()(1)(0)2ggf，得( 24 )()3bcbc, ,b c所满足的关系式为10bc(2)由0,10bbc，可得1c，方程( )( )f xg x，即23axx，可化为133axx，令1xt，则由题意可得，33att在(0,)上有唯一解令3( )3(0)h tttt，由2( )330h
24、tt，可得1t，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页当01t时，由( )0h t，可知( )h t是增函数；当1t时，由( )0h t，可知( )h t是减函数，故当1t时，( )h t取极大值 2；由函数( )h t的图象可在，当2a或0a时，方程( )( )f xg x有且仅有一个正实数解故所求 a的取值范围为2a a或0a(3)由1,10bbc，可得0c，|( )( )Axf xg x且1( )0|3g xx axx且20|310 xx axx且0 x, 当0a时，394(,0)2aAa; 当0a时，1(,0
25、)3A；当94a时，(940),(,0)aA; 当94a时，|0Ax x且23x; 当904a时，394394(,)(,0)22aaAaa5已知( )1(0,0)f xA xBx AB(1)求( )f x的定义域；(2)求( )f x的最大值和最小值；(3)若( )11(0)g xmxnx mn，如何由 (2)的结论求 g(x)的最大值和最小值解：(1)( )f x的定义域为 0，1(2)222222( )(1)ABf xABxxABAB, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页设22cos,cos,(0,),2Ax
26、AB22sin, 1sinBxAB, 则22( )cos(),f xAB当时，2220,1AxAB，此时( )f x最大值为22AB ，又cos()在2220,AAB递增，在222,1AAB递减，( )f x的最小值是(0)f与(1)f的较小者，即 A 与 B 的较小者(3)设111()xtnmm，1 1,0,1,xtm n则1111( )( )()()(1)g xk tmtntnmnm, 由(2)知 g(x)的最大值为1111()()mnmnnmnmnm, 最小值为11()mnm和11()nnm的较小者，即1nm6已知2( )log,f xx 当点( , )M x y在( )yf x的图象上
27、运动时，点( ,)N x ny在函数( )nygx 的图象上运动()nN(1)求( )nygx 的解析式 ; (2)求集合Aa关于 x的方程12(2)()g xgxa 有实根，Ra; (3) 设( )1( )( )2ngxnHx， 函 数11( )( )( ),(0)F xHxg xaxb的 值 域 为1,3 ,2求证：1,22ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页解：(1)由条件知( )( )nyfxnygx，又22( )log( )lognf xxgxnx (2)方程12(2)()g xgxa 即2xxa,
28、求集合A就是求方程2xxa有实根时 a 的范围而21992(2)244axxx, 94a时原方程总有实根，9,4A, (3)2log2111( )( )( )log,(0)2nxnnHxF xxaxbxx, 又211( )0,( )ln 2FxF xxx在, a b 上递减 , ( )31( )2F aF b,即2213log11log2aabb, 由1ytx与2logyx的图象只有唯一交点知：方程21logtxx只有唯一解，经检验122ab是方程组的唯一解，故得证七、理科附加题1如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PD平面 ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点 E 是
29、 AB 上一点， AE 等于何值时，二面角P-EC-D 的平面角为4解：以 D 为原点，射线 DA、DC、DP 为 x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 P（0,0,1） ，C（0,2,0） ，设 E（1,y0,0） ，则0( 1,2,0)ECy，设平面 PEC 的法向量为1( , , )nx y z ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页1010,(2)0,20,0,nECxyyyznPC解之得0:(2) :1: 2x y zy，记10(2,1,2)ny，而平面 ECD 的法向量2(0,0,1)n，二面角
30、P-EC-D 的平面角12,4n n，122221202cos(2)121n nn ny22，023yAE当23AE时，二面角 P-EC-D 的平面角为42若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率为(01)pp，用随机变量表示 A在 1 次试验中发生的次数(1)求方差 D的最大值 ; (2)求21DE的最大值解：随机变量的所有可能取值为0，1，并且有(1),(0)1Pp Pp，从而0(1)1Eppp，222(0)(1)(1)Dpppppp ，(1)2221111()()4424Dppppp，因为 0P1，所以当12p时，D取得最大值，最大值为14(2)2212()112(2)DpppEpp，
31、因为 0P1，所以122 2pp当12 pp，即22p时，取 “=”因此，当22p时，21DE取得最大值22 23设函数21321( )e(R).3xf xxxxx(1)求函数( )yf x的单调区间；(2)求( )yf x在 1,2上的最小值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页(3)当(1,)x时，用数学归纳法证明：nN*，1e.!nxxn解：(1)12121( )2 ee2(2)(e1)xxxfxxxxxx x，令( )0fx，可得12x，20 x，31.x当 x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下
32、表：x(, 2)2( 2,0)0 (0,1)1 (1,)( )fx0 + 0 0 + ( )f x极小值极大值极小值函数( )yf x的增区间为( 2,0)和(1,)，减区间为(, 2)和(0,1)(2)当 1,2x时，212( 1)0,e3f5(2)4(e)0,( )3ff x极小值1(1)( 1),( )3fff x极大值(0)0f所以( )f x在 1,2上的最小值为212.e3(3)设1( )e!nxnxgxn，当1n时，只需证明11( )e0 xg xx，当(1,)x时，11( )e10 xgx，所以11( )exg xx 在(1,)上是增函数，011( )(1)e10g xg，即1exx；当(1,)x时，假设nk时不等式成立，即1( )e0!kxkxgxk，当1nk时，因为111(1)( )ee0(1)!kkxxkkxxgxkk，所以1( )kgx 在(1,)上也是增函数所以01111( )(1)e10(1)!(1)!kkgxgkk，即当1nk时，不等式成立由归纳原理，知当(1,)x时，nN*，1e.!nxxn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页