2022年江苏省如东高级中学届高三数学第二轮复习备课笔记解析几何问题的题型与方法 .pdf-淘文阁

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1、1 / 25 第 1720 课时：解读几何问题的题型与方法一复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.

2、 3理解 “ 曲线的方程” 、“ 方程的曲线” 的意义，了解解读几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4掌握圆的标准方程：222)()(rbyax（r0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022FEyDxyx，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cossinxryr（为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和

3、抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、 c、p、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二考试要求： (一)直线和圆的方程1理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的

4、点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。 2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3了解二元一次不等式表示平面区域。 4了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5了解解读几何的基本思想，了解坐标法。 6 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。(二)圆锥曲线方程1 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。2 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。3 掌握

5、抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。4了解圆锥曲线的初步应用。三教案过程：（）基础知识详析高考解读几何试卷一般共有4 题(2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 )，共计30 分左右，考查的知识点约为20 个左右。其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页2

6、 / 25 锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。(一)直线的方程1.点斜式：)(11xxkyy； 2. 截距式：bkxy； 3.两点式：121121xxxxyyyy；4. 截距式：1byax；5.一般式：0CByAx，其中 A、B 不同时为0. (二)两条直线的位置关系两条直线1l，2l有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交. 设直线1l：y=1k x+1b，直线2l：y=2kx+2b，则1l2l的充要条件是1k=2k，且1b=2b；1l2l的充要条件是1k

7、2k=-1. (三)线性规划问题1线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件. 都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值 .特殊地，若此函数是x、y 的一次解读式，就称为线性目标函数. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解 . 所有可行解组成的集合，叫做可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2线性规划问题有以下基本定理：一个线性规划问题，若有可行解，

8、则可行域一定是一个凸多边形. 凸多边形的顶点个数是有限的. 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题1.圆的标准方程222)()(rbyax（ r0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r. 特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222ryx. 2.圆的一般方程022FEyDxyx（FED4220）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D，2E），半径为FEDr42122. 当FED422=0 时，方程表示一个点（2D，2E）；当FED4220 时，方程不表示任何图形. 3.圆的参数方

9、程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222ryxcossinxryr（为参数）222)()(rbyaxcossinxarybr（为参数）(五)椭圆及其标准方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页3 / 25 1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F. 2.椭圆的标准方程：12222byax（ab0），12222bxay（ab0）. 3.椭圆的标准

10、方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y轴上 . 4.求椭圆的标准方程的方法：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解 . (六)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222byax（ab0）. 范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x=a和 y=b所围成的矩形里. 对称性：分别关于x 轴、 y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 . 顶点：有四个1A（-a，0）、2A（a，0）1B（0，-b）、2B（0， b）. 线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长

11、轴和短轴.它们的长分别等于2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度 .0 e1.e 越接近于1 时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace（e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，12222byax（ab0）的准线有两条，它们的方程为cax2.对于椭圆12222bxay（ab0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca

12、y2. 3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设1F（-c，0），2F（ c， 0）分别为椭圆12222byax（ab 0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exaMF1，exaMF2. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e 中有2a=2b+2c、ace两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. (七)椭圆的参数方程椭圆12222byax（ab0）的参数方程为cossinxayb（为参数） . 说明这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线 OP 的倾斜角不精

13、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页4 / 25 同：tantanab；椭圆的参数方程可以由方程12222byax与三角恒等式1sincos22相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (八)双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a|1F2F|，这一条件可以用 “ 三角形的两边之差小于第三边” 加以理解 .若2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a|1F2F|，则无轨迹

14、 . 若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“ 差的绝对值 ”.2. 双曲线的标准方程：12222byax和12222bxay（a0， b0）.这里222acb，其中 |1F2F|=2c.要注意这里的a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上 .对于双曲线，a 不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：

15、正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解. (九)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222byax的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率ace1，离心率e 越大，双曲线的开口越大. 2. 双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222byax，它的焦点坐标是（-c，0）和（ c， 0），与

16、它们对应的准线方程分别是cax2和cax2. 在双曲线中，a、b、c、e 四个元素间有ace与222bac的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (十)抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：pxy22、pxy22、pyx22、pyx22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

17、页，共 25 页5 / 25 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或 y 轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例（1）范围： x0 ；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点： O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率： e=1，由于 e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程2px；（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1）， F 为抛物线的

18、焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p 0）：221122112:;2:222:;2:22ppypxPFxypxPFxppxpyPFyxpyPFy（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （pO）的焦点F 的弦为AB ，A（x1，y1）， B（x2， y2）， AB的倾斜角为，则有 |AB|=x1+x2+p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用 “ 弦长公式 ” 来求。（ 8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0 ，当a0 时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，

19、用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。(十一 )轨迹方程曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）. （十二）注意事项 1直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于x 轴的倾斜程度.当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（aR）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k 存在与否，要分别考虑. 直线的截距式是两点式的特例，a、b 分别是直线在x 轴、

20、 y 轴上的截距，因为a0 ，b0 ，所以当直线平行于x 轴、平行于y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解. 求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式. 当直线1l或2l的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x 轴上还是y 轴上，还是两种都存在 . 注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、 e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆 . 求双曲线的标准方程应注意两个问题：正确判断焦点

21、的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页6 / 25 双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数. 双曲线的标准方程有两个12222byax和12222bxay（ a 0， b 0） .这里222acb，其中 |1F2F|=2c.要注意这里的a、b、 c及它们之间的关系与椭圆中的异同. 求抛物线的

22、标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p 的值 .同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个. （）范例分析例 1、求与直线3x+4y+12=0 平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24 的直线l 的方程。分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。解法一：先用 “ 平行 ” 这个条件设出l 的方程为3x+4

23、y+m=0 再用 “ 面积 ” 条件去求m，直线 l 交 x 轴于) 0 ,3(mA，交 y 轴于)4, 0(mB由244321mm，得24m，代入得所求直线的方程为：02443yx解法二：先用面积这个条件列出l 的方程，设l 在 x 轴上截距离a，在 y 轴上截距b，则有2421ab，因为 l 的倾角为钝角，所以a、b 同号， |ab|=ab，l 的截距式为148ayax，即 48x+a2y-48a=0又该直线与3x+4y+2=0 平行，24843482aa，8a代入得所求直线l 的方程为02443yx说明：与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成Ax+By+C1=0 的形式；与Ax

24、+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0 的形式。例 2、若直线mx+y+2=0 与线段AB 有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2) ，求实数m 的取值范围。解：直线mx+y+2=0 过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB 有交点，则直线只能落在ABC 的内部，设BC、 CA 这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0 的斜率k 应满足 kk1或 kk2， A(-2, 3) B(3, 2) 253421kk-m 34或-m 25即 m 34或 m 25说明：此例是典型

25、的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0 的斜率 -m 应为倾角的正切，而当倾角在(0 ,90 )或(90 ,180 )内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB 内部变化时，k 应大于或等于kBC，或者 k 小于或等于kAC，当 A、B 两点的坐标变化时，也要能求出m 的范围。例 3、已知 x、y 满足约束条件x1 ， x-3y -4，oxyABC(0,-2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页7 / 25 x=11O534216y3x+5y-30=0 x-3y+4=0 x2x-y=

26、054230:2CAll6lB16x+7y=07x+8y=0624O264A8x+y=1110812y1x=1010Bl12y=5xl03x+5y 30 ，求目标函数z=2x-y 的最大值和最小值. 解：根据 x、y 满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）. 作直线0l： 2x-y=0 ，再作一组平行于0l的直线l：2x-y=t，tR. 可知，当l在0l的右下方时，直线l上的点（x，y）满足2x-y 0，即t 0，而且直线l往右平移时， t 随之增大 .当直线l平移至1l的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t 最大；当l在0l的左上方时，直线l上的点（ x，y）

27、满足2x-y 0，即 t 0，而且直线l往左平移时，t 随之减小 .当直线l平移至2l的位置时，直线经过可行域上的点 C，此时所对应的t 最小 . x-3y+4=0 ，由解得点 B 的坐标为（ 5，3）； 3x+5y-30=0 ， x=1，由解得点 C 的坐标为（ 1，527）. 3x+5y-30=0 ，所以，最大值z=2 5-3=7；最小值z=2 1-527=517. 例 4、某运输公司有10 辆载重量为6 吨的 A 型卡车与载重量为8 吨的 B 型卡车，有11 名驾驶员 .在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480 吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车 8 次，

28、B 型卡车7 次；每辆卡车每天的成本费A 型车350 元， B 型车 400 元.问每天派出A 型车与B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？解：设每天派出A 型车与 B 型车各 x、y 辆，并设公司每天的成本为z 元.由题意，得x 10 ，y5 ，x+y 11 ，48x+56y 60， x，yN，且 z=350 x+400y. x 10 ，y 5，即x+y11 ，6x+7y 55 ， x，yN，作出可行域，作直线0l： 350 x+400y=0 ，即7x+8y=0. 作出一组平行直线：7x+8y=t 中（ t 为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直

29、线经过6x+7y=60 和 y=5 的交点A（625，5），由于点A 的坐标不都是整数，而x，yN，所以可行域内的点A（625， 5）不是最优解. 为求出最优解，必须进行定量分析. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页8 / 25 因为， 7625+8 5 69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点最小的直线是7x+8y=10 ，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当l通过 B 点时， z=350 10+4000=3500 元为最小 . 答：每天

30、派出 A 型车 10 辆不派 B型车，公司所化的成本费最低为3500 元 . 例 5、已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点， AB=2 、OT=t (0t1) ，以 AB 为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，BA交半圆于P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线BA的方程；（2）计算出点P、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q. 解: (1 ) 显然tA1 , 1, ，tB11于是直线BA的方程为1txy；（ 2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttt

31、tQ；（3）ttkPT1001, tttttttttkQT1111201122222)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q. 说明：需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗 ? 例 6、设 P是圆 M： (x-5)2+(y-5)2=1 上的动点，它关于A(9, 0) 的对称点为Q，把 P绕原点依逆时针方向旋转90 到点 S，求 |SQ|的最值。解：设 P(x, y)，则 Q(18-x, -y) ，记 P点对应的复数为x+yi ，则 S点对应的复数为：(x+yi)i=-y+xi ，即 S(-y, x) 22)

32、()18(|xyyxSQ222222222) 9()9(281811818222363618yxyxyxxyyxxyyxyx其中22)9()9(yx可以看作是点P 到定点B(9, -9)的距离，共最大值为1532|rMB最小值为1532|rMB，则|SQ|的最大值为21062， |SQ|的最小值为21062例 7、已知 M：xQyx是, 1)2(22轴上的动点，QA ，QB 分别切 M 于 A，B两点，（ 1）如果324| AB，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点 P的轨迹方程 . 解:（ 1）由324| AB，可得,31)322(1)2|(|222

33、2ABMAMP由射影定理，得, 3|,|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页9 / 25 523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线AB 方程是; 0525205252yxyx或（ 2）连接 MB ，MQ，设),0,(),(aQyxP由点 M，P，Q 在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2MQMPMB即(*), 14)2(222ayx把（ *）及（ * ）消去 a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx说明：适时应用平面几何知识，这是快速解

34、答本题的要害所在。例 8、直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点 .（1）求证：2214pxx。（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线 . 解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF. 若 lx轴，则 l 的方程为4,2221PxxPx显然. 若 l 不垂直于x 轴，可设)2(Pxky,代入抛物线方程整理得4,04)21(221222PxxPxkPPx则. 综上可知2214pxx. （2）设dcdpdDcpcC且),2(),2(22，则 CD 的垂直平分线l的方程为)4(2222pdcxpdcd

35、cy假设l过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p02222dcp，0dc. 这时l的方程为y=0，从而l与抛物线pxy22只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同的交点，因此l与 l 不重合， l 不是 CD 的垂直平分线. 说明：此题是课本题的深化，课本是高考试卷的生长点，复习要重视课本。例 9、已知椭圆13422yx，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。解：假设存在满足条件的点，设M （ x1， y1） a2=4， b2=

36、3 ， a=2，3b， c=1，21e，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页10 / 25 2121221121414)(|xxeaexaexaMFMF，点 M 到椭圆左准线的距离4121xcaxd，212121)4(414,xxdrr，048325121xx，41x或5121x，这与x1-2，0)相矛盾，满足条件的点 M 不存在。例 10、已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为32，（）求椭圆方程；（）设椭圆在y 轴正半轴上的焦点为M，又点 A 和点 B 在椭圆上，且M 分有向线段AB所成的比为2，求

37、线段AB 所在直线的方程。解：（）设椭圆方程为12222bxay由 2c=4 得 c=2 又32ac故 a=3，5222cab所求的椭圆方程为22195yx（）若k 不存在，则2MBAM，若 k 存在，则设直线AB 的方程为： y=kx+2 又设 A),()(221, 1yxByx由195222yxkxy得02520)59(22kxxk1222095kxxK1222595xxK点 M 坐标为 M（0，2） )2,()2,(2211yxMByxAM由得2MBAMMBAM2)2,(2)2,(2211yxyx212xx代入、得222095kxk 22225295xk由、得22202()95kk22

38、595k213k33k线段 AB 所在直线的方程为：233xy。说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解读几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解读几何都有着千丝万缕的联系，向量与解读几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。例 11、已知直线l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q，且与x 轴、 y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程解：从直线l所处的位置 , 设出直线l的方程 ,精选学习资

39、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页11 / 25 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得 =0即.2222mbka在直线方程mkxy中，分别令y=0，x=0，求得)., 0(),0,(mSkmR令顶点 P的坐标为（ x

40、， y），由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa, 即为所求顶点P的轨迹方程说明：方程12222ybxa形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例 12、已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0 ,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值 . 解：（ 1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中

41、消去 y，整理得07830)31(22kxxk. 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则.11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k= 7. 说明：为了求出k的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构k的方程 . 例 13、过点)0, 3(P作直线l与椭圆 3x2+4y2=12 相交于 A、B 两点， O 为坐标原点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页12 / 25 yxOABP求O

42、AB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设l的方程为)3(0 xky，则要求l的斜率一定要存在，但在这里l的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l的方程为3myx，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设 A（x1，y1）， B（x2，y2），l：3myx)(3|)|(|3|21|21212121yyyyyOPyOPSAOB把3myx代入椭圆方程得：0124)332( 3222ymyym，即0336)43(22myym，4336221mmyy，433221myy481444314312)43(108|222222

43、21xmmmmyy3)13(133443133443394222222mmmmmm23234133133422mmm3223S，此时1331322mm36m令直线的倾角为，则2663tg即OAB 面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为26。例 14、（2003年江苏高考题）已知常数0a，向量(0, ),(1,0).ca i经过原点O 以ci为方向向量的直线与经过定点A（0， a）以2ic为方向向量的直线相交于点P，其中.R试问：是否存在两个定点E、F，使得 |PE|+|PF|为定值 .若存在，求出 E、F的坐标；若不存在，说明理由. 解： i=（1，0），c=（ 0，a），c+i=（，

44、 a），i2c=（1， 2 a）. 因此，直线OP 和 AP 的方程分别为axy和axay2. 消去参数，得点),(yxP的坐标满足方程222)(xaayy. 整理得. 1)2()2(81222aayx 因为,0a所以得：（i）当22a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和 F；（ ii ）当220a时，方程表示椭圆，焦点)2,2121(2aaE和)2,2121(2aaF为合乎题意的两个定点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页13 / 25 （iii ）当22a时，方程也表示椭圆，焦点)21(21,0(

45、2aaE和)21(21,0(2aaF为合乎题意的两个定点. 说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解读几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解读几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解读几何问题解决。例 15、已知椭圆)0(12222babyax的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F，向量AB与OM是共线向量。（ 1）求椭圆的离心率e；（2）设 Q 是椭圆上任意一点，1F、2F分别是左、右焦点，求21QFF的取值范围；解：（1）abycxcFMM21,),0 ,(则

46、，acbkOM2。ABOMabkAB与,是共线向量，abacb2， b=c,故22e。（2）设1122121212,2 ,2 ,FQrF QrF QFrra F Fc222222212121 22121 21 21 24()24cos11022()2rrcrrr rcaarrr rr rr r当且仅当21rr时， cos =0， 2,0。说明：由于共线向量与解读几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解读几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解读几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解读几何问题。

47、例 16、一条斜率为1 的直线l与离心率为22的椭圆C：12222byax（0ba）交于P、Q，两点，直线l与 Y 轴交于点R，且3OQOP，RQPR3，求直线l和椭圆 C 的方程。解：椭圆离心率为22，ac22，222ba所以椭圆方程为122222bybx，设l方程为：mxy，),(),(2211yxQyxP由mxybybx122222消去y得02243222bmmxx0)3( 8)22(341622222bmbmm223mb(*)mxx3421 （1）)(322221bmxx （2）3OQOP所以32121yyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

48、- - - -第 13 页，共 25 页14 / 25 而221212121)()(mxxmxxmxmxyy所以3)(222121mxxmxx334)(342222mmbm所以94322bm（3）又),0(mR，RQPR3，),(3),(2211myxymx从而213xx （4）由（ 1）（ 2）（4）得223bm （5）由（ 3）（ 5）解得32b，1m适合(*)，所以所求直线l方程为：1xy或1xy；椭圆 C 的方程为13622yx说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解读几何的密切关系，使向量与解读几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解读几何的联系。

49、体现了向量的工具性。例 17、已知椭圆C 的中心在原点，焦点F1、F2在 x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且 F1PF2的最大值为90 ，直线 l 过左焦点F1与椭圆交于A、B 两点， ABF2的面积最大值为 12（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程解法一：（1）设cFFrPFrPF2| ,| ,|212211, 对,21FPF由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当 k 存

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