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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学复习笔记（整理于 2021-8 ）一、函数图象1、对称：y=f （ x ）与 y=f （ -x ）关于 y 轴对称，例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya x 与 ya x （ a0且a1）关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=f （ x ）与 y= f （ x）关于 x 轴对称，例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1yx 2 与 y1x2 关于 x 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=f （ x ）与 y=
2、 f （ -x ）关于原点对称，例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1yx 2 与 y1（x）2 关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=f （ x ）与 y=f1 （ x）关于 y=x 对称，例如：y=10 x 与 y=lgx关于 y=x 对称y=f （ x ）与 y= f1 （ x）关于 y= x 对称，如： y=10 x 与 y= lg （ x ）关于 y= x 对称注： 偶函数的图象本身就会关于y 轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：23yx 图象本身就会关于y 轴对称， yx 的图象本身就会关于原点对称。可编辑资料 - - -
3、欢迎下载精品名师归纳总结y=f （ x ）与 y=f （ a x）关于 x=a对称（2xaxa）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：求 y=f（ x）关于直线 x y c=0（ 留意此时的系数要么是 1 要么是 -1 ）对称的方程， 只需由 x y+c=0解出 x、y 再代入 y=f （ x ）即可，例如：求 y=2x+1 关于直线 x-y-1=0 对称的方程，可先由 x-y-1=0 解出 x=y+1， y=x-1 ，代入 y=2x+1 得： x-1=2 （ y+1）整理即得： x-2y-3=02、平移：y=f （ x ）y= f （x+）先向左（0）或向右（0）或向左（0
4、）或向右（ 1 时，就 f （ x）在 a， +）上单调递增2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f min =f （ a） =a +1（ 2）当 x a 时， f （ x） =x2 x+a+1=（ x1 ） 2+a+ 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a21 时，就 f （ x）在（，a 单调递减， f2min4=f （ a） =a2+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a 1 时，就 f （ x）在（，a 上最小值为f （ 1 ） = 3 +a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2综上所述，当a1 时， f （ x）的最小值为
5、2243 a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 1 a 21 时， f （ x）的最小值为a2+12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a 1 时， f （ x）的最小值为23 +a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
6、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 利用均值不等式典例：已知x、 y 为正数，且x 2y 2=1，求 x21y 2的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分 析 ： x1y 2=x（2 1y 2） =2x（2 12y 2）（ 即 设 法 构 造 定 值x 2y2=1 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2=2x（21y）2x 2122y 22= 324故最大值为324可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下
7、载精品名师归纳总结注： 此题亦可用三角代换求解即设x=cos，y=sin求解，（解略）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。4、 利用函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例：求t 213t 22的最小值（分析：利用函数y= x1在（ 1， +）的单调性求解，解略）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 三角换元法（略）6、 数形结合例：已知x、y 满意 x 2y 25、抽象函数的周期问题4 ，求 yx5 的最值6可编辑资料 -
8、- - 欢迎下载精品名师归纳总结已知函数y=f （ x）满意 f （ x+1） = f （ x ），求证： f （ x）为周期函数证明：由已知得f （ x） = f （ x 1），所以 f （ x+1） = f （x ） = （ f （ x 1）= f （ x 1）即 f （ t ） =f （ t 2），所以该函数是以2 为最小正周期的函数。解此类题目的基本思想：敏捷看待变量，积极构造新等式联立求解二、圆锥曲线1、 离心率圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0e1）。2、 焦半径椭圆： PF1 =a+ex 0 、PF2 =a-ex 0 （左加右减） （其中 P 为椭圆上任一点，F1 为椭圆左焦点、
9、F 2 为椭圆右焦点）a 2注： 椭圆焦点到其相应准线的距离为c c双曲线： PF1 = |ex0 +a| 、PF2 =| ex0 -a| （左加右减） （其中 P 为双曲线上任一点，F1 为双曲线左可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -焦点、 F 2 为双曲线右焦点）2注： 双曲线焦点到其相应准线的距离为cac抛物线：抛物线上任一点到焦点的距
10、离都等于该点到准线的距离（解题中常用）圆锥曲线中的面积公式：（F 1、F 2 为焦点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 P 为椭圆上一点，F1 PF2=，就三角形F 1PF2的面积为： b 2 tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角形中利用余弦定理整理即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： |PF1 | |PF2 |cos2=b 2 为定值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 P 为双曲线上一点，F1 PF2=，就三角形F1PF2的面积为： b 2 cot2可编辑资料 -
11、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： |PF1 | |PF2 |sin2=b 2 为定值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结附：三角形面积公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S= 1 底高 =21 absinC=2abc 4 R= 1r （ a+b+c ） = （ R 为 外 接 圆 半 径 ， r为 内 切 圆 半 径 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=l lalblcl为三角形周长的一半 （这就是闻名的海伦公式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、数列求和可编辑资料 - -
12、- 欢迎下载精品名师归纳总结裂项法：如an是等差数列，公差为d（ ai0 ）就求 snb a1a 2b a2 a3b an a n 1时可用裂项法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求解，即s = b （ 111111） =bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nda1a2a 2a 3a nan 1a1a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求导法：（典例见高三练习册p86 例 9）倒序求和：（典例见世纪金榜p40 练习 18）分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-分析：可分解
13、为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30 例 4构造新数列1即可an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、向量与直线向量（ a， b），（ c， d）垂直的充要条件是ac+bd=0向量（ a， b），（ c， d）平行的充要条件是ad bc=0附：直线 A1 x+B1 y+C1 =0 与直线 A2 x+B 2 y+C 2 =0 垂直的充要条件是A1 A 2 + B 1 B 2 =0直线 A1 x+B1 y+C1 =0 与直线 A2 x+B 2 y+C 2 =0 平行的充要条件是A1
14、B 2 -A 2 B 1 =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -向量的夹角公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos=a| a |b| b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12注 1： 直线的“到角”公式：l 到 l的角为 tan= k2k1。“夹角”公式为
15、tan=|k2k1 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k2 k11k2 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为0，之间的角）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 2： 异面直线所成角的范畴：（0，2注 3： 直线倾斜角范畴0 ，）注 4： 直线和平面所成的角0 ，2注 5： 二面角范畴：0 ，注 6： 锐角：（0，）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 7： 0 到的角表示（ 0，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 8： 第一象限角（2k， 2k+）2附：三角和差化积及积化
16、和差公式简记S + S = S C S + S = C S C + C = C CC C = S S五、集合1、集合元素个数的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结card （ ABC ）=card （ A）+ card（ B）+ card （ C） card （AB ） card （ BC ）card （ CA）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结+card （ ABC）（结合图形进行判定可更为快速）2、从集合角度来懂得充要条件：如AB，就称 A 为 B 的充分不必要条件， （即小的可推出大的）此时B 为 A 的必要不充分条件，如A=B，就称 A 为 B 的充要条件
17、经纬度六、二项绽开式系数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C0 +C1+C2 +Cn =2 n （其中 C0 + C 2+ C 4+=2 n1 。 C1+C 3+ C 5 +=2 n 1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnnnnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：求（ 2+3x） 100 绽开式中1、全部项的系数和2、奇数项系数的和3、偶数项系数的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -
18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法：只要令x 为 1 或 1 即可七、离散型随机变量的期望与方差E（a+b） =aE+b。 E（b） =bD（a+b） =a 2 D。 D（ b）=0 D=E2 （ E） 2特殊分布的期望与方差（ 0、1）分布：期望： E=p。方差 D=pq二项分布：期望 E=np。方差 D=npq注： 期望表达平均值，方差表达稳固性，方差越小越稳固。八、圆系、直线系方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经过某个定点（x0，y0 ）的直线即为始终线系，可利用点斜式设之（k 为参数）可编辑资
19、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一组相互平行的直线也可视为始终线系，可利用斜截式设之（b 为参数）经过圆 f （ x 、y）与圆（或直线）g（ x 、y）的交点的圆可视为一圆系，可设为：f （x 、y ） +g（ x 、y） =0（此方程不能代表g（x 、y） =0）。或f （ x 、y ）+g（ x 、y） =0（此方程不能代表 f （ x 、y） =0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结附：回来直线方程的求法：设回来直线方程为y bx a，就 bnxi yi2i 1 nxin xy2n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1a y b x九、立体几何
20、（一）1、欧拉公式： V+F E=2（只适用于简洁多面体）利用欧拉公式解题的关键是列出V、 F、E 之间的关系式棱数 E= 1 （每个顶点动身的棱数之和）= 1 （每个面的边数之和） （常用）222、长方体的三度定理长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和推论A、 如对角线与各棱所成的角为、，就：cos 2+cos 2+cos 2=1sin2+sin 2+sin 2=2 B、 如对角线与各面所成的角为、，就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -
21、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -cos 2+cos 2+cos 2=2sin2+sin 2+sin 2=13、三角形“四心”重心：三边中线交点垂心：三边高线交点内心：角平分线交点（内切圆圆心） 外心：垂直平分线交点（外接圆圆心）如三角形为正三角形，就以上“四心”合称“中心”引申：如三棱锥三个侧面与底面所成的角相等，就该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心如三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等，就该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心如三棱锥三条侧棱两两垂直，就该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂
22、心如该三棱锥为正三棱锥，就其顶点在底面的射影为底面三角形的中心4、经度纬度九、立体几何（二）一、“共”的问题1多点共线： 先证其中两点确定一条直线，然后其余点均在该直线上。举例：正方体 ABCD A1B1C1 D1中，设线段A1C与平面 ABC1D1 交于 Q，证： B， Q， D1 共线。 2多线共点：先证两直线共点，其余的过该点。举例：三个平面两两相交于三条直线，求证：三条交线共点，或相互平行。3多线共面：先找到两条确定一个平面，然后证其它的均在平面内。举例：四条直线两两相交不共点，求证：四条直线共面。二、“角”的问题1异面直线所成角（0 ,90 ：采纳平移转化法，构造一个含的三角形，由余
23、弦定理求得 请自己补充例子，这个很重要 。2直线与平面所成角0 ,90 ：关键是找射影，最终通过垂线、斜线、射影来求所成角。举例：求正四周体的侧棱与底面所成的角。3二面角 0 ,180 ：关键是作二面角， 方法有定义法、 作棱的垂面、 三垂线定理和公式法S=cos .S 。举例：求正四周体的相邻两侧面所成角arccos1/3.三、“距离”的问题1点面距：可通过定义法或等体积法。举例：边长为a 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，求 A 点到平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面 A1BD的距离 3 a 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2线面距：转化为点面距
24、。举例：边长为a 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，求 A1B 到平面 B1CD1 的距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结离33a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3异面直线间距离 一些较特殊的，难度不要太大 ，比如求正四
25、周体对棱间的距离2 a 。举2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3例：边长为a 的正方体ABCD A1B1 C1D1 中，求 A1B 与 B1D1 的距离 a 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 球面距：它是球面上两点间的最短距离，求解的步骤：（ 1）运算线段AB的长（ 2）运算 A、B 所对的球心角（用弧度角表示）（ 3）运算球大圆在AB间的劣弧举例：设的球半径为R，在北纬 45圈上有A、B 两的，沿此纬度圈上A、B 两的间的劣弧长为求 AB间的球面距。 （R）3留意： 1。在求距离过程中，要表达先证角 把所要的角给找出来 ，后求角这两个步骤。2R，4可编
26、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 要敏捷把握点面距、线面距、线线距 留意：两异面直线间的距离就等于分别过这两条直线的平行平面间的距离 、面面距间的转化使用。四、“垂直”的问题1. 平面内证明两直线垂直的方法a. 勾股定理b. 等腰三角形的三线合一c. 直径所对的圆周角d. 垂径定理e直二角的性质f. 棱形、正方形的对角线相互垂直g. 平行直线中一条垂直于第三条直线，就另一条也与第三条垂直2. 线面垂直的判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）线线垂直 - 线面垂直：mnP, km, kn, m, nk（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编
27、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线面垂直 - 线面垂直：m n, mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）直二面角的性质：，l , m, mlm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）三垂线定理留意： 以上几种方法，实质乃是转化思想，在解题中，要把握它们相互间的转化应用，切不行死记硬背。举例：在正方体ABCDA1B1C1D1 中， E、F 分别是BB1、D1B1 的中点，求证：EF平面B1AC. 例子自己再补充 3. 面面垂直（ 1）定义法，求证二面角为90（ 2）一平面过另一平面的垂线举例：直线a
28、、 b 是异面直线，a平面 ， b平面 ，a b，求证： 4. 三垂线定理（ 1） cos PAB= cos PAC. cos CAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2） PAC相当于斜线与平面所成角（ 3） PBC相当于二面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） lAC, l平面ABClAP （定理）可编辑资料
29、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5） lAP,l平面 ABClAC（逆定理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）垂线段最短（前提是自平面外同一个点引的全部线段中）（ 7）最小角定理（涉及到不等问题时要想到这里）五、“个数”的问题（ 1）空间中到四周体的四个顶点距离都相等的平面个。（ 7 个）（ 2）过直线外一点有个平面与该直线平行（很多个）（ 3）始终线与一平面斜交，就平面内有条直线与该直线平行。（ 0）（ 4） 3 条两两相交的直线可以确定个平面（1 个或 3 个）（ 5）过空间一点，与两异面直线都平行的平面有条（0
30、 或 1）（ 6） 3 个平面可以把空间分个部分。（ 4 或 6 或 7 或 8）（ 7）两两相交的4 条直线最多可以确定个平面（6 个）（ 8）两异面直线成60的角，问过空间一点与它们都成30（ 45 ,60 ,80 ）的角的直线有条。（1。 2。 3。4）六、克服思维定势，区分平面与空间的问题1在空间中错误的命题（ 1）垂直于同一条直线的两直线平行（ 2）平行于同始终线的两平面平行（ 3）平行于同一平面的两直线平行（ 4）过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直（有很多条）（ 5）两个不同平面内的两条直线叫做异面直线（正确：不同在任何平面内的两条直线）（ 6）始终线与一平面内很多条直线垂直，
31、就该直线与这个平面垂直（很多条应改成全部的才是正确的）2. 正确的命题（ 1）平行于同一条直线的两条直线平行（ 2）垂直于同一条直线的两个平面平行（ 3）两平面平行，如第三个平面与它们相交且有两条交线，就两直线平行（ 4）两相交平面同时垂直于第三个平面，就它们的交线垂直于第三个平面七、“正多面体”的问题1正四周体（请把握相关的推导方法）（ 1）每对对棱都是成90的异面直线，中点连线即为公垂线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）两异面直线间的距离为2a（此时设a 为正四周体棱长）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）体积为1 a 3（此时设a 为正四周体外接正方体边长。即四周体的四个顶点刚好和正方体的某四个3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点重合）（结合课本P53：第 8 题图形）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）外接球的半径为（6 a ）（ a 为四周体的边长）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结