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1、7.3.1正弦函数的性质与图像学 习 目 标核 心 素 养1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点(重点)2.能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图像(难点)1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.1.正弦函数的性质(1)函数的周期性周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它
2、的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期(2)正弦函数的性质函数ysin x定义域R值域1,1奇偶性奇函数周期性最小正周期：2单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减最值x2k ，(kZ)时，y最大值1；x2k(kZ)时，y最小值12.正弦函数的图像(1)利用正弦线可以作出ysin x，x0,2的图像，要想得到ysin x(xR)的图像，只需将ysin x，x0,2的图像沿x轴平移2，4，即可，此时的图像叫做正弦曲线(2)“ 五点法” 作ysin x，x0,2的图像时，所取的五点分别是(0,0)，(，0)，和和(2，0)思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性
3、，它的对称性是怎样的？提示由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(，0)，点(2，0) ，点(k，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(k，0)(kZ)，即图像与x轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是xk ，(kZ)，是过图像的最高或最低点，且与x轴垂直的直线1.函数yxsin x是()A奇函数，不是偶函数B偶函数，不是奇函数C奇函数，也是偶函数D非奇非偶函数Bf(x)xsin(x)x(sin x)xsin xf(x)，yxsin x为偶函数，不是奇函数2.下列图像中，符合ysin x在0,2上的图
4、像的是()D把ysin x，x0,2上的图像关于x轴对称，即可得到ysin x，x0,2上的图像，故选D3.点M在函数ysin x的图像上，则m等于()A0B1C1D2C由题意msin ，m1，m1.三角函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)解(1)显然xR，f(x)cos x，f(x)coscos xf(x)，f(x)是偶函数(2)由得1sin x1.解得定义域为.f(x)的定义域关于原点对称又 f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)， f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x
5、)lg(1sin x)f(x)f(x)为奇函数判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.1.判断函数f(x)cosx2sin x的奇偶性解原式sin 2xx2sin x，又xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数.正弦函数的单调性及应用【例2】比较下列各组数的大小(1)sin 194和cos 160；(2)sin 和cos .思路探究先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小
6、解(1)sin 194sin(18014)sin 14.cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，sin 14sin 70，即sin 194cos 160.(2)cos sin，又sincos ，即sin cos .比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.2.比较大小：(1)sin 250与sin 260；(2)sin与sin.解(1)sin 250sin(18070)sin 70，sin 260sin(18080)sin 80，因为070809
7、0，且函数ysin x，x是增函数，所以sin 70sin 80，所以sin 70sin 80，即sin 250sin 260.(2)sinsin sin sinsin .sinsin sin .因为0，且函数ysin x，x是增函数，所以sin sin ，sinsin，即sinsin.正弦函数的值域与最值问题【例3】求下列函数的值域(1)y32sin；(2)y12sin2xsin x.思路探究(1)用|sin |1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围(2)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|1即可求出y的取值范围解(1)1sin1，22sin2，12si
8、n35，1y5，即函数y32sin的值域为1,5(2)y12sin2xsin x，令sin xt，则1t1，y2t2t12.由二次函数y2t2t1的图像可知2y，即函数y12sin2xsin x的值域为.1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x就得出1sin x1，要根据x的范围确定3.设|x|，求函数f(x)cos2xsin x的最小值解f(x)cos2xsin x1sin2xsin x.|x|，sin x，当sin x时取最小值为.正弦函数的图像【例4】用“五点法”作出函数y12sin x，x，的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图像，
9、写出满足下列条件的x的区间y1；y1，在y1下方部分y1，当x(0，)时，y1.(2)如图，当直线ya与y12sin x有两个交点时，1a3或1a1，a的取值范围是a|1a3或1a0，0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令xz，将函数转化为yAsin z的形式求最值5“ 五点法” 画正弦函数图像“ 五点法” 是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法1.以下对于正弦函数ysin x的图像描述不正确的是()A在x2k，2k2，kZ上的图像形状相同，只是位置不同B关于x轴对称C介于直线y1和y1之间D与y轴仅有一个交点B观察ysin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B2.函数ysin x，x的简图是()D可以用特殊点来验证当x0时，ysin 00，排除A，C；当x时，ysin 1，排除B3.若sin x2m1且xR，则m的取值范围是_1,0因为1sin x1，sin x2m1，所以12m11，解得1m0.4用五点法画出函数y2sin x在区间0,2上的简图解列表：x02sin x01010y2sin x02020描点、连线得y2sin x的图像如图：