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1、7.3.4正切函数的性质与图像学 习 目 标核 心 素 养1.能画出ytan x的图像，借助图像理解正切函数在区间上的性质(重点)2.掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题(重点、难点)1.通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养2.借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.1.正切函数的性质(1)函数ytan x 的图像与性质.解析式ytan x图像定义域值域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间 kZ 内都是增函数(2)函数ytan x(0)的最小正周期是.2.正切函数的图像(1)正切函数的图像：ytan x
2、的图像如图(2)正切函数的图像叫做正切曲线(3)正切函数的图像特征：正切曲线是由通过点(kZ) 且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成思考：正切函数的图像是对称的吗？提示正切函数是奇函数，其图像关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为(kZ)，正切函数的图像不是轴对称图形1.函数y3tan x7的值域是()ARBC(0，) D(kZ)A因为ytan x，xR的值域为R，所以y3tan x7的值域也为R.2.ytan定义域为_2xk，kZ，x，kZ.3.函数ytan的单调增区间为_，kZ令kxk，kZ，得kxk，即ytan的单调增区间为，kZ.正切函数的定义域、值域问题【例1】(
3、1)函数ylg(1tan x)的定义域是_(2)函数ytan(sin x)的值域为_(3)求函数ytan2 x2tan x5，x的值域思路探究(1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域(3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题(1)(2)tan 1，tan 1(1)要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.(2)因为1sin x1，且1,1，所以ytan x在1,1上是增函数，因此tan(1)tan xtan 1，即函数ytan(
4、sin x)的值域为tan 1，tan 1(3)解令ttan x，x，ttan x，)，yt22t5(t1)26，抛物线开口向下，对称轴为t1，t1时，y取最大值6，t时，y取最小值22，函数ytan2 x2tan x5，x时的值域为22，61.求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ；(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围2.解正切不等式的两种方法：(1)图像法：
5、先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域要特别注意函数的定义域1.求函数y的定义域解根据题意，得解得(kZ)所以函数的定义域为(kZ)正切函数的奇偶性、周期性【例2】(1)函数y4tan的周期为_(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)tantan.思路探究(1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求(2)可按定义法的步骤判断(1)由于3，故函数的周期为T.(2)解由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数函数
6、定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数是奇函数1.函数f(x)Atan(x)周期的求解方法：(1)定义法(2)公式法：对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系2.(1)求f(x)tan的周期；(2)判断ysin xtan x的奇偶性解(1)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.(2)定义
7、域为，关于原点对称，f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，函数是奇函数.正切函数的单调性【例3】(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小思路探究(1)可先令ytan，从而把x整体代入，kZ这个区间内解出x便可(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，最后利用ytan x在上的单调性判断大小关系解(1)ytantan，由kxk(kZ)，得2kx2k，(kZ)，函数ytan的单调递减区间是2k，2k(kZ)，无增区间(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又2，20，3，
8、30，显然231，且ytan x在内是增函数，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.求yAtan(x)的单调区间，可先用诱导公式把化为正值，由kxk求得x的范围即可.比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内.3.(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小解(1)ytan单调区间为(kZ)，k2xk(kZ)，x(kZ)，函数ytan的单调递增区间为(kZ)(2)由于tantantan tan ，tantantan ，又0，而ytan x在上单调递增，所以tan tan ，即tantan.正切函数的图像及应用【例4】画出函数y|tan
9、 x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性解由y|tan x|得，y其图像如图所示由图像可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，周期为.1.作出函数y|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：(1)保留函数yf(x)图像在x轴上方的部分；(2)将函数yf(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可4设函数f(x)tan，(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图解(1)f(x)tan，w，周期T2.令(kZ)，得xk
10、(kZ)，f(x)的对称中心是(kZ)(2)令0，则x.令，则x.令，则x.函数ytan的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得函数f(x)tan在一个周期内的简图(如图)1.对函数yAtan(x)k(0)周期的两点说明(1)一般地，函数yAtan(x)k(0)的最小正周期T.(2)当0时，函数yAtan(x)k具有周期性，最小正周期是.2.“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为(k，0)，其中kZ；两线为直线xk和直线xk，其中kZ(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，
11、然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可3.解答正切函数图像与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图像的对称中心是(kZ)，不存在对称轴(2)单调性：正切函数在每个(kZ)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.1.函数ytan x的值域是()A1,1B1,0)(0,1C(，1D1，)B根据函数的单调性可得2.直线y3与函数ytan x(0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是()AB CDC直线y3与函数ytan x的图像的相邻交点间的距离为ytan x的周期，故距离为.3.函数f(x)tan的定义域是_，f_.由题意知xk(kZ)，即xk(kZ)故定义域为，且ftan.4求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg(tan x)解(1)要使函数y有意义，需使所以函数的定义域为.(2)要使函数有意义，则tan x0，所以tan x.又因为tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图像(图略)，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.