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1、7.2.2单位圆与三角函数线学 习 目 标核 心 素 养1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)1.通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养2.借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.1.单位圆(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆(2)角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标2.三角函数线思考：三角函数线的方向是怎样确定的？提示三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值1.如图，在单位
2、圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线，正切线B正弦线，正切线C正弦线，正切线D正弦线，正切线C由三角函数线的定义知C正确2.角和角有相同的()A正弦线B余弦线C正切线D不能确定C与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线3.角的终边与单位圆的交点的坐标是_由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ，纵坐标是sin ，角的终边与单位圆的交点的坐标是.三角函数线的概念【例1】(1)设P点为角的终边与单位圆O的交点，且sin MP，cos OM，则下列命题成立的是()A总有MPOM1B总有MPOM1C存在角，使MPOM1D不存在角，使MPOM0(2)分别作出和的正弦线、余弦线和正切线(1
3、)C显然，当角的终边不在第一象限时，MPOM1，MPOM0都有可能成立；当角的终边落在x轴或y轴正半轴时，MPOM1，故选C(2)解在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PMOx轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin MP，cos OM，tan AT，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.同理可作出的正弦线、余弦线和正切线，如图乙sin M1P1，cosO1M1，tanA1T1，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂
4、足，从而得到正弦线和余弦线2.作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线1.下列四个命题中：一定时，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有相同正弦线的角相等；和有相同的正切线；具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上不正确命题的个数是()A0 B1C2D3C由三角函数线的定义正确，不正确中有相同正弦线的角可能不等，如与；中当时，与都没有正切线利用单位圆解三角不等式【例2】在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合(1)sin ；(2)cos .思路探究作出满
5、足sin ，cos 的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围解(1)作直线y，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ .(2)作直线x，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ .1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：(1)作出取等号的角的终边；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；(3)将图中的范围用不等式表示出来2.求与三角函数
6、有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域2.求ylg(1cos x)的定义域解如图所示，1cos x0，cos x，2kx2k(kZ)，函数定义域为(2k，2k)(kZ).三角函数线的综合应用探究问题1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos ，sin )，点T的坐标为(1，tan )呢？提示由三角函数的定义可知sin ，cos ，而在单位圆中，r1，所以单位圆上的点都是(cos ，sin )；另外角的终边与直线x1的交点的横坐标都是1，所以根据tan ，知纵坐标ytan ，所以点T的坐标为(1，tan )2.如何利用三角函数线比较大小
7、？提示利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负【例3】已知，试比较sin ，tan 的大小思路探究本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin ，tan ，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决解如图所示，设角的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PMx轴，作ATx轴，交的终边于点T，由三角函数线定义，得sin MP，tan AT，又的长，SAOPOAMPsin ，S扇形AOPOA，SAOTOAATtan .又SAOPS扇形AOPSAOT，sin tan .1.本题的实质是数形
8、结合思想，即要先找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题3.利用三角函数线证明：|sin |cos |1.证明（图略）在OMP中，OP1，OM|cos |，MP|sin |，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin |cos |1.当点P在坐标轴上时，|sin |cos |1.综上可知，|sin |cos |1.1.应用三角函数线比较大小的策略三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值比较两
9、个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向2.利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线yb或xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tan xc，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图像可确定相应的范围.1.已知(02)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么的值为()A或B或C或 D或C由题意的终边为一、三象限的平分线，且02，故得或.2.在0,2上满足sin x的x的取值范围是()A BC DB画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x的取值范围是.3.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是.sin 1cos 11cos 1.4在单位圆中画出适合下列条件的角的终边(1)sin ；(2)cos .解(1)作直线y交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角的终边，如图甲甲乙(2)作直线x交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角的终边，如图乙