《2022年历年高考真题考点归纳第九章解析几何第二节圆锥曲线 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年历年高考真题考点归纳第九章解析几何第二节圆锥曲线 .pdf（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、三、解答题40.(2009 年广东卷文 ) （本小题满分14 分）已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在x轴上 ,离心率为23,两个焦点分别为1F和2F,椭圆 G上一点到1F和2F的距离之和为12.圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA. (1)求椭圆 G的方程(2)求21FFAk的面积(3)问是否存在圆kC包围椭圆G?请说明理由 . 解（1）设椭圆G 的方程为：22221xyab（0ab）半焦距为c; 则21232aca, 解得63 3ac, 22236279bac所求椭圆G 的方程为：221369xy. (2 )点KA的坐标为,2K1 2121126 3 26 322KA
2、F FSF FV（3）若0k，由01215210120622可知点（ 6，0）在圆kC外，若0k，由01215210120)6(22可知点（ -6，0）在圆kC外；不论 K为何值圆kC都不能包围椭圆G. 41.（2009 浙江理）（本题满分15 分）已知椭圆1C：22221(0)yxabab的右顶点为(1,0)A，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1（I）求椭圆1C的方程；（II） 设点P在抛物线2C：2()yxh hR上，2C在点P处的切线与1C交于点,M N 当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
3、- - -第 1 页，共 47 页解（I）由题意得212,121babba所求的椭圆方程为2214yx，（II） 不妨设21122(,),(,),( ,),Mx yN xyP t th则抛物线2C在点 P处的切线斜率为2x tyt，直 线MN的 方 程 为22ytxth， 将 上 式 代 入 椭 圆1C的 方 程 中 ， 得2224(2)40 xtxth，即222224 14 ()()40txt th xth，因为直线MN与椭圆1C有两个不同的交点，所以有4221162(2)40thth，设线段 MN 的中点的横坐标是3x，则21232()22(1)xxt thxt，设线段 PA的中点的横坐标
4、是4x，则412tx，由题意得34xx，即有2(1)10th t，其中的22(1)40,1hh或3h；当3h时有220,40hh，因此不等式4221162(2)40thth不成立；因此1h，当1h时代入方程2(1)10th t得1t，将1,1ht代入不等式4221162(2)40thth成立，因此h的最小值为142.（2009 浙江文）（本题满分15 分）已知抛物线C：22(0)xpy p上一点(,4)A m到其焦点的距离为174（I）求p与m的值；（II） 设抛物线C上一点P的横坐标为(0)t t， 过P的直线交C于另一点Q， 交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N若MN是C的切线，
5、求t的最小值解（）由抛物线方程得其准线方程：2py，根据抛物线定义点)4,(mA到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724p，解得21p抛物线方程为：yx2，将)4,(mA代入抛物线方程，解得2m（）由题意知，过点),(2ttP的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。则)(:2txktylPQ，当, 02kkttxy则)0 ,(2kkttM。联立方程yxtxkty22)(，整理得：0)(2tktkxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 47 页即：0)()(tkxtx，解得, tx或tkx)( ,(2tktkQ，而QPQN，
6、直线NQ斜率为k1)(1)(:2tkxktkylNQ，联立方程yxtkxktky22)(1)(整理得：0)()(1122tktkkxkx，即：0 1)()(2tkktkxkx0)(1)(tkxtkkkx，解得：ktkkx1)(，或tkx) 1)(,1)(22ktkkktkkN，)1()1(1)( 1)(2222222ktkktkkkttktkkktkkKNM而抛物线在点N 处切线斜率：ktkkykktkkx2)(21)(切MN 是抛物线的切线，ktkkktkktk2)(2) 1()1(2222，整理得02122ttkk0)21(422tt，解得32t（舍去），或32t，32mint43.（20
7、09 北京文）（本小题共14 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x。（）求双曲线C 的方程；（）已知直线0 xym与双曲线C 交于不同的两点A， B，且线段AB 的中点在圆225xy上，求 m 的值 .【解析】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力解（）由题意，得2333acca，解得1,3ac，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 47 页2222bca，所求双曲线C的方程为2212yx. （）设A
8、、B 两点的坐标分别为1122,x yxy，线段 AB的中点为00,Mxy，由22120yxxym得22220 xmxm（判别式0）, 12000,22xxxm yxmm, 点00,Mxy在圆225xy上，2225mm，1m. 44.（2009 北京理）（本小题共14 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x（）求双曲线C的方程；（）设直线l是圆22:2O xy上动点0000(,)(0)P xyx y处的切线，l与双曲线C交于不同的两点,A B，证明AOB的大小为定值.【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关
9、系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得2333acca，解得1,3ac，2222bca，所求双曲线C的方程为2212yx. （）点0000,0P xyx y在圆222xy上，圆在点00,P xy处的切线方程为0000 xyyxxy，化简得002x xy y. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 47 页由2200122yxx xy y及22002xy得222000344820 xxx xx，切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且2002x，20340 x，且222000164 34820 xxx，设
10、A、B两点的坐标分别为1122,x yxy，则20012122200482,3434xxxxx xxx，cosOA OBAOBOAOB，且121212010220122OA OBx xy yx xx xx xy，212012012201422x xxxxx x xx222200002222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxx. AOB的大小为90. 【解法 2】 （）同解法1. （）点0000,0P xyx y在圆222xy上，圆在点00,P xy处的切线方程为0000 xyyxxy，化简得002x xy y. 由2200122yxx
11、xy y及22002xy得222000344820 xxx xx222000348820 xyy xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 47 页切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且2002x，20340 x，设 A、B 两点的坐标分别为1122,x yxy，则2200121222008228,3434xxx xy yxx，12120OA OBx xy y，AOB的大小为90. （22002xy且000 x y，220002,02xy，从而当20340 x时，方程和方程的判别式均大于零）. 45.（2009 江苏卷）（本
12、题满分10 分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2） ，其焦点 F在x轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点( ,0)(0)M mm的直线交抛物线C于 D、E两点， ME=2DM，记D 和 E两点间的距离为()f m，求( )f m关于m的表达式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 47 页46.(2009 山东卷理 ) （本小题满分14 分）设椭圆 E: 22221xyab（a,b0）过 M（ 2，2） ，N (6,1)两点， O 为坐标
13、原点，（I）求椭圆E的方程；（ II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求| AB| 的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: 22221xyab（a,b0）过 M（2，2） ，N (6,1)两点 , 所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆 E的方程为22184xy（ 2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(1 2)4280k
14、xkmxm, 则 =222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmx xk,22222222212121212222(28)48()()()1 21212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk要使OAOB,需使12120 x xy y,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km, 所 以22238mm, 所 以283m, 即263m或2 63m, 因 为 直 线ykxm为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半
15、 径 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 47 页21mrk,222228381318mmrmk,2 63r,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足2 63m或2 63m,而当切线的斜率不存在时切线为2 63x与椭圆22184xy的两个交点为2 626(,)33或2 626(,)33满足OAOB,综上 , 存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OAOB. 因为12221224122812kmxxkmx xk, 所以22222212121222224288(84)(
16、)()4()41212(1 2)kmmkmxxxxx xkkk, 2222222121212228(84)|()(1)()(1)(1 2)kmABxxyykxxkk422424232 45132134413441kkkkkkk, 当0k时22321|11344ABkk因为221448kk所以221101844kk, 所以223232111213344kk, 所以46| 2 33AB当且仅当22k时取 ” =” . 当0k时,46|3AB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 47 页当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为2
17、62 6(,)33或2 626(,)33, 所以此时4 6|3AB, 综上 , | AB| 的取值范围为46| 2 33AB即: 4| 6,2 33AB【命题立意】 :本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 47. (2009 山东卷文 ) （本小题满分14 分）设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amx y,向量( ,1)bx y,ab,动点( , )M x y的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程 ,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知4
18、1m,证明 :存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O 为坐标原点 ),并求出该圆的方程; (3)已知41m,设直线l与圆 C:222xyR(1R2)相切于 A1,且l与轨迹 E只有一个公共点B1,当 R为何值时 ,| A1B1| 取得最大值 ?并求最大值 . 解（1）因为ab,(,1)amx y,( ,1)bx y, 所以2210a bmxy, 即221mxy. 当 m=0 时,方程表示两直线,方程为1y; 当1m时, 方程表示的是圆当0m且1m时,方程表示的是椭圆; 当0m时,方程表示的是双曲线. (2).当41m时, 轨迹 E的方程为2214x
19、y,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 47 页程组2214ykxtxy得224()4xkxt,即222(1 4)8440kxktxt, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使 =2 222226416(1 4)(1)16(41)0k tktkt, 即22410kt,即2241tk, 且12221228144414ktxxktx xk222 22222212121212222(44)84()()()141414ktk ttky ykxtkxtk x xkt xxttkkk, 要使
20、OAOB, 需使12120 x xy y,即222222224445440141414ttktkkkk, 所以225440tk, 即22544tk且2241tk, 即2244205kk恒成立 . 所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为21trk,222224(1)45115ktrkk, 所求的圆为2245xy. 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 ,切 线 为552x, 与2214xy交 于 点)552,552(或)552,552(也满足OAOB. 综上 , 存在圆心在原点的圆2245xy， 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB. (3)
21、当41m时 ,轨迹E 的方程为2214xy,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆C:222xyR(1R0）与 x 轴的左、右两个交点，直线l过点 B,且与x轴垂直， S为l上异于点 B 的一点，连结AS交曲线 C于点 T.(1)若曲线 C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M 是以 SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得 O,M,S三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。解 方法一()当曲线 C为半圆时，1,a如图，由点T 为圆弧 AB 的三等分点得BOT=60或 120. (1)当 BOT=60时 , SAE =30. 又 A
22、B=2,故在 SAE中 ,有tan30,( ,);SBABs t(2)当 BOT=120时 ,同理可求得点S的坐标为 (1,23) ,综上 , 2 3(1,)3S或S(1,23)()假设存在(0)a a,使得 O,M,S 三点共线 . 由于点 M 在以 SB为直线的圆上,故BTOS. 显然 ,直线 AS的斜率 k 存在且 k0,可设直线AS的方程为()yk xa . 由222222242221(1)20()xya kxa k xa kaayk xa得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 47 页设点22222(,),(),1
23、TTTa kaT xyxaa k故22221Taa kxa k,从而222()1TTakyk xaa k. 亦即2222222(,).11aa kakTa ka k22222222( ,0),(,)11a kakB aBTa ka k由()xayk xa得( ,2),( ,2).s aakOSaak由BTOS,可得2222224012a ka kBTOSa k即2222240a ka k0,0,2kaa经检验 ,当2a时,O,M,S 三点共线 . 故存在2a,使得 O,M,S 三点共线 . 方法二 : ()同方法一 . ()假设存在 a,使得 O,M,S三点共线 . 由于点 M 在以 SO为直
24、径的圆上 ,故SMBT. 显然 ,直线 AS的斜率 k 存在且 k0,可设直线AS的方程为()yk xa由222222222221(1)20()xya bxa k xa kaayk xa得设点(,)TTT xy,则有42222().1Ta kaxaa k故22222222222222,()().111TTTaa kakaa kakxyk xaTaa ka ka ka k从而亦即221( ,0),TBTSMTyB akka kxaa k故由()xayk xa得S(a,2ak),所直线 SM 的方程为22()yaka k xaO,S ,M 三点共线当且仅当O 在直线 SM 上,即22()aka k
25、a . 0,0,2aKa故存在2a,使得 O,M,S三点共线 . 60.（2009 辽宁卷文、理） （本小题满分12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 47 页已知，椭圆C以过点A（1，32） ，两个焦点为（1， 0） （1， 0） 。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（） 解 由题意，c1, 可设椭圆方程为2222114xybb。因为A在椭圆上，所以2219114bb，解得2b 3，2b34（舍去）。所以椭圆方
26、程为22143xy（） 证明设直线方程：得3(1)2yk x，代入22143xy得22233+4+4 (32 )4()1202kxkk xk（）设（Ex，Ey） ，（Fx，Fy） 因为点（1，32）在椭圆上，所以2234()12234Ekxk，32EEykxk。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得2234()12234Fkxk，32FFykxk。所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyyk xxkkxxxx。即直线EF的斜率为定值，其值为12。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 47 页
27、61. （ 2009 宁夏海南卷理） （本小题满分12 分）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7 和 1. （）求椭圆C的方程；（）若 P为椭圆 C上的动点， M 为过 P且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM=，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解 ( ) 设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，由已知得1,4,37acacac解得，所以椭圆C的标准方程为221167xy（）设( , )M x y，其中4,4x。由已知222OPOM及点P在椭圆C上可得2222911216()xxy。整理得2222(169)16112xy，其中4
28、,4x。（i ）34时。化简得29112y所以点M的轨迹方程为4 7( 44)3yx，轨迹是两条平行于x轴的线段。（ii ）34时，方程变形为2222111211216916xy，其中4,4x当304时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x的部分。当314时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；62. （ 2009 陕西卷文）（本小题满分12 分）已知双曲线C 的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
29、 - - - - - -第 28 页，共 47 页255。（1）求双曲线C的方程；(2)如图， P是双曲线C上一点， A，B 两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,23APPB，求AOB面积的取值范围。方法一解（）由题意知，双曲线C的顶点（ 0，a）到渐近线2 505axby的距离为，所以222 55abab所以2 55abc由2222 5525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为2yx设( ,2 ),2 ),0,0A mm Bnn mn（由,),APPBPuu u ruu rm- n 2(m+ n)得 点的坐
30、标为（1+1+将 P点的坐标代入222(1)1,44yx化简得 mn=因为2 ,AOB14tan()2,tan,sin 2225又5 ,5OAm OBn所以111sin22()122AOBSOAOBmn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 47 页记111( )()1, ,223S则211( )(1)2S由( )01S得又 S（1） =2，189( ), (2)334SS当1时，AOB面积取到最小值2，当当13时，AOB面积取到最大值83所以AOB面积范围是82,3方法二 （）由题意知，双曲线C的顶点（ 0，a）到渐近线2
31、505axby的距离为，222 52 555ababcab即由2222 5525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x. （）设直线AB的方程为,ykxm由题意知2,0km由2,),222ykxmmmAyxkk得 点的坐标为（由2,),222ykxmmmByxkk得 点的坐标为（精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 47 页121,(),()122122mmAPPBPkkkk得 点的坐标为（uu u ruu r将 P点的坐标代入21x2y4得2224(1)4mk设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则
32、Q 点的坐标为（ 0， m）AOBS=AOQBOQSS.22111()222114()2222 411()12ABABOQxOQxm xxmmmmkkkggg63. （ 2009 四川卷文、理） （本小题满分12 分）已知椭圆2221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FF、，离心率22e，右准线方程为2x。（I ）求椭圆的标准方程；（II ） 过点1F的直线l与该椭圆交于MN、两点，且222 263F MF N，求直线l的方程。解 （I ）由已知得2222caac，解得2,1ac221bac 所求椭圆的方程为2212xy . （II ）由（ I ）得1( 1,0)F、2(1,0)F若直线
33、l的斜率不存在，则直线l的方程为1x，由22112xxy得22y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 47 页设2( 1,)2M、2( 1,)2N，2222( 2,)( 2,)( 4,0)422F MF N，这与已知相矛盾。若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为(1)yk x，设11(,)M x y、22(,)N xy，联立22(1)12yk xxy，消元得2222(1 2)4220kxk xk22121222422,1212kkxxx xkk，121222(2)12kyyk xxk，又211222(1
34、,),(1,)F MxyF Nxy221212(2,)F MF Nxxyy22222221212228222 26(2)()12123kkF MF Nxxyykk化简得424023170kk解得2217140或( 舍去)kk1k所求直线l的方程为11或yxyx64. （ 2009 全国卷文） （本小题满分12 分）如图，已知抛物线2:E yx与圆222: (4)(0)Mxyrr相交于 A、B、C、D 四个点。（）求r 的取值范围（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点 P 的坐标。解： （）将抛物线2:E yx代入圆222: (4)(0)Mxyrr的方程，精选学习资料 -
35、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 47 页消去2y，整理得227160 xxr抛物线2:E yx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根016070)16(449221212rxxxxr即442525rrr或。解这个方程组得425r15(,4)2r. （II）设四个交点的坐标分别为11(,)A xx、11(,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx。则由（ I）根据韦达定理有212127,16xxx xr，15(,4)2r则2112211212 |()|()2Sxxx
36、xxxxx222212121212()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr令216rt，则22(72 ) (72 )Stt下面求2S的最大值。方法 1：由三次均值有：221(72 ) (72 )(72 )(72 )(144 )2Sttttt331 7272144128()()2323ttt当且仅当72144tt，即76t时取最大值。经检验此时15(,4)2r满足题意。方法 2：设四个交点的坐标分别为11(,)A xx、11(,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx则直线 AC、BD 的方程分别为)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy
37、解得点 P 的坐标为)0,(21xx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 47 页设21xxt，由216rt及（）得)41,0(t由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积|)22(212121xxxxS则4)(2(2122122112xxxxxxxxS将721xx，txx21代入上式，并令2)(Stf，等)270(34398288)27()27()(232tttttttf，)76)(72(2985624)(2tttttf，令0)(tf得67t，或27t（舍去）当670t时，0)(tf；当67t时0)(tf；当2767t时，
38、0)(tf故当且仅当67t时，)(tf有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为)0 ,67(。65.（2009 湖北卷文）（本小题满分13 分）如图，过抛物线y22PX(P0) 的焦点 F 的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1 ( ) 求证：FM1FN1: ( ) 记FMM1、FM1N1、FN N1的面积分别为S1、 、S2、 ，S3，试判断S224S1S3是否成立，并证明你的结论。（1）证明方法一由抛物线的定义得11,MFMMNFNN1111,MFMMM FNFNNN F如图，设准线l 与 x 的交点为1F111/MMNNFFQ精选学
39、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 47 页111111,F FMMM FF FNNN F而0111111180F FMMFMF FNN FN即0111122180F FMF FN0111190F FMF FN故11FMFN方法二依题意，焦点为(,0),2pF准线 l 的方程为2px设点 M,N 的坐标分别为1122,),),M x yN xy（直线 MN 的方程为2pxmy，则有11121112(,),(,),(,),(,)22ppMyNyFMp yFNp y由222pxmyypx得2220ympyp于是，122yymp，21
40、2y yp22211120FMFNpy ypp，故11FMFN（） 解22134SS S成立，证明如下：方法一设1122(,),(,)M x yN xy，则由抛物线的定义得1112| |,| |22ppMMMFxNNNFx，于是11111111| |()|222pSMMFMxy21211211| |22SM NFFp yy31112211| |() |222pSNNF Nxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 47 页222131211221114(|)4() |()|22222ppSSSp yyxyxy222121212
41、12121()4()|424pppyyy yx xxxy y将11222,2pxmypxmy与122122yympy yp代入上式化简可得22222222()()pm pppm pp，此式恒成立。故22134SS S成立。方法二如图，设直线MNM 的倾角为，12|,|MFrNFr则由抛物线的定义得1113| |,| |MMMFrNNNFr11111/,MMNNFFFMMFNN于是22211322111sin,sin()sin222SrSrr在1FMM和1FNN中，由余弦定理可得2222222211111222|22cos2(1cos),|22cos2(1cos)FMrrrFNrrr由（ I）的
42、结论，得2111| |2SFMFN2222222221112121311|4(1 cos )(1 cos )sin444SFMFNrrr rSS即22134SS S，得证。66.（2009 宁夏海南卷文）(本小题满分12 分) 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7 和 1 （1）求椭圆C的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 47 页（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPeOM（e 为椭圆 C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲
43、线。解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得1,7.acac解得 a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为221.167xy（）设M（x,y）,P(x,1y),其中4,4 .x由已知得222122.xyexy而34e，故2222116()9().xyxy由点P在椭圆C上得，2211127,16xy代入式并化简得29112,y所以点M的轨迹方程为4 7( 44),3yx轨迹是两条平行于x轴的线段 . 67.(2009 湖南卷理 )（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线x=2 的距离的3 倍之和记为d，当 P点运动时， d 恒等于点
44、 P的横坐标与18 之和（）求点P的轨迹 C；（）设过点F的直线 l 与轨迹 C相交于 M，N 两点，求线段MN 长度的最大值。解（）设点P的坐标为（ x，y） ，则224 (3)dxy3x-2 由题设当 x2 时，由得221(3)6,2xyx化简得221.3627xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 47 页当2x时由得22(3)3,xyx化简得212yx故点 P的轨迹 C是椭圆221:13627xyC在直线 x=2 的右侧部分与抛物线22:12Cyx在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线x=2 的交点）所组成的曲线
45、，参见图1 （）如图2 所示，易知直线x=2 与1C，2C的交点都是A（ 2，2 6） ，B（2，2 6） ，直线 AF，BF的斜率分别为AFk=2 6，BFk=2 6. 当点 P在1C上时，由知162PFx. 当点 P在2C上时，由知3PFx若直线 l 的斜率 k 存在，则直线l 的方程为(3)yk x（i）当 kAFk，或 kBFk，即 k-26时，直线I 与轨迹 C的两个交点M（1x，1y） ，N（2x，2y）都在 C1上，此时由知MF= 6 -121xNF= 6 -122x从而MN= MF+ NF= （6 -121x）+ （6 -122x） =12 - 12( 1x+2x)由22(3)
46、13627yk xxy得2222(34)24361080kxk xk则1x，1y是这个方程的两根，所以1x+2x=222434kk* MN =12 - 12（1x+2x）=12 - 221234kk因为当22 6,6,24,kk或k2时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 47 页22212121001212.134114kMNkk当且仅当2 6k时，等号成立。（2）当, 2 62 6AEANkkkk时，直线 L与轨迹 C 的两个交点1122(,),(,)M x yN xy分别在12,C C上， 不妨设点M在1C上， 点2C
47、上， 则知，1216,32MFxNFx设直线 AF与椭圆1C的另一交点为E00012(,),2.xyxx x则1021166,33222MFxxEFNFxAF所以MNMFNFEFAFAE。而点 A，E都在1C上，且2 6,AEk有（ 1）知100100,1111AEMN所以若直线的斜率不存在，则1x=2x=3，此时12110012()9211MNxx综上所述，线段MN 长度的最大值为10011.68. （ 2009 福建卷文）（本小题满分14 分）已知直线220 xy经过椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点 A和上顶点 D， 椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，
48、,AS BS与直线10:3lx分别交于,M N两点。（I）求椭圆C的方程；（）求线段MN 的长度的最小值；（）当线段 MN 的长度最小时， 在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 47 页解方法一 （ I）由已知得，椭圆C的左顶点为( 2,0),A上顶点为(0,1),2,1Dab故椭圆C的方程为2214xy（）直线AS的斜率k显然存在，且0k，故可设直线AS的方程为(2)yk x，从而10 16(,)33kM由22(2)14yk x
49、xy得2222(1 4)16164kxk xk0 设11(,),S x y则212164( 2),14kxk得212281 4kxk，从而12414kyk即222284(,),1414kkSkk又(2,0)B由1(2)4103yxkx得10313xyk101(,)33Nk故161|33kMNk又16116180, |233333kkkMNkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 47 页当且仅当16133kk，即14k时等号成立14k时，线段MN的长度取最小值83（）由（）可知，当MN取最小值时，14k此时BS的方程为6 4
50、4 220, (,),|5 55xysBS要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于15，只须T到直线BS的距离等于24，所以T在平行于BS且与BS距离等于24的直线l上。设直线:10lxy则由|2|2,42t解得32t或52t69.（2009 年上海卷理）（本题满分16 分）已知双曲线22:1,2xcy设过点( 3 2,0)A的直线 l 的方向向量(1, )ekv（1）当直线 l 与双曲线C的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与 m 的距离；（2）证明：当k22时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l 的距离为6。（1） 解双曲线 C的渐近线:20.22xmy分直线 l 的方