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1、名师精编优秀教案双曲线【知识梳理】1双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b2 1(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0) 图形性质范围xa 或 x ay a 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴： 坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0， a)，A2(0，a) 渐近线ybaxyabx离心率eca，e(1， )，其中 ca2b2实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|
2、2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b2aa、b、c 的关系c2a2b2(ca0， cb0) 【基础自测】1若双曲线方程为x22y21，则它的左焦点的坐标为_ 解析：双曲线方程可化为x2y2121， a21，b212. c2 a2b232， c62. 左焦点坐标为62，0 . 2若双曲线x2a2y21 的一个焦点为 (2,0)，则它的离心率为_ 解析： 依题意得 a21 4，a23，故 e2a2232 33. 3设 F1，F2是双曲线x2y2241 的两个焦点， P 是双曲线上的
3、一点，且3|PF1|4|PF2|，则 PF1F2的面积等于 _ 解析： 由 P 是双曲线上的一点和3|PF1| 4|PF2|可知， |PF1|PF2|2，解得 |PF1| 8，|PF2|6.又|F1F2|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页名师精编优秀教案2c10，所以 PF1F2为直角三角形，所以PF1F2的面积 S126824. 4双曲线x2a2y21(a0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_解析： 由题意a21a11a22，得 a33，故渐近线方程是3x y0，即 y 3x. 5已知 F1(0， 5)，F2
4、(0,5)，一曲线上任意一点M 满足 |MF1|MF2|8，若该曲线的一条渐近线的斜率为 k，该曲线的离心率为e，则 |k| e_. 解析： 根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支，c5，a4，b3，eca54， |k|43.|k| e435453. 说明： 1.区分双曲线与椭圆中a、b、c 的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2 b2.双曲线的离心率e1；椭圆的离心率e(0,1)2渐近线与离心率：x2a2y2b21(a0， b0)的一条渐近线的斜率为bab2a2c2 a2a2e21.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小注意 当 ab0
5、时，双曲线的离心率满足1e0 时， e2(亦称为等轴双曲线)；当 ba0 时， e2. 3直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点【考点探究】考点一双曲线的定义及标准方程例 1已知双曲线C：x2a2y2b2 1 的焦距为10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则C 的方程为 _ (2)已知双曲线x2 y2 1，点 F1，F2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF1PF2，则 |PF1|PF2|的值为 _解(1)x2a2y2b21 的焦距为 10，c5a2b2.又双曲线渐
6、近线方程为ybax，且 P(2,1)在渐近线上，2ba1，即 a2b.由解得a25，b5.故 C 的方程为x220y251. (2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF1 PF2，所以 (22)2|PF1|2|PF2|2，又因为 |PF1|PF2|2，所以 (|PF1| |PF2|)24，可得 2|PF1| |PF2| 4，则 (|PF1|PF2|)2 |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|12，所以 |PF1|PF2|2 3. 【 由题悟法】 1应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点 )具备的几何条件，即“到两定点(焦点 )的距离之差的绝对值为一常数
7、，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页名师精编优秀教案一支2双曲线方程的求法：(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2ny21(mna0)，O 为坐标原点，离心率e2，点 M(5，3)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)若直线 l 与双曲线交于P，Q 两点，且OPOQ0.求1|OP|21|OQ|2的值解(1) e2，c 2a，b2c2a23a2，双曲线方程为x2a2y23a21，即 3x2y23a2. 点 M(5，3)在双曲线上
8、， 1533a2. a24. 所求双曲线的方程为x24y2121. (2)设直线 OP 的方程为ykx(k0)，联立x24y2121，得x2123k2，y212k23k2， |OP|2x2y212 k213k2. 则 OQ 的方程为y1kx，同理有 |OQ|212()11k231k212 k213k21，1|OP|21|OQ|23k2 3k2112 k2122k212 k2116. 【 由题悟法】 1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或 y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入2与中点有关的问题常用点差法注意 根据
9、直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师精编优秀教案【 以题试法】 3F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左，右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 M，满足 |1MF,|3|2MF,|，则此双曲线的渐近线方程为_解析： 由双曲线的性质可得|2MF,|b，则 |1MF,|3b.在 MF1O 中， |OM,|a，|1OF,| c，cos F1OMac，由余弦定理可知a2c2 3b22acac，又 c2a2b2，所以 a22b2，
10、即ba22，故此双曲线的渐近线方程为y22x. 【巩固练习】 1已知双曲线的渐近线为y 3x，焦点坐标为 (4,0)， (4,0) ，则双曲线方程为_ 解析：由题意可设双曲线方程为x2a2y2b21(a0， b0)， 由已知条件可得ba3，c4，即ba3，a2b242，解得a24，b212，故双曲线方程为x24y2121. 2已知 m 是两个正数2,8 的等比中项，则圆锥曲线x2y2m1 的离心率为 _ 解析： m216， m 4，故该曲线为椭圆或双曲线当m4 时， ecaa2b2a32.当 m4 时， ecaa2b2a5.故离心率为32或5 3.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点
11、，M，N 是双曲线的两顶点若M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是_ 解析： 设焦点为 F( c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1ca，椭圆的离心率e2c2a，所以e1e22. 4 已知 P 是双曲线x2a2y2b21(a0， b0)上的点，F1， F2是其焦点，双曲线的离心率是54， 且1PF,2PF,0，若 PF1F2的面积为9，则 ab 的值为 _ 解析：由1PF,2PF, 0 得1PF,2PF,，设 |1PF,|m，|2PF,|n，不妨设mn，则 m2n24c2，mn2a，12mn9，ca54，解得a4，c5，b3， ab 7. 5 平面内一固定线
12、段AB， |AB|4， 动点 P满足 |PA| |PB| 3， O 为 AB 中点，则|OP|的最小值为 _ 解析： 依题意得，动点P 位于以点A，B 为焦点、实轴长为3 的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等于32. 6已知双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)与双曲线C2：x24y216 1 有相同的渐近线，且C1的右焦点为 F(5，0)，则 a _，b_. 解析： 双曲线x24y2161 的渐近线为y 2x，则ba2，即 b2a，又因为 c5，a2b2c2，所以 a精选学习资料 - - - - - - - - - 名
13、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师精编优秀教案1，b2. 7过双曲线x2a2y2b21(a 0，b0)的左焦点F 作圆 x2y2a24的切线，切点为E，延长 FE 交双曲线右支于点P，若 E 为 PF 的中点，则双曲线的离心率为_解析： 设双曲线的右焦点为F.由于 E 为 PF 的中点， 坐标原点O 为 FF 的中点， 所以 EOPF ，又 EOPF，所以 PFPF，且 |PF |2a2a，故 |PF|3a，根据勾股定理得|FF|10a.所以双曲线的离心率为10a2a102. 8已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点 (4，10)点 M(3，m)在双曲线上 (1)求双曲线方程；(2)求证：1MF2MF0. 解： (1) e2，可设双曲线方程为x2y2 ( 0)过点(4，10)，1610 ，即 6.双曲线方程为x26y261. (2)证明：由 (1)可知，双曲线中ab6，c 2 3，F1(23，0)，F2(23，0)，kMF1m32 3，kMF2m323，kMF1 kMF2m2912m23. 点(3，m)在双曲线上，9m26，m2 3，故 kMF1 kMF2 1，MF1MF2.1MF2MF 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页