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1、函数复习例 1 设 f (x) 是定义在 ，上的奇函数， 且对任意的a，b，当 a+b0时，都有.0)()(babfaf(1)若 ab，试比较 f (a)与 f (b) 的大小。(2) 解不等式 f (x ).41()21xf解： (1)任取 x 1 , 1,21x，当 x21x时，f (x)()()()1212xfxfxf=,0)()()()(121212xxxxxfxff (x) 在，上是增函数。a，b， ，且 ab，f (a)f (b). (2)f (x) 在，上是增函数，不等式f (x)41()21xf,4521,4121,1411,1211xxxxx原不等式的解集为x|.4521x例
2、 2 f (x) 是定义在R 上的函数，且对任意的x 满足 f (x+1)= f (x).已知当 x3,2(时，f (x)=x. 求当 x0, 2(时， f (x) 的表达式。解： f (x+1)= f (x) ， f (x+ )=f (x )f (x) 从而 f (x) 是以为周期的函数则当 x3 ,2(时，有 f (x)=x 当 x4,3(时，x3,2(，有 f (x )=x，故f (x) f (x ) x，则f (x)= 4, 3(,1 3 , 2(,xxxx，即当x0, 2(时，x+44 ,3(3 ,2(4 ,2(，有 f (x)=f (x+4)=0, 1(, 3)4(1 1, 2(,
3、4xxxxx例 3 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x()求函数 g(x)的解析式；()解不等式 g(x)f(x)|x1|；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - ()若 h(x)g(x)f(x)1 在1，1上是增函数，求实数的取值范围解： （I）设函数( )yf x的图象上任一点00(,)Q x y关于原点的对称点为( ,)P x y, 则000202xxyy即00 xxyy. 点00
4、(,)Q xy在函数( )yfx的图象上 . 22 ,yxx即22 ,yxx故 g(x)22xx. (II) 由( )( )|1|g xf xx可得：2|2|1| 0 xx当x1 时，221| 0 xx此时不等式无解。当1x时，2210 xx112x因此，原不等式的解集为-1, 12. (III) 2( )(1)2(1)1.h xxx当1时，( )h x41x在-1,1上是增函数，1当1时，对称轴的方程为11x(i) 当1时，111，解得1。(ii)当1时，111 时，解得10综上 ,0例 4 设函数 f (x) 是定义在 R 上的函数，对任意实数m、n，都有 f (m)()(nmfnf，且当
5、 x1.（1）证明 f (0)=1 ；当 x0 时，0f (x)1 ；f (x) 是 R 上的减函数；（2）如果对任意实数x、y，有 f (x)()()22axyfyf恒成立，求实数a 的取值范围。解： （1）由 f (m)()(nmfnf，令 m=n=0,得 f (0)f (0)=f (0), f (0)=0 或 f (0)=1. 若 f (0)=0, 则当 x0 时， x1,f (0)=f (x x)=f (x)f ( x)=1, f ( x)1, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
6、 - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 0 时，0f (x)0 时， a,22xyyx而, 222xyyx只需 a;2(iii) 当 xy0，求 a 的取值范围，使函数f (x) 在区间 0，+)上是单调函数。解：在区间 0，+)上任取 x21,x,使得 x21x. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - f (x)(11)()21222121xxaxxxf=)(112122212221
7、xxaxxxx=(x).11)(22212121axxxxx(1) 当 a1时，, 111222121xxxx,011222121axxxx又 x, 021xf (x,0)()21xf即 f (x).()21xf所以，当a1时，函数 f (x) 在区间 0，+)上是单调递减函数。（2） 当 0a1，解关于 x 的不等式；xkxkxf2)1()(. 解： （1）将0124,3221xbaxxxx分别代入方程得29913,( )(2).162284axabf xxbxab解得所以（2）不等式即为02)1(,2) 1(222xkxkxxkxkxx可化为即.0)(1)(2(kxxx当).,2(), 1
8、 (, 21kxk解集为当);, 2()2, 1(0) 1()2(,22xxxk解集为不等式为时),()2, 1 (,2kxk解集为时当. 4 已知二次函数)(xf的二次项系数为a，且不等式xxf2)(的解集为)3, 1(。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - （）若方程06)(axf有两个相等的根，求)(xf的解析式；（）若)(xf的最大值为正数，求a的取值范围。解： （）).3 , 1(02)(的解集为xxf( )
9、2(1)(3),0.f xxa xxa且因而.3)42(2)3)(1()(2axaaxxxxaxf由方程.09)42(06)(2axaaxaxf得因为方程有两个相等的根，所以094)42(2aaa，即.511.01452aaaa或解得由于51.1,0aaa将舍去代入得)(xf的解析式.535651)(2xxxf（）由aaaaaxaaxaaxxf14)21(3)21 (2)(222及.14)(,02aaaxfa的最大值为可得由,0,0142aaaa解得. 03232aa或故当)(xf的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -