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1、综合题例 4. （本题满分14 分）如图， OBC的在个顶点坐标分别为（0,0 ） 、 （1,0 ） 、 （0,2 ）,设 P为线段 BC的中点 ,P2为线段 CO的中点 ,P3为线段OP1的中点 , 对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点 , 令Pn的坐标为(xn,yn), .2121nnnnyyya（）求321,aaa及na; （）证明;,414Nnyynn ( ) 若记,444Nnyybnnn证明nb是等比数列 . 解： ( ) 因为43,21, 153421yyyyy，所以2321aaa，又由题意可知213nnnyyy321121nnnnyyya =221121nnnny
2、yyy =,2121nnnnayyyna为常数列 . .,21Nnaan( ) 将等式22121nnnyyy两边除以 2，得, 124121nnnyyy又2214nnnyyy.414nnyy（）)41 ()41(44444841nnnnnyyyyb)(41444nnyy,41nb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页又,041431yybnb是公比为41的等比数列 . 【题 9】已知数列na满足0na，且对一切*Nn，有213nniiSa，其中niinaS1（1）求证：对一切*Nn，有nnnSaa2121；（2）求数列
3、na的通项公式；（3）求证：312nkkak【解析】（1）213nniiSa，21113nniiSa111122131)2()(nnnnnnnnnnaaSSSSSSSa，又01nannnSaa2121（2）由nnnSaa2121及)2(212nSaannn，两式相减得nnnnnaaaaa2)()(1221，化简得)2()(111naaaaaannnnnn，,01nnaa)2(11naann，由213nniiSa可得11a，22a由此可得)1(11naann，. nan（3）nknknknkkkkkkkkkkak221312) 1() 1() 1)(1(21)1()1(111nknkkkkkkk
4、kk22) 1)(1(111)11() 1)(1(21.3222)111221(1)1111(12nnkknk【反思】 1本题的第一问和第二问属于常规基础题，第三问采用的裂项法证明不等式，其关键之处有两个地方：一是nknkkkkk213) 1() 1(111，它既进行了合情合理地放缩，又得到了数字1；二是nkkkk2) 1() 1(1nkkkkk2)11() 1)(1(2， 所有的这些努力都是为后续的裂项创造了条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页件，使得后续工作的开展能够水到渠成；【题 10】已知函数xexxf12
5、1)(（e为自然对数的底数） ，（1）判断)(xf的奇偶性；（2）在0,上求函数的极值；（3）用数学归纳法证明：当0 x时，对任意正整数n都有.!12 nxnnf【解析】（1）)()(1)(12xfexxfx，)(xf为 R 上的偶函数（2）当0 x时，)12(1)(14xexxfx，令0)(xf，有21x当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：由表可知，当x=21时，)(xf的极大值为.42e（3）当0 x时，xexxf2)1(，考虑到0 x时有：xnnxnenxxnexxnxf!)1(222 ，所以只要用数学归纳法证明不等式对一切正整数n都成立即可（）当1n时，设)0()(xxex
6、gx，0 x时，01)(xexg，)(xg是增函数，故有)0(01)0()(xxegxgx，当1n时，不等式都成立.（）假设)(*Nkkn时，不等式都成立，即.!xkekx当1kn时，设)0()!1()(1xxekxhkx，有0)!)(1()(kxxekkxh，故)0()!1()(1xxekxhkx为增函数，0)!1()0()(khxhx)21,(21)0 ,21()(xf0 - )(xf极大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页即.)!1(1xkekx这就是说，1kn时不等式都成立.根据（）、 （）不等式对一切正整
7、数n都成立 .【题 11】已知函数.ln)(,2)23ln()(xxgxxxf（1）求函数)(xf的单调区间；（2）如果关于x的方程mxxg21)(有实数根，求实数m的取值集合；（3）是否存在正数k，使得关于x的方程)()(xkgxf有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由【解析】（1）函数)(xf的定义域为, 00,23，又)23()3)(1()(2xxxxxf，由1230)(xxf或3x；由010)(xxf或30 x因此)(xf的单调增区间为),3(),1,23(；单调减区间为)3 ,0(),0, 1(（2）xxmmxmxxg21ln21ln21)(，实数m的取
8、值范围就是函数xxx21ln)(的值域于是，,211)(xx令0)(x，得2x，并 且 当2x时 ，0)(x； 当20 x时 ，0)(x， 2x时 ，)(x取 得 最 大 值 ， 且12ln)2()(maxx，又当x无限趋近于0 时，xln无限趋近于x21,无限趋近于0，进而有xxx21ln)(无限趋近于，)(x的值域为12ln,即m的取值集合12ln,（3）这样的正数k不存在（反证法）假设存在正数k，使得关于x的方程)()(xkgxf有两个不相等的实数根1x和2x，则则(*)ln2)23ln(*)ln2)23ln()()()()(2221112211xkxxxkxxxkgxfxkgxf根据对
9、数函数定义域知0, 021xx，又由（ 1）知，当0 x时，0)233ln()3()(minfxf，02)23ln()(111xxxf，02)23ln()(222xxxf，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页再由0k可得1, 1,0ln)(, 0ln)(212211xxxxgxxg，由于21xx，不妨设211xx，由（ *）、（ * ）可得：111ln2)23ln(xxx222ln2)23ln(xxx，由比例的性质得：1111lnln2)23ln(xxxx2222lnln2)23ln(xxxx即1111ln2)23l
10、n(xxxx2222ln2)23ln(xxxx ， 由 于xln是 区 间), 1(上 的 恒 正 增 函 数 ， 且211xx，1lnln21xx，又由于xx2231ln是区间), 1(上的恒正减函数，且211xx，12)231ln(2)23ln(22111xxxxx，22111212)231ln(2)23ln(lnlnxxxxxxx1111ln2)23ln(xxxx2222ln2)23ln(xxxx这与式矛盾， 因此， 满足条件的k不存在例题选析 例 1 椭圆中心在原点， 焦点在 x轴上。 斜率为 1， 且过椭圆右焦点F的一条直线交椭圆于A， B两点，OAOB与(2,1)共线 , 求椭圆的
11、离心率, 设 M为该椭圆的任意一点，( ,),OMOAOBR证明22为定值。解题计划：第（1）问：相交现象“调查”22221,xyabyxc22(0,)abcab2222222()2()0abxa cxacb表达OAOB, 并列出OAOB与共线的条件设 A(x1,y1),B(x2,y2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页1212(,)OAOBxxyy, OAOB与(2,1)共线12123 ,.xxkyyk(x1+x2)+3(y1+y2)=0 (*) 考查cea的表达式根据y1= x1c, y2= x2c, (*)
12、 成为123,2cxx即222222363.23a ccabeab副产品，椭圆方程22233.xyb第（ 2）问用坐标形式表达OMOAOB，设( , ).OMx y1212xxxyyy利用 M(x,y) 在椭圆上的条件寻找22的表达式，2221212()3()3xxyyb222221212332(3)3bbx xy yb“22为定值”的证明目标221212222121221(3),1330,x xy ybx xy y 例 2 设函数|1| |1|( )2,xxf x求使( )2 2f x的x的取值范围。解题计划：把( )2 2f x“翻译”成较“平易”的形式，323|1|1|,(222 )2x
13、x采用熟悉方法解不等式选择（ A）讨论，合并方式3,)4x（B）数形结合法-1 1 01 AB0Mx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页设|AB|=2 ，3|,2| 2.AMMBAMMB1|4MB，33|,(,0)44OMM，3,).4x评：函数与不等式结合是拼合方式，解题中采用是各个击破法。 例 5 R 上的函数f(x) 具有性质： 对于任意 xR，都有 axf(x)=b+f(x) (a,b 为常数 ,ab 0), 且 f(1)=2 ,方程 f(x)=2x恰有 1 个解。(1) 求 f(x) ，(2) 数列 an
14、 定义如下： a1=f (1)，n2,n N+时，数列 an 的前项和Sn,满足221(52),()2nnSnnf a探求 an 的通项公式。解题计划求 f(x)的解析式 ( 实质是求a,b) af(1)=b+2, 2a=b+2，至此已得到a,b 一个制约关系式。从 f(x) =2x入手分析（恰有一个解）( )2( )2 ,axf xaxxbf xbx2ax2=b+2x, 2ax2-2x-b=0 ，=0，2ab+1=0。解出 a,b 1,-1;2ab2( ).2fxx探求 an的各项的值 : a1=f(1)=2, 22221(52)2nnaSnn212(52)2nnSann1222()8,3,
15、aaaa12333()13,4,aaaaa归纳出1nan ( 补证略 ) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页 例 7ABC的三内角,A B C对边边长为, ,a b c，且, ,a b c成等比数列，3cos4B，又知32BA BC，求ac的值。解题计划：由323cos4BA BCB找出c a的值，从而先求b。寻找ac的条件。引用余弦定理2222 cos52acbaBac12ac或21ac3.ac评：这是解三角形与数列、向量结合的题目，属于拼合各单元板块的方式，解题方法是各个击破。象例 7 这样，看来综合题也不一
16、定都是大题和难题。 例 8 向量2(,1),(1, ), ,axxbx tx tR，函数( )f xa b是区间（ -1 ，1）上的增函数，求t的范围。解题计划：把( )f x的解析式显示出来232( )(1)(1),( 1,1).f xa bxxt xxxtxt x用导数为工具研究( )f x的“增性”令( )0fx2320 xxt对一切( 1,1)x成立 . 转化为一定条件下求参数取值范围的“熟题”222211323()3().333txxxxx研究函数211( )3(),( 1,1)33g xxx的值域，注意值域的右端点1,x211( 1)3( 1)5,33g5t对一切的( 1,1)x成
17、立。评：本题是板块拼合方式，解题的基本思路是各个击破，逐段化解矛盾。例1函 数223)(xaxxf的 最 大 值 不 超 过61， 对 任 意21,41x，81)(xf， 数 列)(,21011nnnafaaa：，证明：对一切11,naNnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页综合类型函数，数列，不等式交汇解题计划求 an81)21(81)41(6161)3(2ffaaf1a利用函数，研究数列an 6161)31(2323212112aaaaa已知3161021021aa可见2, 1 nn时，”11“nan成立 .
18、假设),2(111Nkkka利用223)(xxxf在310，上递增的性质1)1(1)11(2311),11()(21kkkakfafkh对任何,Nn11nan例 2. f(x) 是 R 上不恒为o 的函数，对任意a，bR，有 f（ab）=af（b）+bf（a） 。 （1）判断 f（x）的奇偶性；（2） f（2）=2，),( ,)2(Nnnfunn求数列nu前 n 项的和ns综合类型：函数，数列交汇解题计划：特值，探索f(x) 性质a=b=0：f（0）=2f（ 0）f（ 0）=0 a=b=1：f（1）=2f（ 1）f（ 1）=0 a=b=1： f（1）=0=2f（ 1）f（ 1）=0 b=1：f
19、（ a）=-f（ a）+af（ 1）= f（a）)(xf为R的奇函数，且)(xf0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页求 u1，u2，u3， )2(21)21(20)1()212(ffff,2121)21(1u，f,4121)41()2(41)41(221)412(2uffff)2(81)81(221)41()812(ffff8183)81(3u，f，猜想nnu213)数学归纳证明nnu21(略) 4）求ns1)21()21()21(212nnns例 3. 对任何, 3Nnn都有2log131212nn数列na各项
20、是正数，2,1nba时，11nnnannaa（1）证明：对任何, 3Nnn;log222nbban（2）an是否有极限？若有，写出极限值；（3）求一个正整数N， nN 时，对任何b0，都有51na综合类型：数列，不等式，极限交汇解题计划：把已知不等式写成递推不等式naaanna，annnnnn1112111利用3n时的已知条件，对上述递推不等式求和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页log22,2log11312111221nbbanbnaann用两个有同一极限的数列“夹”出na的极限log2202nbbann时，
21、0log222nbb0limnna由51na的充分条件求N10log51log251log2251222nnnbban可取102N102n时，10loglog22nn例 4 .函数)sin(cos)(xxexfx方程)(xf=0 的全部正根由小到大排列成数列xn （1）证明：数列 f(xn) 是等比数列；（2）设数列 )f(xxnn的前 n 项和为ns，求ns综合类型函数，导数，数列，极限交汇解题计划：把方程0)(xf“明显化”)( ,0sin2sin2)cossin()sin(cos)(Nkkxxexexxexxexfxxxxnx中，)(Nnnxn研究数列)(nxf精选学习资料 - - -
22、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页exfxfennenfxfnnnnhn)()()1()sin(cos)()(1(nxf是公比为e的等比数列，nnexf)()(求)(nnxfx的前 n 项和nneneees)()(3)(2)(32,1)1 ()1(12qnqqqqnn其中eq例 5. 函数 f（x）=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0 xe 时，,0)(xf可见 xe 时，xxxfln)(是减函数注意到44ln22ln，1010ln2010ln10e2.723104 aecbd 例 8函数 g(x)=x lnx 证明 : 当
23、 0aa 时, 2axx,lnx0)2ln(axF(x)为增函数F(b)F(a)=0 0)2(2)()(bagagbg考虑函数2ln)()2(2)()()(axaxgagxgxG,bax, G(a)=0 2ln)2()()(axgxgxG)l n (ln)()(axxaxgxgxa 时,0)(xGG(x)为减函数 G(b)0 时解集非空集关于 x 的不等式0122xax)0(a有解 , 求 a的取值范围a0ax2+2x-10 有解 ; a0 -1a0 或 -1a0 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2) 设 0 x1x2M,N 的横坐标221xx2122|121xxxxxxbxxabax
24、xxx2)(|21221假设存在ox，x，使bxxaxx2)(22121)()(2)(22122212121xxbxxaxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页)21()21(2211bxaxbxax)()(21xfxf)ln(21xx假设tttln1)1(2()1 , 0(21xxt考虑1)1(2ln)(tttth)1 ,0(t0)1()1() 1(41)(222tttttth可知 h(t) 是) 1 ,0(t的增函数（也是上增函数）h(t)h(1)=0 因此tttln1)1(2，此结论与题设（）矛盾1l|
25、2l例 10.某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400% ，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20% ，以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式13710)(2ttatM（其中a为鱼苗成本，Ntt且2） 。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30 元/斤，成鱼市场价7 元/斤） 。解：设第n年鱼的产值na为最高。p为鱼苗总重量，则appaap2021263)1011)(41(7301且，.200441202163)1011)(341()1011)(341)(41(7122apapaapapa2000
26、13441200132163)1011)(341()1011)(341)(341)(41(722323),1011)(341 (334aa，.109)341(11nnnaa当. 4,363 ,1naannn时即第 4 年鱼的产值最高；另一方面，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页.43)27(1013710)(22tattatM当3t或 4 时，.10)(minatM下面比较第4 年比第 3 年增加的产值G与该年投入的费用10a的大小。若G 0则取4t；若,10aG则取.3t.101020001911301334a
27、aaaaG取3n，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。例 11. 过椭圆的左焦点F1的弦 AB ，过 A，B 分别向左准线引垂线，垂足分别为M，N，当线段 MN 最大时，求直线AB 的方程。解 ： 由 已 知 方 程 得F1（ 4 ， 0 ）， 设 直 线AB方 程 ： y = tg(x 4), 代 入 椭 圆 方 程=,当 sin时， |MN| 最大，此时直线方程为：. 例 12. 已知椭圆C：(ab0)的长轴两端点为A、B，（1）过焦点F 作垂直于长轴的弦PP，当 tg APB=时，求 C 的离心率；（2）如果 C 上存在一点Q，且AQB=1200，求 C 的离心率的范围。解： (
28、1)设 F 为右焦点； P 在 x 轴下方，横坐标为c，则纵坐标为. kPA=，kPB=. tg APB=， e=. (2)设 (x，y)，由对称性，不妨设在x 轴上方，即y0. kAQ=，kBQ=，=tg AQB=. =(x2y2a2)2ay=0. 此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或.由 y=0 ，得Q 与A 或B 重合，舍去.当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页时，由 Q 在椭圆上半部. b， e. 例 13.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变
29、化的函数式， 如果存入本金1000 元，每期利率 2.25% ， 试计算 5 期后的本利和是多少？解：已知本金为a元1 期后的本利和为)1(1raraay；2 期后的本利和为22)1 ()1()1 (rarraray；3 期后的本利和为33)1(ray；x期后的本利和为xray)1(将1000a（元），r=2.25%, 5x代入上式得550225.11000%)25. 21 (1000y由计算器算得68.1117y（元）答：复利函数式为xray)1 (，5 期后的本利和为1117.68 元评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受。例 14. 某乡镇现在人均一年
30、占有粮食360 千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2% ，粮食总产量平均每年增长 4% ，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式。分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体解答可以依照例子。解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 。经过 1 年后该乡镇粮食总产量为360M （1+4% ） ，人口量为M（1+1.2% ）则人均占有粮食为%)2.11 (%)41(360MM；经过 2 年后：人均占有粮食为22%)2. 11(%)41(360MM经过x年后：人均占有粮食xxMMy%)2. 11(%)41 (360即
31、所求函数式为：xy)012.104.1(360评述：这是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y可以用下面的公式，即xpny)1 (解决平均增长率的问题，常用这个函数式。例 15. 购买一件售价为5000 元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同，购买后1 个月付款一次，过1 个月再付一次，如此下去，到第12 次付款后全部付清.如果月利率为0.8% ，每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金） ，那么每期应付款多少（精确到1 元）？解：设每期付款x元，根据题意，得到.008.15000008.1008.1008.112112xxxx精选学习
32、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页所以12112008.15000)008.1008.1008.11(x. 由等比数列前n项和的公式得1212008.15000008.11008.11x1008.1008.0008.150001212x，由计算器算得x 439（元） . 答：每期应付款约439 元. 解法二：设每期付款x元，第n期后欠款数记作an那么，第 1 期后的欠款数为xa)008.01 (50001第 2 期后的欠款数为xaa)008.01(12)008.11 ()008.1(50002x第 3 期后的欠款数为xa
33、a)008.11 (23)008.1008.11 ()008.1(500023x. 第 12 期后的欠款数为xaa)008. 11(1112).008. 1008.1008.11()008.1(500011212x因为第 12 期全部付清，所以a12=0 即0)008.1008.1008.11()008.1(500011212x，,008.15000008.11008.111212x解得x 439 （元） . 答：每期应付款约439 元. 例 16.已知数列 an满足 a12，对于任意的 n N，都有 an0，且(n1)a2nanan1na21n0，又知数列 bn:b12n11 (1)求数列
34、an的通项 an以及它的前 n 项和 Sn；(2)求数列 bn的前 n 项和 Tn；(3)猜想 Sn和 Tn的大小关系，并说明理由 . 解： （）0) 1(),(02112nnnnnnaaaanNna0)()(1(121naaaannnnn。.1, 1) 1(2)12(1) 1(2) 1(4111nnnnnnnaann0na，11nnaann。即nnaann11。122332211aaaaaaaaaannnnnnnnnnnnn122332211。naan1，又21a，nan2 。)321 (221naaaSnnnnnn22)1(2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
35、 - - - - - - -第 20 页，共 25 页（）121nnb，nbbbbTnnn)2222(1210321nn12)12(20120n。（）12)() 12(22nnnnSTnnnn当1n时，01122111ST，11ST；当2n时，011222222ST，22ST；当3n时，021322333ST，33ST；当4n时，011422444ST，44ST；当5n时，061522555ST，55ST；当6n时，0271622666ST，66ST。猜想：当5n时，nnST。即0122nn。亦即122nn。下面用数学归纳法证明：1当5n时，前面已验证成立；2假设)5(kkn时，122kk成立
36、，那么当)5(1 kkn时，2) 1(22222221kkkkk252kk222kk1) 1(2k。当)5(1 kkn时，1) 1(221kk也成立。由以上1、2可知，当5n时，有nnST；当1n时，11ST；当52n时，nnST。五、快速提高高考解题能力的十大诀窍高考解题能力的提高上有没有类似的“诀窍、捷径”呢？有！但使用这些“诀窍”的前提是你必须能付出汗水和代价，这样的学习 “诀窍” 才有效果。 我们不提倡题海战术，是防止同学陷入题海中不能自拔，盲目无效地大量重复做题而被题海“淹死”。下面介绍一些北京大学、清华大学的高考状元们快速提高解题能力的捷径，以帮助同学们少走弯路，跳出题海。知识是此
37、岸，能力是彼岸，中间隔着一条思维之河。快速提高解题能力的十大诀窍就是帮助同学们由此岸驶向彼岸的船。诀窍一：建立自己的小题库。新题是永远做不完的，把自己做过的错题、妙题、单元中有代表性的典型题、 试卷中的压轴题、疑问题、 热点题、 老师在黑板上板书的重要例题、参考资料中有钻研价值的好题，精心挑选出来， 剪辑粘贴汇编成自己的小题库。建立自己的的小题库，就是把题海中寻觅到的各色美丽“贝壳”串起来，可以慢慢从“贝壳”中欣赏吸取解题的美感和营养。小题库里的习题都是自己认真思考过的，深深烙上自己思维的痕迹，浓缩沉淀了自己解题智慧的精髓，和书店琳琅满目的参考资料相比，更是有不可替代的使用价值。每当考试前翻一
38、翻，对预热启动解题思维、丰富解题感很有帮助。特别是看到自己做出这么好的题目，心底会产生一种莫名的成就感，对考试解题的信心油然而生。诀窍二：养成题后做总结的好习惯。在考场上，同学们或许有过思如泉的经历，看到题目稍一分析就打开思维的阀门，找到解题的钥匙。这种“题思如泉”的超常发挥，根源于题后经常做反思所积累的丰富题感。提高考场上快速解题能力的途径无非有两种：一种是以量取胜的题海战术，另一种是靠质靠精取胜的题后总结。请同学们深思下面两个问题：一份高考试卷上，有20 多道题目。如果你考试前做了几千道练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页
39、，共 25 页习题，高考中能碰上几道平时做过或者与此相类似的题目？这样碰题押题成功的概率有多大？解答一张高考试卷，要用上几十种不同的分析方法、解题方法和解题技巧。用自己摸索出来几十种解题规律和方法去解答高考试卷，解题成功率和只靠大量做题的题海战术相比，哪一种更有成功的把握？为什么只顾埋头做题忽略题后总结的同学，在考试前会有一种心中茫然不踏实的感觉？打这样一个比喻：大量做题好比是播洒庄稼的种子，并管理施肥。题后的收获总结，对解题规律的归纳梳理就是收割成熟的稻谷，使之“颗粒归仓”。在付出大量的辛勤汗水之后，不去收获丰收的粮食各种宝贵的解题心得，自然两手空空，胸无成竹。这方面的教训是很多的。清华大学
40、电子工程系的李晶晶同学说：高三时我属于那种惟恐做题不够的类型，将所能找到的几乎所有关于物理竞赛的书都翻看过。然而有一次，一位同学告诉我，他的一位同学在另一所中学的理科实验班里，也是学物理竞赛，他仅仅只是钻研过一本竞赛参考书，很认真地对每道题都反复思索过，总结过，甚至常常在原题基础上改写一些新题，他的物理竞赛成绩却是最好的（1999 年物理国际奥林匹克金牌）。那本书我也见过，是本很好的教材，但是我看过，做完也罢了。当时我并未在意这位同学的话，直到竞赛结束后，我彻底静下心来，回头看看以前读过的书和做过的题，才感觉到如果当初不那浮躁，不那么急切地一心只想往前面赶，如果当初真正做到一题有一题的收获，真
41、正做到一步一个脚印，恐怕我的基础要牢靠很多，进步反而要快得多，也不会有那种付出精力却没有收获的感觉。多做题后总结积累能提高解题能力的原因在于：某一类题型做得再多，仅是停留在肤浅的表层思维上，借助题后收获的反思归纳，找出解题规律之后，就在表层思维上再拓深一步，变成大脑的深层思维，烙印在潜意识中。对解题后收获心得进行总结积累大致有以下几种：解题总结的方式有每周总结、考后总结、阶段总结、单元总结、学科总结等。题后收获总结的内容可以按专题形式记录在笔记本里，也可以用小随笔、批注、点评、感受、提示、符号等形式补充书写在习题的空白之处。考前翻一翻，回味一下，随时触发解题的灵感。记住： “题海无边，总结是岸
42、”， “题海泛游，总强是舟”。养成题后闭目静思三分钟的好习惯，胜过苦苦做题三大本。诀窍三：记题。这是一种培养解题能力的“笨”办法。“笨”办法自有妙和。前面已介绍过一位高考状元用大量记题的“笨”办法攻克立体几何的难关。题做多了，都会有似曾相识的感觉。而且，同学们在大量做题时会体验到这一点：某一单元的习题就是把有限的几种题型、有限的几种解题方法、有限的几种解题技巧和思路以知识考点为线索串联组合而成。搞清这一点，就可以理解记题的必要性。理科的记题效果比文科的记题效果要好一些，这是因为理科学习内容有很强的迁移性。下面介绍两位高考骄子的记题经历：北京大学经济学院的黄敏同学说，数学惟有大量做题，并大量记题
43、型。我曾戏谑地称之为“笨人有笨办法”。做题，培养题感与技巧；记题型，遇到同类型时套上，效果很好。政史不分家，学习时相互渗透运用，用唯物主义辩证法分析历史，用历史唯物主义阐述政治，二者完美结合。同时运用不同学科知识，效果很好。文科试题有很强的连续性和脉络性，很多选择题都靠每一感觉。那似乎是一种神奇的力量在引导我们，不必究根底问为什么。对这种感觉出来的答案我常称之为“不求甚解”。西安交通大学机械工程学院的杨帆同学说，做题之后做一个总结，取其精华，将妙例收录。这需要我们平时必须做够一定数量的题目。以前有“读记唐诗三百首，不会作诗也会吟”，而现在我要说“熟记理科三百题，不会作题也会解”，这便是告诉大家
44、不要将记忆全部认为是文科才有，而理科只须理解。理科记忆的东西也不少，脑中必须有一些做题的思路，或者说是模式供给的东西，也就是是说，当你遇到一个题目时，马上会意识到它要考查什么内容，从而给出正确的解答思路。尤其是在考试中，对我们普通同学来说，时间并不充足，我们没有时间去分析每个题目，如果我们练出这种“慧眼识金”的本领，对我们来说是再好不过的了，这样我们不需要再“摸黑探求”了。记题要精挑细选。教材上的例题、高考的典题、资料上的佳题、老师讲述的精题、考试中的错题，均可作为记题的首选。记题要和前面介绍的建立小题库的办法配合起来使用，此类习题记住领会几题可带动搞懂一大片相似的习题。同时还要注意：记题要有
45、代表性。决不记偏题、怪题、冷题。掌握熟练内容的题目可少记或不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页记，薄弱章节的题目可多记要分类按知识点、章节、单元记题。先彻底弄懂后再记。熟记后要反复揣摩解题方法，探究解题规律，使之融化在脑海里。以物理复习中的记题做一个数学分析，物理复习共有六大单元，每一个单元精选出三四十道有代表性的典题，共有二百多道高质量的好题熟记于心，这二百多道典题反复深思吃透之后，大脑酝酿出丰富的物理题感，摸索各类题型的解题规律，考试中的解题灵感就有了“活水源头”，对付高考卷面上占80%份量的基础题和中档题应
46、是绰绰有余。诀窍四：每天定量做小题。填空题、选择题、判断题、改错题等，题型分值虽小，却极具技巧性。“麻雀虽小，五脏俱全” 。一道好的小题，往往将知识、技巧、方法、基础、思路、考点等内容熔于一炉。一道大题的分值和三道小题相当，但后者花费时间少，涉猎范围广。拳不练手生，曲不练口生，许多高考状元在复习时间极为紧张的情况下，每天宁肯不做大题也要坚持做几道小题。诀窍五：分类做题。分类做题要比一揽子做题效果好。一位教育专家曾做过如此对比：甲、乙两班均做 100 道习题，甲班把这100 道习题全部打乱，每天随机抽出20 题做完。乙班则按单元知识点分类，按顺序每天做20 道，五天后，两班同时测试，乙班比甲班要
47、高出许多。分类做题易把题目琢精琢深理透，一揽子做题犹如蜻蜓点水，泛泛而过。所以你看到周围同学综合套题做了一大张又一大张，表面看起来很刻苦，其收获还不如做几个分类练习的收获呢。北京大学法律私法的刘勇同学说，我在高三学习做题时，发现几点特别重要：首选，专题训练效果大于综合训练效果。专题训练有利于对专题知识的理解和把握，而综合训练题只不过是用来检验学习效果和适应高考， 它对水平的提高是极其有限的，综合训练到高考前做几套就行了，做多了反而浪费精力和时间。其次，应对试卷习题目价值分类，好的仔细研究，次的大概做一下就行了。再次的挑选几道有价值的练习一下扔掉算了。诀窍六：会鉴别挑选有价值的习题集。一位美国教
48、育学者说：“学习中最珍稀的资源仅有两种时间和注意力” 。一道道好题，犹如一篇篇美文启迪我们的心智；一道道名题，就是题海中一颗颗珍珠备受老师和考生的推崇；一道道精题，好像一枚枚橄榄一样越思越有味。现在习题集、参考资料、复习用书铺天盖地，里面习题良莠不齐，沙珠混杂。学会鉴别挑选有价值的习题，就是去寻找题海中的珍珠，把时间花在刀刃上，做一题有一题的收获。诀窍七：从不同角度研究揣透历年的高考试卷。高考试题是命题专家们智慧的结晶，其试题内容权威性强、含金量之高是那些靠剪刀加浆糊粗制滥造的低劣复习资料所望尘莫及的。历年高考试题，是题海中的名品。如果考生们能真正把历年高考试题研究透彻，就等于提高摸到来年高考
49、试题的脉搏。把每年高考试题的精髓融化在脑海里，比做十本东拼西凑的习题集还有价值，特别是积累起来那种对高考试题难以名状，却内心一致默契的题感，更是考场上超常发挥、迸发灵感的源泉之一。北京大学社会科学系的欧阳觅剑同学说：高三的时候，我看了历年试卷，前后看了三遍，先是分年度看，然后分学科把每年的看一遍，最后分题型看，每一次看，我都有新的感觉，都对高考试题有更深的把握。对高考试题保持一种研究的态度，我去发现其中的规律，这样高考试题不再是决定我前途的“判官”，而是我的“研究对象”，我用我的思维是解剖它，而不是它支配我的行动。我每次分析高考试题都有一点收获，而每一点收获又使我有一种快感。这种畅快的心情便化
50、作了必胜的信心。诀窍八： 小专题练习。 综合性练习便于发现复习中隐藏很深的问题，一般用于阶段性复习结束的验收。小专题练习是围绕一个特定内容进行的强化性练习，其好处是有利于集中时间啃“硬骨头”，提高做题效率。小专题练习的题目，一般是针对自己复习中薄弱内容专门攻关。如立体几何的证明、复数的意义、中国近代史、细胞基因、当今热点问题等，都宜采用小专题形式练习，一块一块分而歼之，既可啄精吃透，一劳永逸，又可节省宝贵的复习时间。诀窍九：适当放弃高难度习题，专攻基础题和中档题。高考卷面上，中档题和基础题份量点80%。专攻基础题和中档题，不仅见效快，高考成功可能性有把握，而且极易树立高考冲刺的信心。同学们真正