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1、高三专题复习导数在解题中常用的有关结论需要熟记 ：(1) 曲线( )yf x在0 xx处的切线的斜率等于0()fx，切线方程为000()()()yfxxxf x(2) 假设可导函数( )yf x在0 xx 处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3) 对于可导函数( )fx，不等式( )fx00（）的解集决定函数( )f x的递增减区间。(4) 函数( )f x在区间 I 上递增减的充要条件是：xI( )fx0(0)恒成立(5) 函数( )f x在区间 I 上不单调等价于( )f x在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程( )0fx在区间I 上有实根且为非二重根。 假设( )fx为二次函
2、数且I=R，则有0 。(6)( )f x在区间 I 上无极值等价于( )f x在区间在上是单调函数，进而得到( )fx0或( )fx0在 I 上恒成立(7) 假设xI，( )fx0恒成立，则min( )f x0; 假设xI，( )f x0恒成立，则max( )f x0(8) 假设0 xI，使得0()f x0，则max( )f x0；假设0 xI，使得0()f x0，则min( )f x0. (9) 设( )f x与( )g x的 定 义 域 的 交 集 为D 假 设xD ( )( )f xg x恒成 立 则 有min( )( )0f xg x(10) 假设对11xI、22xI，12()()f
3、xg x恒成立，则minmax( )( )f xg x. 假设对11xI，22xI，使得12()()f xg x,则minmin( )( )f xg x. 假设对11xI，22xI，使得12()()f xg x，则maxmax( )( )f xg x. 11已知( )f x在区间1I上的值域为 A,，( )g x在区间2I上值域为 B，假设对11xI,22xI，使得1()f x=2()g x成立，则AB。(12) 假设三次函数 f(x) 有三个零点， 则方程( )0fx有两个不等实根12xx、 ，且极大值大于 0，极小值小于 0. (13) 证题中常用的不等式 : ln1 (0)xxx ln+
4、1(1)xxx（） 1xex 1xex ln1(1)12xxxx 22ln11(0)22xxxx考点一：导数几何意义：角度一求切线方程1(2014 洛阳统考 )已知函数 f(x)3xcos 2xsin 2x，af4，f(x)是 f(x)的导函数，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页过曲线 yx3上一点 P(a，b)的切线方程为 () A3xy20 B4x3y10 C3xy20 或 3x4y10 D3xy20 或 4x3y10 解析： 选 A由 f(x)3xcos 2xsin 2x 得 f(x)32sin 2x2cos
5、 2x， 则 af432sin22cos21.由 yx3得 y3x2，过曲线 yx3上一点 P(a，b)的切线的斜率 k3a23123.又 ba3，则 b1，所以切点 P 的坐标为 (1,1)，故过曲线 yx3上的点 P 的切线方程为 y13(x1)，即 3xy20. 角度二求切点坐标2(2013 辽宁五校第二次联考 )曲线 y3ln xx2 在点 P0处的切线方程为 4xy10，则点 P0的坐标是 () A(0,1)B(1，1) C(1,3) D(1,0) 解析： 选 C由题意知 y3x14，解得 x1，此时 41y10，解得 y3，点P0的坐标是 (1,3)角度三求参数的值3已知 f(x)
6、ln x，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为 (1，f(1)，则 m等于() A1 B3 C4 D2 解析： 选 D f(x)1x，直线 l 的斜率为 kf(1)1，又 f(1)0，切线l 的方程为 yx1. g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为 (x0，y0)，则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0，当 x (ln 2，)时，g(x)0. f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220， f(x)0， x10 得，xa6；由 F(x)0 得，a2x0)，f(x)x56xx
7、2 x3x.令 f(x)0，解得 x12，x23. 当 0 x3 时，f(x)0，故 f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当 2x3 时，f(x)0， x1. 当 0 x0；当 x1 时，f(x)0， f(x)在区间(1，)上为增函数，不合题意当 a0 时，f(x)0(x0)等价于 (2ax1) (ax1)0(x0)，即 x1a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页此时 f(x)的单调递减区间为1a， . 由1a1，a0，得 a1. 当 a0)等价于 (2ax1) (ax1)0(x0)，即 x12a，此时 f(x
8、)的单调递减区间为 12a， . 由12a1，a0，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)f(x)2x， 且 g(x)在区间 (2， 1)内存在单调递减区间， 求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)x2axb，由题意得f 0 1，f 0 0，即c1，b0.(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当 x (，0)时，f(x)0，当 x (0，a)时，f(x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (，0)，(a，)，单调递减区间为 (0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在 x (2，1)，使不等式 g(x)x2ax20 成立，即 x (2，1)时，a0，f(
9、x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当 a0 时，令 f(x)0，得 exa，即 xln a. x (，ln a)，f(x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在 (ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值典例已知函数 f(x)ln xax(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0时，求函数 f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)1xa(x0)，当 a0 时，f(x)1xa0，
10、即函数 f(x)的单调增区间为 (0，)当 a0 时，令 f(x)1xa0，可得 x1a，当 0 x0；当 x1a时，f(x)1axx0，故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a， . (2)当1a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间 1,2上是减函数，f(x)的最小值是 f(2)ln 22a. 当1a2，即 0a12时，函数 f(x)在区间 1,2上是增函数，f(x)的最小值是 f(1)a. 当 11a2，即12a1 时，函数 f(x)在 1，1a上是增函数，在1a，2 上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，当12aln 2 时，最小值是 f(1)a；当 ln 2a1
11、 时，最小值为 f(2)ln 22a.综上可知，当 0a0)，假设函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值解：(1)f(x)ax2bx，函数f(x)在 x1 处与直线 y12相切，f 1 a2b0，f 1 b12，解得a1，b12.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页(2)f(x)ln x12x2，f(x)1xx1x2x，当1exe 时，令 f(x)0 得1ex1；令 f(x)0，得 10)的导函数 yf(x)的两个零点为 3 和 0. (1
12、)求 f(x)的单调区间；(2)假设 f(x)的极小值为 e3，求 f(x)在区间 5， )上的最大值解(1)f(x)2axb ex ax2bxc exex 2ax2 2ab xbcex，令 g(x)ax2(2ab)xbc，因为 ex0，所以 yf(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc 的零点，且 f(x)与 g(x)符号相同又因为 a0，所以 3x0，即 f(x)0，当 x0 时，g(x)0，即 f(x)5f(0)，所以函数 f(x)在区间 5，)上的最大值是 5e5. 针对训练 已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为 l：3xy10，假设 x2
13、3时，yf(x)有极值(1)求 a，b，c 的值；(2)求 yf(x)在3,1上的最大值和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页解：(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得2ab0，当 x23时，yf(x)有极值，则 f230，可得 4a3b40，由，解得 a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以 f(1)4.所以 1abc4.所以 c5. (2)由(1)，可得 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令 f(x)0，解之，得 x12，x223
14、. 当 x 变化时， f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x 3(3，2)22，232323，11 f(x)00f(x)81395274 所以 yf(x)在3,1上的最大值为 13，最小值为9527. 考点七：利用导数研究恒成立问题及参数求解典例(2013全国卷 )设函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)假设曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x2. (1)求 a，b，c，d 的值；(2)假设 x2 时，f(x)kg(x)，求 k 的取值范围解(1)由已知得 f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4. 而 f(x)2
15、xa，g(x)ex(cxdc)，故 b2，d2，a4，dc4. 从而 a4，b2，c2，d2. (2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数 F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则 F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得 F(0)0，即 k1. 令 F(x)0 得 x1ln k，x22. ()假设 1ke2，则2x10.从而当 x (2，x1)时，F(x)0；当 x (x1，)时，F(x)0，即 F(x)在(2，x1)上单调递减，在 (x1，)上单调递增，故 F(x)在2，)上的最小值为F(x1)而 F(x1)2x12x214x1
16、2x1(x12)0. 故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立()假设 ke2，则 F(x)2e2(x2)(exe2)从而当 x2 时，F(x)0，即 F(x)在(2，)上单调递增，而 F(2)0，故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立()假设 ke2，则 F(2)2ke222e2 (ke2)0.从而当 x2 时，f(x)kg(x)不可能恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页综上， k 的取值范围是 1，e2针对训练 设函数 f(x)12x2exxex. (1)求 f(x)的单调区
17、间；(2)假设当 x2,2时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为 (，)， f(x)xex(exxex)x(1ex)，假设 x0，则 f(x)0；假设 x0，所以 f(x)0，则 1ex0，所以 f(x)0. f(x)在(，)上为减函数，即 f(x)的单调减区间为 (，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上单调递减故f(x)minf(2)2e2， mm恒成立故 m 的取值范围为 (，2e2)考点八、 利用导数证明不等式问题针对训练 (2014 东北三校联考 )已知函数 f(x)12x213ax3(a0)，函数 g(x)f(x)ex(x1)，函数
18、 g(x)的导函数为 g(x)(1)求函数 f(x)的极值；(2)假设 ae，()求函数 g(x)的单调区间；()求证： x0 时，不等式 g(x)1ln x 恒成立解：(1)f(x)xax2ax x1a，当f(x)0时，x0 或 x1a，又 a0，当x (，0)时，f(x)0；当 x1a， 时，f(x)0， f(x)的极小值为 f(0)0，f(x)的极大值为f1a16a2. (2) ae， g(x)12x213ex3ex(x1)，g(x)x(exex1)()记 h(x)exex1，则 h(x)exe，当 x (，1)时，h(x)0，h(x)是增函数， h(x)h(1)10，则在 (0，)上，
19、g(x)0；在(，0)上，g(x)0 时，g(x)x(exex1)1ln x? exex11ln xx，由()知，h(x)exex11，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页记 (x)1ln xx(x0)，则 (x)1xx，在区间 (0,1)上， (x)0， (x)是增函数；在区间 (1，)上， (x)0， (x)是减函数， (x) (1)0，即 1ln xx0，1ln xx1， exex111ln xx，即 g(x)1ln x 恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页