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1、第1页 共 18 页6.不等式选讲6.1 均值不等式在证明中的应用1. 1已知, ,a bRx yR，求证：222xyxyabab；2已知实数,x y满足：2221xy，试利用 1求2221xy的最小值。1证：2222222222xybxayabxyxyxyxyabab222xyxyabab当且仅当xyab时，取等号；2解：222222222212121922xyxyxy，当且仅当2213xy时，2221xy的最小值是9。考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2 绝对值不等式6.2.1 单绝对值不等式2. 已知函数254 ,0( )22 ,0 xxxf xxx假设函数( )yf
2、xa x恰有4个零点，则实数a的取值范围为 _.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页第2页 共 18 页答案：(1,2)解析：分别作出函数( )yf x与|ya x的图像，由图知，0a时，函数( )yfx与|ya x无交点，0a时，函数( )yf x与|ya x有三个交点，故0.a当0 x，2a时，函数( )yfx与|ya x有一个交点，当0 x，02a时，函数( )yfx与|ya x有两个交点，当0 x时，假设yax与254,(41)yxxx相切，则由0得：1a或9a舍，因此当0 x，1a时，函数( )yf x与|
3、ya x有两个交点，当0 x，1a时，函数( )yf x与|ya x有三个交点，当0 x，01a时，函数( )yf x与|ya x有四个交点，所以当且仅当12a时，函数( )yf x与|ya x恰有4个交点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页第3页 共 18 页考点：单绝对值不等式3. 存 在0 x，使 得 不 等 式22xxt成 立 ， 则实 数t的 取值 范 围 为_答案：9,24解析：不等式22xxt，即22xtx，令11,yxty的图象是关于xt对称的一个V字形图形，其象位于第一、 二象限；222yx，
4、是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在0 x，使不等式22xtx成立，则1y的图象应该在第二象限和2y的图象有交点，两种临界情况，当0t时，1y的右半部分和2y在第二象限相切：1y的右半部分即1yxt，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页第4页 共 18 页联列方程22yxtyx，只有一个解；即22xtx，即220 xxt，1480t，得：94t；此时1y恒大于等于2y，所以94t取不到；所以904t；当0t时，要使1y和2y在第二象限有交点，即1y的左半部分和2y的交点的位于第二象限；无需联列方程
5、，只要1y与y轴的交点小于2即可；1ytx与y轴的交点为(0, ) t，所以2t，又因为0t，所以02t；综上，实数t的取值范围是：924t；故答案为：9,24考点：单绝对值不等式6.2.2 同系数绝对值相加型不等式4. 已知函数( )|21|2|fxxxa，( )3g xx.1当2a时，求不等式( )( )f xg x的解集；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页第5页 共 18 页2设1a，且当1,)2 2ax时，( )( )f xg x，求a的取值范围。1当2a时，令15 ,21212232,1236,1x xy
6、xxxxxxx，作出函数图像可知，当(0,2)x时，0y，故原不等式的解集为02xx；2依题意，原不等式化为13ax，故2xa对1,2 2a都成立，故22aa，故43a，故a的取值范围是41,3. 考点：同系数绝对值相加型不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页第6页 共 18 页6.2.3 同系数绝对值相减型不等式5. 已知函数( )25f xxx1证明：3( )3;f x2求不等式2( )815f xxx的解集。13,2( )2527,253,5xf xxxxxx当25x时，3273x，所以，33fx2由 1可
7、知当2x时，2( )815f xxx的解集为空集；当25x时，2( )815f xxx的解集为|535xx当5x时，2( )815f xxx的解集为|56xx综上：不等式2( )815f xxx的解集：|536xx考点：同系数绝对值相减型不等式6.2.4 不同系数绝对值相加减型不等式6. 设函数212fxxx1求不等式2fx的解集；2假设211,2xR fxtt恒成立，求实数t的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页第7页 共 18 页1由题意得13,21( )31,223,2xxf xxxxx当12x时，不等
8、式化为32x，解得55xx，当122x时，不等式化为312x，解得112xx，当2x时，不等式化为32x，解得12xx，综上，不等式的解集为?15x xx2由 1得min52fx，假设xR，2112fxtt恒成立，则只需2min51122fxtt，解得152t，综上，t的取值范围为1,52考点：不同系数绝对值相加减型不等式6.3 已知绝对值不等式解求参数7. 设函数( )3 ,0f xxax a(1)当1a时，求不等式( )32f xx的解集；(2)如果不等式( )0f x的解集为1x x，求a的值。1当1a时，( )32f xx可化为|1|2x。由此可得3x或1x。故不等式( )32f xx
9、的解集为|3x x或1x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页第8页 共 18 页 (2) 由( )0f x得30 xax此不等式化为不等式组30 xaxax或30 xaaxx即4xaax或2xaaa因为0a，所以不等式组的解集为|2ax x由题设可得=-12a，故2a考点：已知绝对值不等式解求参数6.4 已知绝对值不等式解的范围求参数范围8. 已知函数( )|2 |fxxax.1当3a时，求不等式( )3fx的解集；2假设( )|4|f xx的解集包含1,2，求a的取值范围 . 答案：1当3a时，52 (2)( )
10、 |3|2|1(23)25(3)x xf xxxxxx所以不等式( )3f x可化为2523xx，或2313x，或3253xx解得1x或4x因此不等式( )3f x的解集为|1x x或4x2由已知( )|4 |f xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页第9页 共 18 页即为|2 | |4 |xaxx，也即| |4 |2 |xaxx假设( )|4 |f xx的解集包含1,2，则1,2x，| |4|2 |xaxx，也就是1,2x，| 2xa，所以1,2x，22xaxa，从而1222aa，解得30a因此a的取值范围为
11、3,0a. 考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减6.5 含绝对值不等式的恒成立问题9. 已知函数( )2121f xxx，1假设对任意的x有( )f xa成立，求a的取值范围；2假设不等式12( )02abaab f x，对于任意的,a b都成立，求x的取值范围。1根据题意 ,a小于等于( )f x的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页第10页 共 18页由14 ,211( )2,2214 ,2x xf xxx x可得min( )2f x所以2a2当0ab即ab时，20( )0bf
12、 x恒成立，xR当0ab时，由绝对值不等式得性质可得2(2)abaabaab，当且仅当(2)0ab a时取，21abaab恒成立，12( )02abaab f x，21( )2abaf xab1( )12f x，( )2f x1122x考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式6.6 含绝对值不等式的能成立问题10. 已知函数13fxxx .(1)求x的取值范围 ,使fx为常数函数 . (2)假设关于x的不等式0fxa有解,求实数a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页第11页 共 1
13、8页(1)22,3134, 3122,1xxfxxxxxx则当3,1x时,fx为常数函数 . (2)方法一:如图,结合(1)知函数fx的最小值为4, 实数a的取值范围为4a . 方法二:1313xxxx; 134xx, 等号当且仅当3,1x时成立. 得函数fx的最小值为4,则实数a的取值范围为4a . 考点：含绝对值不等式的能成立问题6.7 利用绝对值的三角不等式放缩求最值11. 已知实数,x y满足：11|,| 2|,36xyxy求证：5|18y证明：3|=|3 |= |22| 22yyxyxyxyxy，由题设11|,| 2|,36xyxy1153|=366y. 5|18y. 精选学习资料
14、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页第12页 共 18页考点：绝对值的三角不等式6.8 数形结合在含参绝对值不等式中的应用12. 已知函数22( )69816f xxxxx1求( )(4)f xf的解集；2设函数( )(3)g xk x，kR，假设( )( )f xg x对任意的xR都成立，求实数k的取值范围122( )69816f xxxxx22(3)(4)|3|4 |xxxx，( )(4)f xf，即|3|4|xx9, 4,349xxx 或43,349xxx 或3,349,xxx解得不等式：5x；：无解；：4x，所以( )(
15、4)f xf的解集为|5x x或4x2( )( )f xg x即( )|3|4 |f xxx的图象恒在( )(3)g xk x图象的上方，可以作出21,4,( ) |3|4|7,43,21,3xxf xxxxxx的图象，而( )(3)g xk x图象为恒过定点(3, 0)P，且斜率k变化的一条直线，作出函数( ),yf x( )yg x图象，其中2,PBk( 4,7)A，1PAk，由图可知，要使得( )fx的图象恒在( )g x图象的上方，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页第13页 共 18页实数k的取值范围应该
16、为12k考点：同系数绝对值不等式相加型、数形结合在含参绝对值不等式中的应用7.证明不等式的基本方法7.1 比较法证明不等式13. 设不等式| 21|1x的解集是M，,a bM1试比较1ab与ab的大小；2设max表示数集A的最大数2222max,abhaabb求证：2.h答案： 11;abab2见解析解析： 1先解出|01 .Mxx(1)()(1)(1)0ababab. 问题得证 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页第14页 共 18页22222max,abhaabb可知2222,abhhhaabb, 所以根据
17、不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出38h. 故2h. 考点：比较法证明不等式7.2 综合法证明不等式7.3 分析法证明不等式14. 已知( )11f xxx,不等式( )4f x的解集为M.1求M；2当,a bM时,证明:24abab. 1解不等式：114xx；124xx或1124x或124xx12x或11x或21x，22x2,2M. 2需证明：22224(2)816aabba bab，只需证明222244160a bab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页第15页 共 18页即需证明22(4)(
18、4)0ab2222,( 2,2)4,4(4)0,(4)0a babab22(4)(4)0ab，所以原不等式成立 . 考点：分析法证明不等式7.4 反证法证明不等式15. 设0,0.ab且11.abab证明：12ab；222aa与22bb不可能同时成立 . 由11=abababab，0,0.ab得1ab1由基本不等式及1ab，有22abab，即2ab；2假设22aa与22bb同时成立，则由22aa及0a得01a，同理01b，从而1ab，这与1ab矛盾，故22aa与22bb不可能同时成立 . 考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
19、总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页第16页 共 18页8.5 放缩法证明不等式(多为数列的题)16.已知数列na的前n项和nS满足2nnSan1求数列na的通项公式；2设1nnnaba，记数列nb的前n和为nT，证明：1032nnT【答案】121nna； 2详见解析 .【解析】试题分析：1考虑到nnnSSa11，因此可以利用条件中的式子得到数列na的一个递推公式，从而即可求解；2由 1可知112121nnnnnaba，211222nnb，从而可证02nnT，进一步放缩可得211122223 23 2nnnn，求和即可得证.试题解析：12nnSan，当1n时，111121
20、1Saaa，又1121nnSan，与2nnSan两边分别相减得11221nnnaaa，得1121nnaa，又112a，数列1na是以2为首项，2为公比的等比数列，12nna，得21nna；112121nnnnnaba，211222nnb，34211102222222nnnT， 得02nnT，又211122223 23 2nnnn，2111123 222nnnT11133 23n，1032nnT.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页第17页 共 18页9.柯西不等式9.1 柯西不等式的代数形式17. 已知关于x的不等
21、式xab的解集为| 24xx1求实数,a b的值；2求12atbt的最大值 . 1由xab，得baxba则24baba，解得3,1.ab23123 4tttt2222(3)1 (4)()tt2 44tt当且仅当413tt即1t时等号成立，故min3124tt. 考点：柯西不等式的代数形式9.2 一般形式的柯西不等式18. 已知函数( )|2|,fxmxmR且(2)0f x的解集为1,1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页第18页 共 18页(1)求m的值; (2)假设, ,a b cR且111,23mabc求证239.abc(1)(2)0,f xmxxm0,(2)0mmxmf x的解集是1,1故1m. (2)由(1)知1111, , ,23a b cRabc由柯西不等式得211123(23 )()23111(23)9.23abcabcabcabcabc考点：一般的柯西不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页