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1、实用标准 文档大全 6.不等式选讲 6.1 均值不等式在证明中的应用 1.（1）已知,a bRx yR，求证：222xyxyabab；（2）已知实数,x y 满足：2221xy，试利用（1）求2221xy的最小值。（1）证：2222222222xybxayabxyxyxyxyabab 222xyxyabab（当且仅当xyab时，取等号）；（2）解：2222222222 12121922xyxyxy，当且仅当2213xy时，2221xy的最小值是9。考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式 6.2 绝对值不等式 6.2.1 单绝对值不等式 2.已知函数254,0()22,0 xxxf x
2、xx若函数()yf xa x恰有4个零点，则实数a的取值范围为_.答案：(1,2)实用标准 文档大全 解析：分别作出函数()yf x与|ya x的图像，由图知，0a 时，函数()yf x与|ya x无交点，0a 时，函数()yf x与|ya x有三个交点，故0.a 当0 x，2a 时，函数()yf x与|ya x有一个交点，当0 x，02a时，函数()yf x与|ya x有两个交点，当0 x 时，若yax 与254,(41)yxxx 相切，则由0 得：1a 或9a（舍），因此当0 x，1a 时，函数()yf x与|ya x有两个交点，当0 x，1a 时，函数()yf x与|ya x有三个交点，
3、当0 x，01a时，函数()yf x与|ya x有四个交点，所以当且仅当12a时，函数()yf x与|ya x恰有4个交点.实用标准 文档大全 考点：单绝对值不等式 3.存 在0 x ，使 得 不 等 式22xxt 成 立，则 实 数t 的 取 值 范 围 为_ 答案：9,24 解析：不等式22xxt，即22xtx，令11,yxt y 的图象是关于xt 对称的一个V 字形图形，其象位于第一、二象限；222yx，是一个开口向下，关于y 轴对称，最大值为2 的抛物线；要存在0 x ，使不等式22xtx 成立，则1y 的图象应该在第二象限和2y 的图象有交点，两种临界情况，当0t 时，1y的右半部分
4、和2y 在第二象限相切：1y 的右半部分即1yxt，联列方程22yxtyx，只有一个解；即22xtx ，即220 xxt ，1 480t ，得：94t ；此时1y 恒大于等于2y，所以94t 取不到；所以904t ；当0t 时，要使1y 和2y 在第二象限有交点，即1y 的左半部分和2y 的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要1y 与y 轴的交点小于2 即可；1ytx 与y 轴的交点为(0,)t，所以2t ，又因为0t ，所以02t ；实用标准 文档大全 综上，实数t 的取值范围是：924t ；故答案为：9,24 考点：单绝对值不等式 6.2.2 同系数绝对值相加型不等式 4.已知函数()|
5、21|2|f xxxa，()3g xx.（1）当2a 时，求不等式()()f xg x的解集；（2）设1a，且当1,)2 2ax 时，()()f xg x，求a的取值范围。（1）当2a 时，令15,21212232,1236,1x xyxxxxxxx ，作出函数图像可知，当(0,2)x时，0y，故原不等式的解集为02xx；（2）依题意，原不等式化为13ax，实用标准 文档大全 故2xa对1,2 2a都成立，故22aa，故43a，故a的取值范围是41,3.考点：同系数绝对值相加型不等式 6.2.3 同系数绝对值相减型不等式 5.已知函数()25f xxx（1）证明：3()3;f x （2）求不等
6、式2()815f xxx的解集。（1）3,2()2527,253,5xf xxxxxx 当25x时，3273x，所以，33fx （2）由（1）可知 实用标准 文档大全 当2x 时，2()815f xxx的解集为空集；当25x时，2()815f xxx的解集为|535xx 当5x 时，2()815f xxx的解集为|56xx 综上：不等式2()815f xxx的解集：|536xx 考点：同系数绝对值相减型不等式 6.2.4 不同系数绝对值相加减型不等式 6.设函数 212f xxx （1）求不等式 2f x 的解集；（2）若 211,2xR f xtt 恒成立，求实数t的取值范围（1）由题意得1
7、3,21()31,223,2xxf xxxxx 当12x 时，不等式化为32x ，解得55xx ，当122x时，不等式化为312x，解得1 12xx ，当2x 时，不等式化为32x，解得12xx ，综上，不等式的解集为15x xx （2）由（1）得 min52f x ，若xR，2112fxtt 恒成立，则只需 2min51122f xtt ，解得152t ，实用标准 文档大全 综上，t的取值范围为1,52 考点：不同系数绝对值相加减型不等式 6.3 已知绝对值不等式解求参数 7.设函数()3,0f xxax a(1)当1a 时，求不等式()32f xx的解集；(2)如果不等式()0f x 的解
8、集为1x x ，求a的值。（1）当1a 时，()32f xx可化为|1|2x。由此可得 3x或1x。故不等式()32f xx的解集为|3x x 或1x 。(2)由()0f x 得 30 xax 此不等式化为不等式组 30 xaxax 或30 xaaxx 即 4xaax或2xaaa 因为0a，所以不等式组的解集为|2ax x 由题设可得=-12a，故2a 考点：已知绝对值不等式解求参数 实用标准 文档大全 6.4 已知绝对值不等式解的范围求参数范围 8.已知函数()|2|f xxax.（1）当3a 时，求不等式()3f x 的解集；（2）若()|4|f xx的解集包含1,2，求a的取值范围.答案
9、：（1）当3a 时，52(2)()|3|2|1(23)25(3)x xf xxxxxx 所以不等式()3f x 可化为2523xx，或2313x，或3253xx 解得1x或4x 因此不等式()3f x 的解集为|1x x 或4x （2）由已知()|4|f xx 即为|2|4|xaxx，也即|4|2|xaxx 若()|4|f xx的解集包含1,2，则1,2x，|4|2|xaxx，也就是1,2x，|2xa，所以1,2x，22xaxa，从而1222aa，实用标准 文档大全 解得30a 因此a的取值范围为 3,0a.考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减 6.5 含绝对值不
10、等式的恒成立问题 9.已知函数()2121f xxx，（1）若对任意的x有()f xa成立，求a的取值范围；（2）若不等式12()02abaab f x，对于任意的,a b都成立，求x的取值范围。（1）根据题意,a 小于等于()f x 的最小值 由14,211()2,2214,2x xf xxx x 可得min()2f x 所以 2a （2）当0ab 即ab 时，20()0bf x 恒成立，xR 当0ab 时，由绝对值不等式得性质可得 2(2)abaabaab，当且仅当(2)0ab a 时取 ，21abaab 恒成立，实用标准 文档大全 12()02abaab f x，21()2abaf xa
11、b 1()12f x，()2f x 1122x 考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式 6.6 含绝对值不等式的能成立问题 10.已知函数 13f xxx .(1)求x 的取值范围,使 f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式 0f xa 有解,求实数a 的取值范围.(1)22,3134,3122,1xxf xxxxxx 则当3,1x 时,f x 为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数 f x的最小值为4,实数a 的取值范围为4a .方法二:1313xxxx ;134xx ,等号当且仅当3,1x 时成立.得函数 f x 的最小值为4,则实数a 的取值范围为4a
12、 .实用标准 文档大全 考点：含绝对值不等式的能成立问题 6.7 利用绝对值的三角不等式放缩求最值 11.已知实数,x y满足：11|,|2|,36xyxy求证：5|18y 证明：3|=|3|=|22|22yyxyxyxyxy，由题设11|,|2|,36xyxy 1153|=366y.5|18y.考点：绝对值的三角不等式 6.8 数形结合在含参绝对值不等式中的应用 12.已知函数22()69816f xxxxx （1）求()(4)f xf的解集；（2）设函数()(3)g xk x，kR，若()()f xg x对任意的xR都成立，求实数k的取值范围（1）22()69816f xxxxx22(3)
13、(4)|3|4|xxxx，()(4)f xf，即|3|4|xx9,4,349xxx 或43,349xxx 或3,349,xxx 实用标准 文档大全 解得不等式：5x；：无解；：4x，所以()(4)f xf的解集为|5x x 或4x （2）()()f xg x即()|3|4|f xxx的图象恒在()(3)g xk x图象的上方，可以作出21,4,()|3|4|7,43,21,3xxf xxxxxx 的图象，而()(3)g xk x图象为恒过定点(3,0)P，且斜率k变化的一条直线，作出函数(),yf x()yg x图象，其中2,PBk(4,7)A，1PAk，由图可知，要使得()f x的图象恒在(
14、)g x图象的上方，实数k的取值范围应该为12k 实用标准 文档大全 考点：同系数绝对值不等式相加型、数形结合在含参绝对值不等式中的应用 7.证明不等式的基本方法 7.1 比较法证明不等式 13.设不等式|21|1x的解集是M，,a bM （1）试比较1ab与ab的大小；（2）设max表示数集A的最大数2222max,abhaabb求证：2.h 答案：（1）1;abab（2）见解析 解析：（1）先解出|01.Mxx(1)()(1)(1)0ababab.问题得证.（2）2222max,abhaabb 可知2222,abhhhaabb,所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出38
15、h.故2h.考点：比较法证明不等式 实用标准 文档大全 7.2 综合法证明不等式 7.3 分析法证明不等式 14.已知()11f xxx,不等式()4f x 的解集为M.（1）求M；（2）当,a bM时,证明:24abab.（1）解不等式：114xx ；124xx 或1124x 或124xx 12x或11x 或21x，22x 2,2M .（2）需证明：22224(2)816aabba bab，只需证明222244160a bab，即需证明22(4)(4)0ab 2222,(2,2)4,4(4)0,(4)0a babab 22(4)(4)0ab，所以原不等式成立.考点：分析法证明不等式 实用标准
16、 文档大全 7.4 反证法证明不等式 15.设0,0.ab 且11.abab证明：（1）2ab；（2）22aa 与22bb 不可能同时成立.由11=abababab，0,0.ab 得1ab （1）由基本不等式及1ab ，有22abab，即2ab；（2）假设22aa与22bb同时成立，则由22aa 及0a 得01a，同理01b，从而1ab，这与1ab 矛盾，故22aa 与22bb 不可能同时成立.考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用 8.5 放缩法证明不等式(多为数列的题)16.已知数列 na的前n项和nS满足2nnSan （1）求数列 na的通项公式；（2）设1nnnaba，记数列
17、 nb的前n和为nT，证明：1032nnT 【答案】（1）21nna；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）考虑到nnnSSa11，因此可以利用条件中的式子得到数列na的一个递推公式，从而实用标准 文档大全 即可求解；（2）由（1）可知112121nnnnnaba，211222nnb，从而可证02nnT，进一步放缩可得211122223 23 2nnnn，求和即可得证.试题解析：（1）2nnSan，当1n时，1111211Saaa ，又1121nnSan，与2nnSan两边分别相减得11221nnnaaa，得1121nnaa，又112a ，数列1na是以2为首项，2为公比的等比数列，12nn
18、a ，得21nna；112121nnnnnaba，211222nnb，34211102222222nnnT，得02nnT，又211122223 23 2nnnn，21 11123 222nnnT 11133 23n ，1032nnT.9.柯西不等式 9.1 柯西不等式的代数形式 17.已知关于x的不等式xab的解集为|24xx 1 求实数,a b 的值；2 求12atbt的最大值.1 由xab，得baxba 则24baba，解得3,1.ab 实用标准 文档大全 2 3123 4tttt 2222(3)1(4)()tt 2 44tt 当且仅当413tt即1t 时等号成立，故min3124tt.考点：柯西不等式的代数形式 9.2 一般形式的柯西不等式 18.已知函数()|2|,f xmxmR且(2)0f x的解集为1,1,(1)求m的值;(2)若,a b cR且111,23mabc求证239.abc(1)(2)0,f xmxxm 0,(2)0mmxmf x的解集是1,1 故1m.(2)由(1)知1111,23a b cRabc 由柯西不等式得 211123(23)()23111(23)9.23abcabcabcabcabc 考点：一般的柯西不等式