2022年高中函数大题专练 .pdf

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1、高中函数大题专练、已知关于x的不等式2(4)(4)0kxkx，其中kR。试求不等式的解集A；对于不等式的解集A， 假设满足AZB其中Z为整数集。 试探究集合B能否为有限集？假设能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值， 并用列举法表示集合B； 假设不能，请说明理由。、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数( )f x称为G函数。 对任意的0, 1x，总有( )0f x； 当12120 ,0,1xxxx时，总有1212()()()fxxf xf x成立。已知函数2( )g xx与( )21xh xa是定义在0, 1上的函数。1试问函数( )g x是否为G函数？并说明理由；2假设

2、函数( )h x是G函数，求实数a的值；3在 2的条件下，讨论方程(21)( )xgh xm ()mR解的个数情况。3. 已知函数|212)(xxxf. 1假设2)(xf，求x的值；2假设0)()2(2tmftft对于2, 3t恒成立，求实数m的取值范围 . 4. 设函数)(xf是定义在R上的偶函数 . 假设当0 x时，11,( )0,f xx0;0.xx1求)(xf在(,0)上的解析式 . 2请你作出函数)(xf的大致图像 . 3当0ab时，假设( )( )f af b，求ab的取值范围 .4假设关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同实数解，求,b c满足的条件 . 5已知函数(

3、 )(0)|bf xaxx。1假设函数( )f x是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围；2当2b时，假设不等式( )f xx在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围；3 对于函数( )g x假设存在区间, ()m n mn， 使, xm n时， 函数( )g x的值域也是, m n，则称( )g x是, m n上的闭函数。假设函数( )fx是某区间上的闭函数，试探求,a b应满足的条件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页6、设bxaxxf2)(，求满足以下条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数)(xf的

4、定义域和值域相同。7对于函数)(xf，假设存在Rx0，使00)(xxf成立，则称点00(,)xx为函数的不动点。1已知函数)0()(2abbxaxxf有不动点 1，1和 -3 ，-3 求a与b的值；2假设对于任意实数b，函数)0()(2abbxaxxf总有两个相异的不动点，求a的取值范围；3假设定义在实数集R上的奇函数)(xg存在有限的n个不动点，求证：n必为奇数。8设函数)0(1)(xxxxf，的图象为1C、1C关于点A2，1的对称的图象为2C，2C对应的函数为)(xg. 1求函数)(xgy的解析式；2假设直线by与2C只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 9设定义在),0(上的函数)(

5、xf满足下面三个条件：对于任意正实数a、b，都有()( )( )1f a bf af b；(2)0f；当1x时，总有( )1f x. 1求)21() 1(ff及的值；2求证：),0()(在xf上是减函数 . 10 已知函数)(xf是定义在2,2上的奇函数，当)0,2x时，321)(xtxxft为常数。1求函数)(xf的解析式；2当6, 2t时，求)(xf在0 ,2上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想)(xf在2,0上的单调递增区间不必证明；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3当9t时，证明：函数)(xfy的图象上

6、至少有一个点落在直线14y上。11. 记函数272xxxf的定义域为A，Rabaxbxxg,012lg的定义域为B，1求A：2假设BA，求a、b的取值范围12、设1,011aaaaxfxx。1求xf的反函数xf1：2讨论xf1在.1上的单调性，并加以证明：3 令xxgalog1， 当nmnm,1,时，xf1在nm,上的值域是mgng,，求a的取值范围。13集合 A是由具备以下性质的函数)(xf组成的：(1) 函数)(xf的定义域是0,)；(2) 函数)(xf的值域是 2,4)；(3) 函数)(xf在0,)上是增函数试分别探究以下两小题：判断函数1( )2(0)fxxx，及21( )46 ( )

7、 (0)2xfxx是否属于集合A？并简要说明理由对于I 中你认为属于集合A的函数)(xf，不等式) 1(2)2()(xfxfxf，是否对于任意的0 x总成立？假设不成立，为什么？假设成立，请证明你的结论14、设函数 f(x)=ax2+bx+1a,b 为实数 ,F(x)=)0()()0()(xxfxxf1假设 f(-1)=0且对任意实数x 均有 f(x)0成立，求F(x) 表达式。2在 1的条件下 , 当 x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数 , 求实数 k 的取值范围。3 理设m0,n0,a0且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0 。15函数 f(x)=baxx(a， b是

8、非零实常数)，满足 f(2)=1 ，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。(1)求 a、b 的值；(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m x)=4 恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A( 3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离 |AP|的最小值。函数大题专练答案、已知关于x的不等式2(4)(4)0kxkx，其中kR。试求不等式的解集A；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页对于不等式的解集A， 假设满足AZB其中Z为整数集。 试探究集合B能否为有限集？假设能，求出使得集合B中元素个数

9、最少的k的所有取值， 并用列举法表示集合B； 假设不能，请说明理由。解： 1当0k时，(,4)A；当0k且2k时，4(,4)(,)Akk；当2k时，(,4)(4,)A； 不单独分析2k时的情况不扣分当0k时，4(,4)Akk。（2） 由 1知：当0k时，集合B中的元素的个数无限；当0k时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。因为44kk，当且仅当2k时取等号，所以当2k时，集合B的元素个数最少。此时4,4A，故集合3, 2, 1,0,1,2,3B。、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数( )f x称为G函数。 对任意的0, 1x，总有( )0f x； 当12120 ,0

10、,1xxxx时，总有1212()()()fxxf xf x成立。已知函数2( )g xx与( )21xh xa是定义在0, 1上的函数。1试问函数( )g x是否为G函数？并说明理由；2假设函数( )h x是G函数，求实数a的值；3在 2的条件下，讨论方程(21)( )xgh xm ()mR解的个数情况。解： 1 当0,1x时，总有2g xx0( )，满足，当12120,0 ,1xxxx时，22221212121212g xxxx2x xxxg xg x()()()，满足2假设a1时，h 0a10( )不满足，所以不是G函数；假设a1时，h x( )在x0 1 , 上是增函数，则h x0( )

11、，满足由1212h xxh xh x()()()，得1212xxxxa 21a 21a 21，即12xxa 121 211()()，因为12120 ,0,1xxxx所以1x02112x02111x与2x不同时等于1 11xx021 211()()11xx1a121 21()()当12xx0时，11xx11121 21min()()()a1，综合上述：a1 3根据知：a=1，方程为xx42m，由x02110 x1得x0 1 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页令x2t1 2 , ，则2211mttt24()由图形可

12、知：当m0 2 , 时，有一解；当m02(, )( ,)时，方程无解。. 已知函数|212)(xxxf. 1假设2)(xf，求x的值；2假设0)()2(2tmftft对于2, 3t恒成立，求实数m的取值范围 . 解 1当0 x时，0)(xf；当0 x时，xxxf212)(. 由条件可知2212xx，即012222xx，解得212x. 02x，21log2x. 2当2, 1t时，0212212222tttttm，即121242ttm. 0122t，122tm. 22, 3,1265,17tt，故m的取值范围是17,). . 设函数)(xf是定义在R上的偶函数 . 假设当0 x时，11,( )0,

13、f xx0;0.xx1求)(xf在(,0)上的解析式 . 2请你作出函数)(xf的大致图像 . 3当0ab时，假设( )( )f af b，求ab的取值范围 .4假设关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同实数解，求,b c满足的条件 . 解 1当(,0)x时，11( )()11f xfxxx. 2)(xf的大致图像如下： . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页4321-1-4-22463因为 0ab，所以( )( )f af b2211111111112ababab，22ababab解得ab的取值范围是

14、(1,). 4由 2 ，对于方程( )f xa，当0a时，方程有3 个根；当01a时，方程有4个根，当1a时，方程有2 个根；当0a时，方程无解. 15 分所以，要使关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同实数解，关于)(xf的方程0)()(2cxbfxf有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。所以0,( )(0,1)cf xb，即10,0bc. 已知函数( )(0)|bf xaxx。1假设函数( )f x是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围；2当2b时，假设不等式( )f xx在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围；3 对于函数( )g x假设存在区间, ()m

15、n mn， 使, xm n时， 函数( )g x的值域也是, m n，则称( )g x是, m n上的闭函数。假设函数( )fx是某区间上的闭函数，试探求,a b应满足的条件。解： 1 当(0,)x时，( )bfxax设12,(0,)x x且12xx， 由( )f x是(0,)上 的 增 函 数 ， 则12()()f xf x121212()()()0b xxf xf xx x由12xx，12,(0,)x x知12120,0 xxx x，所以0b，即(0,)b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页2当2b时，2( )|

16、f xaxx在(1,)x上恒成立，即2axx因为22 2xx，当2xx即2x时取等号，2(1,)，所以2xx在(1,)x上的最小值为22。则22a（3）因为( )|bf xax的定义域是(,0)(0,)，设( )f x是区间, m n上的闭函数，则0mn且0b（4）假设0mn当0b时，( )|bf xax是(0,)上的增函数，则()( )f mmf nn，所以方程baxx在(0,)上有两不等实根，即20 xaxb在(0,)上有两不等实根，所以212124000abxxaxxb，即0,0ab且240ab当0b时，( )|bbf xaaxx在(0,)上 递 减， 则()( )f mnf nm， 即

17、0banambmnbamn，所以0,0ab假设0mn当0b时 ，( )|bbf xaaxx是(,0)上 的 减 函 数 ， 所 以()( )f mnf nm， 即0banambmnbamn，所以0,0ab、设bxaxxf2)(，求满足以下条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数)(xf的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页定义域和值域相同。解： 1假设0a，则对于每个正数b，bxxf)(的定义域和值域都是),0故0a满足条件2假设0a，则对于正数b，bxaxxf2)(的定义域为D,0,ab，但)(xf的值域, 0

18、A，故AD，即0a不合条件；3假设0a，则对正数b，定义域,0abDabxf2)(max，)(xf的值域为2,0ab，abab2420aaaa综上所述：a的值为 0 或4对于函数)(xf，假设存在Rx0，使00)(xxf成立，则称点00(,)xx为函数的不动点。1已知函数)0()(2abbxaxxf有不动点 1，1和 -3 ，-3 求a与b的值；2假设对于任意实数b，函数)0()(2abbxaxxf总有两个相异的不动点，求a的取值范围；3假设定义在实数集R上的奇函数)(xg存在有限的n个不动点，求证：n必为奇数。解： 1由不动点的定义：0)(xxf，0) 1(2bxbax代入1x知1a，又由3

19、x及1a知3b。1a，3b。2对任意实数b，)0()(2abbxaxxf总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b，方程0)(xxf总有两个相异的实数根。0)1(2bxbax中04)1(2abb，即01)24(2bab恒成立。故04)24(21a，10a。故当10a时，对任意的实数b，方程)(xf总有两个相异的不动点。 .13)(xg是 R上的奇函数，则0)0(g， 0，0是函数)(xg的不动点。假设)(xg有异于 0，0的不动点),(00 xx，则00)(xxg。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页又000)()(x

20、xgxg，),(00 xx是函数)(xg的不动点。)(xg的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，所以有k2个kN ，加上原点，共有12kn个。即n必为奇数设函数)0(1)(xxxxf，的图象为1C、1C关于点 A2，1的对称的图象为2C，2C对应的函数为)(xg. 1求函数)(xgy的解析式；2假设直线by与2C只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 解 1设),(vup是xxy1上任意一点，uuv1设 P关于 A2，1对称的点为yvxuyvxuyxQ2424),(代入得4124142xxyxxy);,4()4,(412)(xxxxg2联立,094)6(4122bxbxxxyby004)9

21、4(4)6(22bbbbb或,4b1当0b时得交点 3，0 ；2当4b时得交点 5， 4. 9设定义在),0(上的函数)(xf满足下面三个条件：对于任意正实数a、b，都有()( )( )1f a bf af b；(2)0f；当1x时，总有( )1f x. 1求)21() 1(ff及的值；2求证：),0()(在xf上是减函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页解 1取 a=b=1，则(1)2 (1) 1.(1)1fff故又11(1)(2)(2)()122ffff. 且(2)0f. 得：1()(1)(2)11122

22、fff2设,021xx则：222111111()()()()()()1xxf xf xfxf xff xxx1()f x21()1xfx依1,01221xxxx可得再依据当1x时，总有( )1f x成立，可得21()1xfx即0)()(12xfxf成立，故), 0()(在xf上是减函数。10 已知函数)(xf是定义在2,2上的奇函数，当)0,2x时，321)(xtxxft为常数。1求函数)(xf的解析式；2当6, 2t时，求)(xf在0 ,2上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想)(xf在2,0上的单调递增区间不必证明；3当9t时，证明：函数)(xfy的图象上至少有一个点落在直线14y上。解：

23、 12,0 x时，0,2x， 则3321)(21)()(xtxxxtxf， 函数)(xf是定义在2 ,2上的奇函数，即xfxf，321xtxxf，即321)(xtxxf，又可知00f，函数)(xf的解析式为321)(xtxxf，2,2x；2221xtxxf，6,2t，0,2x，0212xt，2783212121332222222txtxtxxtxxf，2221xtx，即36,322txtx)0,236(t时，ttf962min。猜想)(xf在2,0上的单调递增区间为36,0t。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页3

24、9t时，任取2221xx， 0212221212121xxxxtxxxfxf，xf在2,2上单调递增，即2,2ffxf，即42 ,24ttxf，9t，1442 ,1424tt，42 ,2414tt，当9t时，函数)(xfy的图象上至少有一个点落在直线14y上。11. 记函数272xxxf的定义域为A，Rabaxbxxg,012lg的定义域为B，1求A：2假设BA，求a、b的取值范围解： 1,32,0230272xxxxxxA，2012axbx，由BA，得0a，则aorxbx12，即,21,baB，012320ab6021ba。12、设1,011aaaaxfxx。1求xf的反函数xf1：2讨论x

25、f1在.1上的单调性，并加以证明：3 令xxgalog1， 当nmnm,1,时，xf1在nm,上的值域是mgng,，求a的取值范围。解： 11111log1xxxxxfa或2设211xx，0112111121212211xxxxxxxx10a时 ，2111xfxf， xf1在.1上 是 减 函 数 ：1a时 ，2111xfxf，xf1在.1上是增函数。3当10a时，xf1在.1上是减函数，ngnfmgmf11，由xxxaalog111log得axxx11，即0112xaax， 可知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14

26、页方程的两个根均大于1，即121010aaf2230a，当1a时，xf1在.1上是增 函 数 ， mgnfngmf11amamnnanamnm111a 舍 去 。综 上 ， 得2230a。13集合 A是由具备以下性质的函数)(xf组成的：(1) 函数)(xf的定义域是0,)；(2) 函数)(xf的值域是 2,4)；(3) 函数)(xf在0,)上是增函数试分别探究以下两小题：判断函数1( )2(0)fxxx，及21( )46 ( ) (0)2xfxx是否属于集合A？并简要说明理由对于I 中你认为属于集合A的函数)(xf，不等式) 1(2)2()(xfxfxf，是否对于任意的0 x总成立？假设不成

27、立，为什么？假设成立，请证明你的结论解 ： 1 函 数2)(1xxf不 属 于 集 合A. 因 为1( )fx的 值 域 是 2,), 所 以 函 数2)(1xxf不属于集合A.( 或1490,(49)54xf当时，不满足条件.) xxf)21(64)(2(0)x在集合A 中, 因为 : 函数2( )fx的定义域是0,)； 函数2( )fx的值域是 2,4)； 函数2( )fx在0,)上是增函数20)41()21(6)1(2)2()(xxfxfxf，)1(2)2()(xfxfxf不等式对于任意的0 x总成立14、设函数 f(x)=ax2+bx+1a,b 为实数 ,F(x)=)0()()0()(

28、xxfxxf1假设 f(-1)=0且对任意实数x 均有 f(x)0成立，求F(x) 表达式。2在 1的条件下 , 当 x2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数 , 求实数 k 的取值范围。3 理设m0,n0,a0且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0 。解： 1f(-1)=0 1ab由 f(x)0 恒成立知 =b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)20 a=1 从而 f(x)=x2+2x+1 F(x)=)0() 1()0() 1(2xxxx，2由 1可知f(x)=x2+2x+1 g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1 ，由于g(x) 在2,2上是单调函数, 知-2

29、22k或-222k，得 k-2 或 k6 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页3f(x) 是偶函数，f(x)=f(x)，而 a0)(xf在,0上为增函数对于 F(x) ，当 x0 时-x0 ，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当 x0 ，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，F(x) 是奇函数且F(x) 在，0上为增函数，m0,n-n0 知 F(m)F(-n) F(m)-F(n) F(m)+F(n)0 。15函数 f(x)=baxx(a， b是非零实常数)，满足 f(2)=1 ，且方程f(

30、x)=x 有且仅有一个解。(1)求 a、b 的值；(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m x)=4 恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A( 3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离 |AP|的最小值。解 (1)由 f(2)=1 得 2a+b=2，又 x=0 一定是方程baxx=x 的解，所以bax1=1 无解或有解为0，假设无解， 则 ax+b=1 无解， 得 a=0，矛盾，假设有解为0，则 b=1，所以 a=21。(2)f(x)=22xx，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m x)=4 恒成立，取x=0 ， 则f(0)+f(m 0)=4

31、， 即22mm=4 ， m= 4( 必 要 性 ) ， 又m= 4时 ，f(x)+f( 4 x)=24)4(222xxxx= =4 成立 (充分性 ) ，所以存在常数m= 4，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(m x)=4 恒成立，(3)|AP|2=(x+3)2+(22xx)2，设 x+2=t，t0， 则|AP|2=(t+1)2+(tt4)2=t2+2t+2t8+216t=(t2+216t)+2(tt4)+2=(t t4)2+2(tt4)+10=( t t4+1)2+9，所以当 tt4+1=0 时即 t=2171，也就是 x=2175时， |AP| min = 3 。16、已知函数xmxxxf11log2)(2是奇函数。1求m的值；2请讨论它的单调性，并给予证明。解 1)(xf是奇函数，0)()(xfxf；即0)11log2()11log2(22xmxxxmxx，解得：1m，其中1m舍 ；经验证当1m时，)1 ,00 , 1(11log2)(2xxxxxf确是奇函数。2先研究)(xf在 0，1内的单调性，任取x1、x2 0，1 ，且设 x10，即)(xf在 0，1内单调递减；由于)(xf是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数)(xf在 1， 0内单调递减。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页