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1、第2讲基本初等函数、函数与方程一、选择题 1.(2019湖北孝感统考)函数f(x)=1ln(3x+1)的定义域是()A.-13,+B.-13,0(0,+)C.-13,+D.0,+)答案B由题意得3x+10,ln(3x+1)0,解得x-13且x0,所以选B.2.(2019河南新乡模拟)设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cbaC.cabD.bc1,0b=log0.40.51,c=log80.40,cba.3.(2019山东烟台模拟)函数f(x)=ln(x+1)-1x的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3
2、)D.(3,4)答案Bf(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=ln 2-10,f(x)的一个零点所在区间为(1,2),故选B.4.(2019广东名校联考)已知f(x)满足xR, f(-x)+f(x)=0,且当x0时, f(x)=1ex+k(k为常数), 则f(ln 5)的值为()A.4B.-4C.6D.-6答案B易知f(x)是奇函数,所以f(0)=1e0+k=1+k=0,即k=-1,所以f(ln 5)=-f(-ln 5)=-(eln 5-1)=-4.5.(2019云南曲靖月考)已知幂函数f(x)=xn的图象过点8,14,且f(a+1)f(2),则a的取值范围是()A.(-3,1)B.(-,
3、-3)(1,+)C.(-,1)D.(1,+)答案B因为幂函数f(x)=xn的图象过点8,14,所以8n=14,即23n=2-2,解得n=-23,所以f(x)是偶函数,在(0,+)上单调递减,在(-,0)上单调递增.由f(a+1)2,解得a1.所以选B.6.设函数f(x)=|lnx|,x0,ex(x+1),x0,若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b的取值范围是()A.(1,+)B.-1e2,0C.0(1,+)D.(0,1答案D当x0时, f(x)=ex(x+1),则f (x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),由f (x)0,得函数f(x)的单调递增区间为(-2,0),由f (x
4、)0,得函数f(x)的单调递减区间为(-,-2),且易知x-1时, f(x)1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=1a0.1的大小关系是()A.M=NB.MNC.MN答案D因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1且a2)在(0,+)上具有不同的单调性,所以a2,所以M=(a-1)0.21,N=1a0.1N.8.(多选)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则()A. f(x)在(2,6)上单调递增B. f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2C. f(x)在(2,6)上单调递减D. y=f(x)的图象关于直线x=4对称答案BDf(x)=ln
5、(x-2)+ln(6-x)=ln(x-2)(6-x),定义域为(2,6).令t=(x-2)(6-x),则y=ln t.因为二次函数t=(x-2)(6-x)的图象的对称轴为直线x=4,又f(x)的定义域为(2,6),所以f(x)的图象关于直线x=4 对称,且在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln 2,故选BD.9.我们定义函数y=x(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义函数y=x(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如4.3=4,5=5;4.3=5,5=5.某停车场收费标准为每小时2元,
6、即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过1小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)()A.2x+1B.2(x+1)C.2xD.2x答案C当x=1时,应付费2元,此时2x+1=4,2(x+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,应付费2元,此时2x=1,排除D,故选C.10.(2019广东茂名一模)定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x),当x0,1时, f(x)=x.若函数g(x)=|f(x)|-ae-|x|在区间-2 018,2 018上有4 032个零点,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(e,e3)
7、C.(e,e2)D.(1,e3)答案Bf(x)满足条件f(1+x)=f(1-x)且为奇函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)=f(2-x), f(x)=-f(-x),-f(-x)=f(2-x),即-f(x)=f(2+x),f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4.令m(x)=|f(x)|,n(x)=ae-|x|,画出m(x),n(x)的图象如图,可知m(x)与n(x)均为偶函数,且要使m(x)与n(x)的图象有交点,需a0.由已知要满足g(x)在-2 018,2 018上有4 032个零点,只需m(x)与n(x)的图象在0,4上有两个交点,即m(1)n(3),解得ea0,a1
8、)的图象恒过定点A,则点A的坐标为;若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则f(log32)=.答案-2,-891解析令x+3=1可得x=-2,此时y=loga1-89=-89,可知定点A的坐标为-2,-89.点A在函数f(x)=3x+b的图象上,故-89=3-2+b,解得b=-1.所以f(x)=3x-1,则f(log32)=3log32-1=2-1=1.12.(2019山东济宁期末改编)已知函数f(x)=lnx+b,x1,ex-2,x1,若f(e)=-3f(0),则函数f(x)的值域为.答案(-2,e-2(2,+)解析由f(e)=-3f(0)得1+b=-3(-1),解得b=2,即函数f(
9、x)=lnx+2,x1,ex-2,x1.当x1时,y=ln x+22;当x1时,y=ex-2(-2,e-2.故函数f(x)的值域为(-2,e-2(2,+).13.(2019山东潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:上市时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt.利用你选取的函数,求得:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是;(2)最低种植成本是(
10、元/100 kg).答案(1)120(2)80解析根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at2+bt+c,且其图象开口向上,对称轴t=-b2a=60+1802=120,将表中数据代入函数关系式得3 600a+60b+c=116,10 000a+100b+c=84,32 400a+180b+c=116,解得a=0.01,b=-2.4,c=224.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120,最低种植成本是14 400a+120b+c=14 4000.01+120(-2.4)+224=80(元/100 kg).14.(2019河南郑州模拟)若a1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,函数g(x)=
11、logax+x-4的零点为n,则1m+1n的最小值为.答案1解析设F(x)=ax,G(x)=logax,h(x)=4-x,则直线h(x)与F(x),G(x)的图象的交点A,B的横坐标分别为m,n(m0,n0).因为F(x)与G(x)的图象关于直线y=x对称,所以A,B两点关于直线y=x对称.又因为直线y=x和h(x)=4-x的交点的横坐标为2,所以m+n=4.又m0,n0,所以1m+1n=1m+1nm+n4=142+nm+mn142+2nmmn=1.当且仅当nm=mn,即m=n=2时等号成立.所以1m+1n的最小值为1.命题拓展预测1.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,BAD=
12、60,点M为AB的中点,点P以BCD(含端点)的路线运动.设PAB=,记tan =x,APDM=y,则函数y=f(x)的图象大致为()答案A由已知得DM=AM-AD=12AB-AD.当点P在BC(含端点C)上时,设BP=BC=AD(01),则AP=AB+BP=AB+AD,所以APDM=(AB+AD)12AB-AD=12AB2+12-1ABAD-AD2.又AB=2,AD=1,BAD=60.所以y=APDM=124+12-121cos 60-1=1-12,而此时tan =sin602+cos60=322+12=x,且x0,35,所以=4x3-x,代入式,得y=3-3x3-x=3+23x-3,x0,
13、35,该函数在0,35上是减函数,且其图象是由反比例函数y=23x的图象先沿x轴向右平移3个单位长度,再沿y轴向上平移3个单位长度得到的,且当x=0时,y=1,当x=35时,y=120.同理,当点P在CD(不含端点C)上时,y=34x-34,x35,3.结合选项可知,只有A选项满足.故选A.2.已知定义在R上的偶函数y=f(x+2),其图象连续不间断,当x2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f1-1x+4的所有x的积为.答案39解析因为函数y=f(x+2)是连续的偶函数,所以直线x=0是其图象的对称轴,则直线x=2是函数y=f(x)的图象的对称轴.因为f(x)=f1-1x+4,所以x=1-1x+4或x+1-1x+4=4.由x=1-1x+4得x2+3x-3=0,设该方程的两根为x1,x2,所以x1x2=-3;由x+1-1x+4=4得x2+x-13=0,设该方程的两根为x3,x4,所以x3x4=-13,所以x1x2x3x4=39.