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1、第2讲圆锥曲线的方程与性质一、选择题 1.(2019湖南五市十校联考)已知双曲线C:x2m2-y23=1(m0)的离心率为2,则C的焦点坐标为()A.(2,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,2)答案A由题意知,离心率e=ca=1+b2a2=1+3m2=2,解得m2=1,所以c=m2+3=2,又双曲线C的焦点在x轴上,所以双曲线C的焦点坐标为(2,0),故选A.2.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为()A.x2113-y211=1B.x22-y2=1C.y2113-x211=1D.y211-x2113=1答
2、案A设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径,由点到直线的距离公式可得|k0-2|k2+1=1,解得k=3.又双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),将(2,1)代入可得4a2-1b2=1,由4a2-1b2=1,ba=3解得a2=113,b2=11,故所求双曲线的标准方程为x2113-y211=1.故选A.3.(2019皖北名校联考,7)斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.455B.4105C.8
3、105D.855答案B设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,由y=x+m,x24+y2=1消去y得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则x1+x2=-8m5,x1x2=4(m2-1)5.|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-8m52-16(m2-1)5=4255-m2,当m=0时,|AB|取得最大值4105,故选B.4.(多选)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,点P是其一条渐近线上的一点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则()A.双曲线C的渐近线方程为y=xB.以F1F2为直径的圆的方
4、程为x2+y2=1C.点P的横坐标为1D.PF1F2的面积为2答案ACD等轴双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=x,故A正确.由双曲线的方程可知|F1F2|=22,所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误.点P(x0,y0)在圆x2+y2=2上,不妨设点P(x0,y0)在直线y=x上,则x02+y02=2,y0=x0,解得|x0|=1,则点P的横坐标为1,故C正确.由上述分析可得,PF1F2的面积为12221=2,故D正确.故选ACD.5.(2019湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N
5、分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若NFR=60,则|NR|=()A.2B.3C.23D.3答案A如图,连接MF,QF,设准线l与x轴交于点H,y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,|FH|=2,|PF|=|PQ|.M,N分别为PQ,PF的中点,MNQF.PQ垂直l于点Q,PQOR,又NFR=60,QPF=60,PQF为等边三角形,MFPQ,F为HR的中点,|FR|=|FH|=2,|NR|=2.故选A.6.(2019安徽合肥模拟)已知A,B,C是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的三个点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BFAC,且3|AF|=|CF|,
6、则该双曲线的离心率为()A.102B.52C.103D.23答案A如图,设双曲线的左焦点为E,连接AE,CE,BE,由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,四边形AEBF为矩形,令|BF|=|AE|=m,|AF|=n,由双曲线的定义,得|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,在直角三角形EAC中,m2+(3n+n)2=(3n+2a)2,将2a=m-n代入,化简,可得m=3n,所以n=a,m=3a,在直角三角形EAF中,m2+n2=(2c)2,即9a2+a2=4c2,可得e=ca=102.故选A.二、填空题7.(2019江西七校第一次联考)点M(2,1)到抛物线y=ax2的准线的距
7、离为2,则a的值为.答案14或-112解析易知a0,抛物线方程化为标准形式为x2=1ay,因为点M(2,1)到抛物线的准线的距离为2,所以当a0时,p2=14a=1,解得a=14;当a0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=,抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.答案6322解析抛物线的焦点坐标为0,p2,准线方程为y=-p2,将准线方程与双曲线方程联立可得x23-p212=1,解得x=3+p24.因为ABF为等边三角形,所以32|AB|=p,即3223+p24=p,解得p=6.则抛物线的焦点坐标为(0,3),易知双曲线的渐近线方程为y=x
8、,则抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为32=322.10.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=.答案223解析设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,直线y=k(x+2)(k0)恒过定点P(-2,0).如图,过A,B分别作AMl于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,点B为线段AP的中点,连接OB,则|OB|=12|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1.k0,点B的坐标为(1,22),k=22-01-(-2)=223.三、解答题11.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:
9、x2a2+y2=1(a1,aR)上,过O的直线交椭圆C于A,B两点,F为椭圆C的左焦点.(1)若FAB的面积的最大值为1,求a的值;(2)若直线MA,MB的斜率的乘积等于-13,求椭圆C的离心率.解析(1)因为SFAB=12|OF|yA-yB|OF|=a2-1=1,所以a=2.(2)由题意可设A(x0,y0),B(-x0,-y0),M(x,y),则x2a2+y2=1,x02a2+y02=1,kMAkMB=y-y0x-x0y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=1-x2a2-1-x02a2x2-x02=-1a2(x2-x02)x2-x02=- 1a2=-13,所以a2=3,所以a=3,所以c
10、=a2-b2=2,所以椭圆的离心率e=ca=23=63.12.(2019天津,18,13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.解析(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(
11、k0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OPMN,得4-5k2-10k-k2=-1,化简得k2=245,从而k=2305.所以,直线PB的斜率为2305或-2305.13.(2019天津,19,14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点
12、为B.已知3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解析(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆的方程为x24c2+y23c2=1.由题意知,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).点P的坐标满足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=
13、0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OCAP,且由(1)知A(-2c,0),所以t4=32cc+2c,解得t=2.则C(4,2).因为圆C与x轴相切,所以圆的半径为2,又由圆C与l相切,得34(4+c)-21+342=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.命题拓展预测如图,由部分抛物线y2=mx+1(m0,x0)和半圆x2+y2=r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”,若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和-12,32.(1)求“黄金抛
14、物线C”的方程;(2)设P(0,1)和Q(0,-1),过点P作直线l与“黄金抛物线C”交于A,P,B三点,问:是否存在这样的直线l,使得QP平分AQB?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解析(1)因为“黄金抛物线C”过点(3,2)和-12,32,所以r2=-122+322=1,4=3m+1,解得m=1.所以“黄金抛物线C”的方程为y2=x+1(x0)和x2+y2=1(x0).(2)假设存在这样的直线l,使得QP平分AQB.显然直线l的斜率存在且不为0,结合题意可设直线l的方程为y=kx+1(k0),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨令xA00)消去y并整理,得k2x2+(2k-1)x=0,所以xB=1-2kk2,yB=1-kk,即B1-2kk2,1-kk,由xB0知k12,所以直线BQ的斜率kBQ=k1-2k.由y=kx+1,x2+y2=1(x0)消去y并整理,得(k2+1)x2+2kx=0,所以xA=-2kk2+1,yA=1-k2k2+1,即A-2kk2+1,1-k2k2+1,由xA0,所以直线AQ的斜率kAQ=-1k.因为QP平分AQB,且直线QP的斜率不存在,所以kAQ+kBQ=0,即-1k+k1-2k=0,由0k12,可得k=2-1.所以存在直线l:y=(2-1)x+1,使得QP平分AQB.