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1、第7讲不等式的恒成立与存在性问题1.(2019扬州期末,11)已知正实数x,y满足x+4y-xy=0,若x+ym恒成立,则实数m的取值范围为.2.若对任意x(0,+),y(0,+),(m-1)x+my22xy恒成立,则实数m的最小值为.3.(2018江苏海安高级中学高三上学期阶段测试)已知不等式(ax+3)(x2-b)0对任意x(0,+)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值集合为.4.(2018徐州铜山高三第三次模拟)当a0时,若xR,使得a3x-42x2-x成立,则实数a的取值范围是.5.设0m12,若1m+21-2mk恒成立,则实数k的最大值为.6.已知函数f(x)=x2+ax+11x
2、+1(aR).若对于任意的xN*, f(x)3恒成立,则a的取值范围是.7.已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若xR, f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若x-1,1, f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若x-1,1, f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.8.对于定义在区间D上的函数f(x),若存在正整数k,使不等式1kf(x)k恒成立,则称f(x)为D(k)型函数.(1)设函数f(x)=a|x|,定义域D=-3,-11,3.若 f(x)是D(3)型函数,求实数a的取值范围;(2)设函数g(x)=ex-x2-x,定义域D=(0,2),判断g(x)是不是D(2)
3、型函数,并给出证明.(参考数据:7e24,y1.则x+y=x+xx-4=x+x-4+4x-4=x+4x-4+1=(x-4)+4x-4+59,当且仅当x=6,y=3时取等号.所以m9.2.答案2解析(m-1)x+my22xy,m(x+y)x+22xy.又x(0,+),y(0,+),mx+22xyx+y.x+22xyx+yx+x+2yx+y=2,当且仅当x=2y(x0,y0)时等号成立,m2,故m的最小值为2.3.答案-2,8解析当b0时,由(ax+3)(x2-b)0得到ax+30在x(0,+)上恒成立,则a不存在;当b0时,由(ax+3)(x2-b)0,可设f(x)=ax+3,g(x)=x2-b
4、,又函数f(x)、g(x)的大致图象如图所示,由题意可知:a0,-3a=b,再由a,b是整数得到a=-1,b=9或a=-3,b=1.因此a+b=8或-2.故a+b的取值集合为-2,8.4.答案00可得log2a3x-4x2-x,即x2-(3log2a+1)x+4log2a0在R上有解,则=(3log2a+1)2-16log2a0,解得log2a19或log2a1,则0a219或a2.5.答案8解析由题意可知01-2m1,且k的最大值即为1m+21-2m的最小值.因为1m+21-2m=22m+21-2m2m+(1-2m)=2+21-2m2m+2m1-2m+28,当且仅当2m=1-2m,即m=14
5、时取等号,故kmax=8.6.答案-83,+解析f(x)=x2+ax+11x+13(xN*),则(3-a)xx2+8,即3-ax+8x.x+8x28=42,当且仅当x=22时取等号,因为xN*,当x=2时,x+8x=6;当x=3时,x+8x=3+831时, f(x)在x-1,1上单调递增,则f(x)min=f(-1)=3-3a0,a1,舍去;当-1a1时, f(x)min=f(-a)=-a2-a+20,-2a1,则-1a1;当a-1时, f(x)在x-1,1上单调递减,则f(x)min=f(1)=a+30,a-3,则-3a-1.综上可得实数a的取值范围是-3,1.(3)x-1,1, f(x)0
6、恒成立,则f(x)max0,x-1,1.当a0时, f(x)max=f(1)=a+30,a-3,则a0;当a0时, f(x)max=f(-1)=3-3a0,a1,则a0.综上可得实数a的取值范围是R.8.解析(1)因为f(x)=a|x|是D(3)型函数,所以13a|x|3在-3,-11,3上恒成立,即13|x|a3|x|在-3,-11,3上恒成立.又|x|的取值范围为1,3,所以a(13|x|)max=13,所以a的取值范围为13,1.(2)g(x)是D(2)型函数.证明如下:先证明g(x)2.记h(x)=x2+x+2ex,0x2,所以h(x)=-(x2-x+1)ex=-x-122+34exh
7、(2)=8e21,所以x2+x+2ex1,即ex-x2-x2,所以g(x)12.记r(x)=x2+x+12ex,0x2,所以r(x)=-x2-x-12ex.令r(x)=0,得x=1+32(0,2),记x0=1+32,则x0+12=x02.当0x0,当x0x2时,r(x)12,只要证r(x)1,只要证r(x)max1,即证2x02ex01,即证(2x0)2ex0,即证2ln 2+2ln x01时,有ln x1,所以p(x)=1x-12-12x2=-(x-1)22x20,所以p(x)在(1,+)上为减函数,所以p(x)p(1)=0,即ln xx2-12x得证.所以2ln 222-122=12,2ln x02x02-12x0=x0-1x0,故要证明(*)式,只需证明12+x0-1x0x0,即证x02,而x0=1+3212.由得12g(x)2,结论获证.