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1、学习必备精品知识点反三角函数与最简三角方程专题1、反三角函数：概念： 把正弦函数sinyx，,22x时的反函数，成为反正弦函数，记作xyarcsin. sin ()yx xR，不存在反函数. 含义 ：arcsinx表示一个角；角,22；sinx. 反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 其中： （1） 符号 arcsinx可以理解为 2，2 上的一个角 ( 弧度 ) ，也可以理解为区间 2，2 上的一个实数；同样符号 arccosx可以理解为 0 ， 上的一个角 ( 弧度 ) ，也可以理解为区间0 ， 上的一个实数；（2） yarcsinx等价于 sinyx, y 2，2, yarccosx等价
2、于 cosyx, x0, , 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3） 恒等式 sin(arcsinx) x, x1, 1 , cos(arccosx) x, x 1, 1, arcsin(sinx) x, x 2，2, arccos(cosx) x, x0, 的运用的条件；（4） 恒等式 arcsinxarccosx2, arctanxarccotx2的应用。2、最简单的三角方程方程方程的解集axsin1aZkakxx,arcsin2|1aZkakxxk,arcsin1|axcos1aZkakxx,arccos2|名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数xyarcsin1 , 1
3、增2,2奇函数增函数反余弦函数xyarccos1 , 1减,0 xxarccos)arccos(非奇非偶减函数反正切函数arctanyxR 增2,2奇函数增函数反余切函数cotyarcxR 减,0cot()cotarcxarcx非奇非偶减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备精品知识点1aZkakxx,arccos2|tanxa|arctan ,x xka kZcot xa|cot ,x xkarca kZ其中： （1） 含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求
4、出三角方程的解集；（2） 解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3） 要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若sinsin，则sin( 1)kk；若coscos，则2k；若tantan，则ak；若cotcot，则ak；（4） 会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。【例题】例 1. 函数，的反函数为（）yxxsin232例 2.函数，的图象为（）yxxarccos(cos)2222-2-2O 2O 2-2（A ）（ B）1 1 -2-2O 2O 2-1 （C）（ D）例 3.
5、求值： (1)3sin 2arcsin5 (2)11tanarccos23例 4. 画出下列函数的图像（1）)arcsin(sin xy函数是以2为周期的周期函数当2,2x时，xx)arcsin(sin当23,2x时，xx)arcsin(sin其图像是折线，如图所示：（2）1 , 1),sin(arccosxxy,0arccosxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备精品知识点) 1(1)(arccoscos122xxxy其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：例 5. 已知)23,(,135sin),2
6、,0(,2572cos求（用反三角函数表示）例 6. 已知函数2( )arccos()f xxx（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：( )(21)f xfx简单的三角方程例 1. 写出下列三角方程的解集(1)2sin()82x; (2)2cos310 x; (3)cot3x例 2. 求方程tan(3)34x在0,2上的解集 .例 3. 解方程22sin3 cos10 xx例 4.解方程3sin2cos0 xx222sin3sincos2cos0 xxxx例 5. 解方程： (1)3sin 2cos21xx (2)5sin312cos36.5xx例 6. 解方程22sin3co
7、s0 xx例 7. 解方程：tan()tan()2cot44xxx例 8. 已知方程sin3 cos0 xxa在区间0,2上有且只有两个不同的解，求实数a的取值范围。例 9. 若方程cos22sin10 xxm存在实数解，求m的取值范围例 10. 求方程sin 2cos()xx的解集【巩固练习】反三角函数1.3arctan(tan)5的值是 ( C ) A.35 B. 25 C.25 D.352. 下列关系式中正确的是 ( C ) A. 55cos cos44arc B. sin arcsin33C. cos coscoscos44arcarc D.1tan( 2)cot()2arcarc精选
8、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备精品知识点3. 函数( )arcsin(tan)f xx的定义域是 ( B ) A.,4 4 B.,44kkkZC.,(1)44kkkZ D.2,244kkkZ4. 在31,2上和函数yx相同的函数是 ( B ) A.arccos(cos )yx B.arcsin(sin)yx C.sin(arcsin)yx D.cos(arccos )yx5. 函数arctan2xy的反函数是 . 6. 求sinyx在3,22上的反函数 . 7. 比较5arccos4与1cot()2arc的大
9、小 . 51arccoscot()42arc8. 研究函数2arccosyxx的定义域、值域及单调性. 9. 计算 :45cos arccosarccos51310. 求下列函数的定义域和值域： (1) yarccosx1; (2) yarcsin(x2x); (3) yarccot(2x1), 11. 求函数y(arccosx)23arccosx的最值及相应的x的值。简单的三角方程1. 解下列方程 . (1)2tan1x (2)sin5sin3xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备精品知识点2. 方程 sin2xsinx在区间 (0, 2) 内的解的个数是 . 3.(1) 方程 tan3xtgx的解集是 (2) 方程 sinxcosx22在区间 0, 4上的所有的解的和是 . 4.解方程222 3sinsincoscos03xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页