《沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题08：反三角函数与最简三角方程复习与检测(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题08：反三角函数与最简三角方程复习与检测(含答案).pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习目标学习目标1.反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。2.最简三角方程，简单的三角方程。知识梳理知识梳理重点重点 1 1反三角函数：反三角函数：,时的反函数，成为反正弦函数，记作y arcsin x.2 2概念：概念：把正弦函数y sin x，xy sin x(xR)，不存在反函数.含义含义：arcsinx表示一个角；角,；sin x.2 2 重点重点 2 2反余弦、反正切函数同理，性质如下表反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称反正弦函数函数式y=arcsinx定义域值域奇偶性奇函数非奇非偶单调性增函数1,1增1,1减R增,2 2反余弦函数y=arccosx0,2 2减函数反正切函数y=
2、arctanx奇函数非奇非偶增函数反余切函数其中：y=arccotxR减0,减函数，上的一个角(弧度)，也可以理解为区间，上的一个实数；2222同样符号 arccosx 可以理解为0，上的一个角(弧度)，也可以理解为区间0，上的一个实数；（1）符号 arcsinx 可以理解为试卷第 1 页，总 11 页（2）yarcsinx 等价于 sinyx,y，,yarccosx 等价于 cosyx,x0,这两个等价关系22是解反三角函数问题的主要依据；（3）恒等式 sin(arcsinx)x,x1,1,cos(arccosx)x,x1,1,，,arccos(cosx)x,x0,的运用的条件；22（4）恒
3、等式 arcsinxarccosx,arctanxarccotx的应用。22arcsin(sinx)x,x重点重点 3 3最简单的三角方程最简单的三角方程（1）含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若sin sin，则sin k(1)；若cos cos，则 2k；若tan tan，则a k；若cot cot，则a k；（4）会用数形结合的思想和函数思想
4、进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。k例题分析例题分析1例 1函数fx的反函数fx1arcsinxarctanx，则fx的定义域为（）2CA,【答案】D【详解】对于函数f1B33,4433,22D,2 2x11arcsinxarctanx，该函数的定义域为1,1，2由于函数y f且f1x在1,1上单调递增，则f11 f1x f11，111arcsin1arctan1，2224211f11arcsin1arctan1，所以，f1x，2224222试卷第 2 页，总 11 页 因此，函数y fx的定义域为,.2 2故选：D.例 2方程sin x A0 个【答案】D【详解】解：在同一坐标系中分别
5、作出函数y sin x，y x的解的个数是()B1 个C2 个D3 个x的图象如图：由图可知函数y sin x，y 即方程sin x 故选：D.x的图象有 3 个交点，x的解有 3 个.跟踪练习跟踪练习1设函数f(x)mcos(x)ncos(x)，其中m、n、为已知实常数，xR R，有下列四个命题：（1）若f(0)f（2）若f(0)0，则函数f(x)为奇函 0，则f(x)0对任意实数x恒成立；222f(0)ff(x)f 0数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当 0时，若f(x1)f(x2)0，则22x1 x2 2k（kZ）；则上述命题中，正确的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个2满足a
6、rccos1xarccosx的x的取值范围是（）A1,21B,02 11C0,2D,112试卷第 3 页，总 11 页3若0a1，在0,2上满足cosx a的x的范围是（）Aarc cosa,arccosaCarccosa,2arccosaBarccosa,arccosaDarccosa,arccosa4设方程sin4x 0的解集为 M，方程cos2x 1的解集为 N，则（）AMN2BNMCMND以上都不对5方程sin x 1的解集是（）2Ax|x k,k Z4Bx|x k,k Z4,k Z4Cx|x 2k6已知x为锐角，A2,2,k Z4Dx|x kacosx3，则a的取值范围为（）sin
7、xB(1,3)C(1,2D(1,2)7解下列三角方程：（1）4cos2x 4cos x 1 0；（2）sin2x 3sin x cosx 1 0；（3）sin2x12(sinxcosx)1208解下列方程：（1）sin x3cos x 1；（2）2 3cos2 sin；（3）sin2x12sinxcosx12 0；（4）cos2xsecxsecx109元宵节是中国的传统节日之一要将一个上底为正方形ABCD 的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于 A、C 两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP 与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图花灯上底面到天花板的距
8、离设计为1 米，上底面边长为 0.8 米，设PAC，所有绳子总长为 y 米（打结处的绳长忽略不计）试卷第 4 页，总 11 页（1）将 y表示成 的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长（精确到 0.01 米）10 如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为Ai（i 1,2,3,4），A1A2 30米，A2A1A4120，D为对角线A2A4和A1A3的交点他以A2、A4为圆心分别画圆弧，一段弧与A1A2相交于A1、另一段弧与A3A4相交于A3，这两段弧恰与A2A4均相交于D设A1A2D（1）若两段圆弧组成“甬路”L（宽度忽略不计），求L的长（结
9、果精确到1米）；（2）记此园地两个扇形面积之和为S1，其余区域的面积为S2 对于条件（1）中的L，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由SL1 0.12A1A3S2试卷第 5 页，总 11 页参考答案参考答案1C【详解】f(x)m(cosxcossin xsin)n(cos xcossin xsin)(mcosncos)cos x(msinnsin)sin x不妨设f(x)k1cos1k2cos2cosxk1sin1k2sin2sinxk1,k2,1,2为已知实常数.若f(0)0，则得k1cos1k2cos2 0；若f()0，则得k1sin1k2sin2 02f(0)f
10、于是当 0时，f(x)0对任意实数x恒成立，即命题（1）是真命题；2当f(0)0时，f(x)k1sin1k2sin2sinx，它为奇函数，即命题（2）是真命题；当f()0时，f(x)k1cos1k2cos2cosx，它为偶函数，即命题（3）是真命题；22f(0)f当 0时，令f(x)0，则22k1cos1k2cos2cosxk1sin1k2sin2sinx 0，上述方程中，若cosx 0，则sin x 0，这与cos2xsin2x 1矛盾，所以cosx 0将该方程的两边同除以cosx得tan x k1cos1k2cos2k1cos1 k2cos2 t（t 0），令，k1sin1k2sin2k1
11、sin1 k2sin2则tan x t，解得x karctant（kZ）不妨取x1 k1arctant，x2 k2arctant（k1Z且k2Z），则x1x2k1k2，即x1 x2 k（kZ），所以命题（4）是假命题故选：C2D【详解】不等式arccos1 x arccosx，试卷第 6 页，总 11 页由余弦函数性质可化为cosarccos1 x cosarccosx，由反函数运算性质可知满足1 x x，解得x 又因为x1,1，1所以满足不等式的x的取值范围为0,，21，2故选：D.3D【详解】当x0,2，令cos x ax1arccosaarccosa,x2 2arccosaarccosa
12、故满足cosx a的x的范围是：arccosa,arccosa故选：D4B【详解】由sin4x 0，可得4x k,k Z，所以x 则M x|x k,k Z4k,kZ4由cos2x 1，可得2x 2k,k Z，所以x k,kZ则N x|x k,kZ所以N故选：B5D【详解】由方程sin x 2M，12，得sin x ，22x|x k,k Z.解得x k,kZ，即方程的解集为44故选：D试卷第 7 页，总 11 页6C【详解】由acosx3，可得a 3sin xcosx 2sinx，6sin x因为x0,22sinxx,，所以，则1,2，62663所以a的取值范围为(1,2.故选：C.7（1）x
13、2k3(k Z)；（2）x karctan或x k(kZ)；（3）x 2k4122或x 2k(k Z)【详解】（1）（2）14cos2x 4cos x 1 0(2cos x 1)2 0cosx x 2k(kZ Z)；23sin2x 3sin xcosx 1 0 sin2x 3sin xcosx sin2x cos2x 0，显然cosx 0不是方程的解，所以两边同除cos2x，得2tan2x 3tan x 1 0，tan x 1或tanx 1，21x karctan或x k(kZ Z)；242t sin xcosx 2sin x（3）令，t 2,2，则sin2x 1t，4从而1t212t 120
14、，即t212t 13 0，解得t 1或t 13（舍），2再由2sinx 1 sinx，442x 4 2k4或x 4 2k3(kZ Z)，4x 2k2或x 2k(k Z)k8（1）x x k16k,k Z；,k Z；（2）k1（3）332kx x k 1,k Zx x 2k,k Z.4；（）443试卷第 8 页，总 11 页【详解】（1）由sin x3cos x 2sinx11sin x得：，332kx3 k1k6kZ，x k163kZ，k原方程的解集为x x k1,k Z.63（2）cos21sin2，原方程可化为：2 3sin2sin2 3 0，即2sin33sin2 0，解得：sin3或s
15、in 2 3（舍）32由sink3得：k1kZ，32k原方程的解集为 k1,k Z.3（3）令sin xcosx t，则sin2x 2sin xcosx 1t2，原方程可化为1t212t 120，即t212t 13 0，解得：t 13或t 1，t 1，即sinx2，sin xcos x 2sinx 2,2442x4 k1k4kZ，x k1k44kZ，k原方程的解集为x x k1,k Z.44（4）cos2x 2cos2x1，secx 1，cosx212cos x11原方程可化为1 2cos x1 0，解得：cosx ，2cosxcosxx 2k2kZ，32原方程的解集为x x 2k,k Z.3
16、试卷第 9 页，总 11 页5 20.4 24sin 0,arctan9（1）y；（2）1.17 米，1.17 米，0.85 米1，4cos【详解】（1）设上底中心为 M，则|AM|0.42，|PM|0.42tan，|PA|故绳子总长y 4|PA|OP|4|PA|OM|PM|0.4 2，cos0.4 24sin1.6 210.4 2 tan1，coscos5 2|OM|15 2 0,arctan因为0 tan，所以4|AM|0.4 24（2）记 A4sin，则 sin+Acos4，即1 A2sin 4，cos5 20,arctan由 sin（+）1，得A15，等号成立时arctan 15，42
17、从而 ymin0.430+13.19（米），此时这三根绳子长分别约为1.17 米，1.17 米，0.85 米10（1）36米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析【详解】（1）根据题设条件，可得在A1A2A4中，A2A4 2A1A2由正弦定理，得A2A4A1A2123，即sinA1A4A2sinsinA2A1A4sinA1A4A2234试卷第 10 页，总 11 页所以A1A4A2 arcsin33，所以arcsin，4343所以L 2A1A2 60603arcsin436米答：甬路L的长约为36米（2）由（1）得L 60，在A1A2D中，由余弦定理，得A1D2 302302 23030cos1800 1800cos，所以A，1D 30 22cos故A1A360 22cos，所以LA1A322cos，11S1 2302900，S2 43030sin900 900(2sin)，22S1故，S22sin3当arcsin时，3422cos 0.1181 0.122sin所以此人的设计是“用心”的试卷第 11 页，总 11 页