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1、一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合 ( 简称集 ) 1. 集合中元素具的有几个特征确定性 因集合是由一些元素组成的总体,当然,我们所说的“一些元素”是确定的互异性 即集合中的元素是互不相同的,如果出现了两个( 或几个 ) 相同的元素就只能算一个,即集合中的元素是不重复出现的无序性 即集合中的元素没有次序之分2. 常用的数集及其记法我们通常用大写拉丁字母,表示集合, 用小写拉丁字母a,b,c,表示集合中的元素常用数集及其记法非负整数集(或自然数集) ,记作 N 正整数集,记作 N*或 N+;整数集,记作 Z 有理数集,记作 Q 实数集,记作 R 3元素与集合之间的关系
2、4. 反馈演练1. 填空题2选择题 以下说法正确的( ) (A) “实数集”可记为R 或 实数集 (B)a,b,c,d与c,d,b,a是两个不同的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合, 因为其元素不确定 已知 2 是集合 M= 中的元素,则实数为( ) (A) 2 (B)0或 3 (C) 3 (D)0,2,3均可二、集合的几种表示方法1、 列举法将所给集合中的元素一一列举出来,写在大括号里,元素与元素之间用逗号分开*有限集与无限集* 有限集 -含有有限个元
3、素的集合叫有限集例如 : A=120以内所有质数 无限集 -含有无限个元素的集合叫无限集例如 : B=不大于 3 的所有实数 2、 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法 : 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值( 或变化 ) 范围 , 再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 . 3、 图示法 - 画一条封闭曲线, 用它的内部来表示一个集合. 常用于表示不需给具体元素的抽象集合. 对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示如: 集合 1,2,3,4,5用图示法表示为: 三、集合间的基本关系观察下面几组集合,集合A与集合 B具有什么关系?(
4、1) A=1 ,2,3,B=1,2,3,4,5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页(2) A=x|x3,B=x|3x-60. (3) A= 正方形 ,B=四边形 . (4) A=,B=0. 1. 子集定义:一般地,对于两个集合A与 B,如果集合 A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合 B,或集合 B包含集合 A,记作 AB(或BA), 即若任意 xA,有 xB,则 AB(或 AB)。这时我们也说集合A是集合B的子集(subset ) 。如果集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,就
5、记作 A?B(或 B?A) ,即:若存在 xA,有 xB,则 A?B(或 B?A) 说明:AB与 BA是同义的,而 AB与 BA是互逆的。规定: 空集是任何集合的子集,即对于任意一个集合A都有A。例 1判断下列集合的关系 . (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0, B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3, B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1, B=x|x2-1=0; (8)A=x|x 是两条边相等的三角形 B=x|x是等腰三角形 。问题:观察( 7)和(8) ,集合 A与集合 B的元素,有何关系?集
6、合 A与集合 B的元素完全相同,从而有:2. 集合相等定义:对于两个集合 A与 B,如果集合 A的任何一个元素都是集合B的元素(即 AB) ,同时集合 B的任何一个元素都是集合A的元素(即 BA) ,则称集合 A 等于集合 B,记作 A=B 。如: A=x|x=2m+1,m Z,B=x|x=2n-1 ,nZ,此时有 A=B 。问题: (1)集合 A是否是其本身的子集?(由定义可知,是)(2)除去与 A 本身外,集合 A 的其它子集与集合A 的关系如何?(包含于 A,但不等于 A)3. 真子集:由“包含”与“相等”的关系,可有如下结论:(1)AA ( 任何集合都是其自身的子集);(2) 若 AB
7、,而且 AB(即 B中至少有一个元素不在A中) ,则称集合 A是集合 B的真子集(proper subset ) ,记作 A?B。 (空集是任何非空集合的真子集)(3) 对于集合 A,B,C ,若 A? B,B? C,即可得出 A? C ;对 A?B,B?C,同样有 A?C, 即:包含关系具有“传递性” 。4. 证明集合相等的方法:(1) 证明集合 A,B中的元素完全相同;(具体数据)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页(2) 分别证明 AB和 BA即可。 (抽象情况)对于集合 A,B,若 AB而且 BA,则 A=B
8、。例 1判断下列两组集合是否相等?(1)A=x|y=x+1 与 B=y|y=x+1; (2)A=自然数 与 B=正整数 例 2解不等式 x-32,并把结果用集合表示。结论:一般地,一个集合元素若为n 个,则其子集数为 2n个,其真子集数为 2n-1个,特别地,空集的子集个数为1,真子集个数为 0。5. 课堂练习1. 设 A=0,1,B=x|xA,问 A与 B什么关系?2. 判断下列说法是否正确?(1)NZQR;(2)AA;(3) 圆内接梯形 等腰梯形 ;(4)N Z;(5);(6) 4. 有三个元素的集合 A,B,已知 A=2,x,y ,B=2x,2,2y ,且 A=B ,求 x,y 的值。6
9、. 本节小结1. 能判断存在子集关系的两个集合,谁是谁的子集,进一步确定其是否为真子集;注意:子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。(因为: “空集是任何集合的子集”,但空集中不含任何元素; “A是 A的子集” ,但 A中含有A的全部元素,而不是部分元素) 。2. 空集是 任何集合 的子集 ,是任何 非空集合的 真子集 ;3注意区别“包含于”, “包含” , “真包含”, “不包含”;4. 注意区别“”与“”的不同涵义。课堂练习:集合的含义与表示1. 用符号或填空:(1)3211|xx;(2)3 , 1|2Nnnxx;(3))1 , 1(|2xyy,)1 , 1(.|),(2xyyx2.
10、 用列举法表示下列集合:(1), 3|),(NyNnyxyx;(2)., 2| , 1| ),(2Zxxxyyx3. 可以表示方程组1,3yxyx的解集是。 (写出所有正确答案的序号)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页(1) 2, 1yx;(2)2, 1; (3))2, 1(; (4)2, 1| ),(yxyx或;(5)2, 1| ),(yxyx且; (6)2, 1),(yxyx; (7).0) 2() 1( |),(22yxyx4. 设集合, 12abaaBbaA,且BA,求实数.,ba5. 已知集合4, 433,
11、 222xxxxM,若,2M 求. x集合间的基本关系1. 下列各组中的两个集合相等的有()),1(2|,2|ZnnxxQZnnxxP;, 12|, 12|NnnxxQNnnxxP;0|2xxxP,.,2)1(1|ZnxxQnABC D2. 设集合43, 2, 8, 22aaBaA,且AB,求a的值。3. ( 1)已知集合,03|,3, 1mxxBA且AB,则m的值是。( 2)已知集合 121|,52|mxmxBxxA,若AB,求实数m的取值范围。4. ( 1)以下各组中两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来。0 与0; 0 与;与 0; 1, 0与)1 ,0(;),(ab与).,(ba( 2)已知|,1 ,0AxxBA,则 A与 B的关系正确的是()ABABABCBADBA5. ( 1)同时满足: 5,4,3,2, 1M;Ma,则Ma6的非空集合M有()A16 个B 15 个C7 个D6 个6. ( 1)已知集合X满足5, 4, 3, 2, 1 2, 1X,求所有满足条件的X。( 2)设集合,01)1(2|,04|222RaaxaxxBxxxA。若AB,求实数a的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页