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1、第1页共5页高等数学 2 内招期末自测题一、单项选择题 从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。共8 小题，每题 2 分，共 16 分1、以下命题正确的选项是lim0nnu，则级数1nnulim0nnu，则级数1nnu发散1nnu发散，则 lim0nnu1nnu发散，则必有 limnnu2、假设幂级数0nnna x收敛半径为 R，则02nnnax的收敛开区间是A.R，R B.1R，1R C., D.2R ，2R 3、微分方程32220d ydyxdxdx的阶数是4、设直线1158:121xyzL与2L：515112xyz。则1L与2L的夹角为. A6 B.4
2、C.3 D.25、设0,00,),(222222yxyxyxxyyxf，则在)0,0(点关于),(yxf表达正确的选项是6、假设函数yxf,在点00, yx处取极大值，则 ( ) A.00,0 xfxy,00,0yfxyB假设00, yx是 D 内唯一极值点，则必为最大值点C.200000000,0,0 xyxxyyxxfxyfxyfxyfxy且D 、以上结论都不正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页第2页共5页7、以下级数中条件收敛的是A.nnn1)1(11 B.211)1(nnn C.1)1(1nnnn D.)1
3、(1)1(1nnnn8、方程yxdydxe dx的通解是A.xycxe B.xyxec C.ln 1ycx D.ln 1yxc二、填空题 将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。共 7 小题，每题 3 分，共 21 分1、抛物线22yxxy和围成的面积为 _ . 2、过点(3, 1,2)且通过直线43521xyz的平面方程为.3、交换积分次序，则220,xxdxfx y dy. 4、已知函数2zx y，则d z.5、设(1,0, 2)a，( 3,1,1)b，则ba= . 6、极限2222222( ,)(0,0)1cos()lim()x yx yxyxye.7、函数xyz
4、在附加条件1yx下的极大值为. 三、计算题 共 7 小题，共 56 分1.求由2222xyzxyz所确定的隐函数( , )zz x y在点(1,0, 1)处的全微分。2.设,xzfxyy，f具有二阶连续偏导数，求,zzxy,2zx y.3. 求微分方程)1(822xeyyy的通解。4.判定级数1111nnn的收敛性。5. 计算二重积分(22 )Dxy d，其中 D 是由直线0 x，0y与1yx围成的图形.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页第3页共5页6. 求1nnxn的收敛区间与和函数( )S x，并求113nnn的
5、值. 7. 求由抛物线xy42及其在点)2,1 (处的法线所围图形的面积。四、证明题 共 1 小题，共 7 分设( )f x在 , a b上连续，且( )0f x，用重积分证明：21( )()( )bbaaIf x dxdxbaf x自测题答案一：选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDBC B B A C 二：填空题题号1 2 3 4 5 6 7 答案1/3 8111810 xyzdxyxfdyyy2022),(22xydxx dykji521241三：计算题1.解：dyyzdxxzdz)1,0,1()1,0,1()1,0,1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
6、归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页第4页共5页1)1,0,1(xz，2)1,0,1(yz所以dydxdz2)1,0,1(2.解：211fyyfxz，221fyxxfyz)(11)(22221221221112fyxxfyfyfyxxfyfyxz223221111fyxfyxyff3. 解：特征方程0122rr的根为：121rr对应的齐次方程的通解为xCexCCy)(21设特解为xxeyBABeAy2*2*888, 8代入方程确定故所求通解为xxeexCCy22188)(4. 解：因为11lim/1/1lim11nnnnnnn，所以级数1111nnn与级数11nn同敛散。
7、而级数11nn发散，故级数1111nnn发散。5. 解：(22 )Dxy d1100(22 )xdxxy dy12100(2)xxyydx120(1)x dx23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页第5页共5页6. 解：1R1111) 1(1nnnnxnx发散：收敛：所以收敛区间为），11)1ln(11)()()(0010 xdxxdxnxdxxsxsxxnnx23ln)31(311snnn7. 解： 由于当0y时，xy2。此时1yx， 所以(1) 1y。因此，抛物线在点)2,1(处的法线方程为)1(2xy，其与抛物线的另一交点为)6,9(。于是，抛物线与该法线所围成图形的面积为262)43(dyyyA=485。四、证明题 共 1 小题，共 7 分证明：1( )( ):,( )( )bbaaDfyIfy dydxdxdyDaxb aybf xf x又因为1( )( )( )( )bbaaDf xIfx dxdydxdyf yf y2( )( )222()( )( )DDf xfyIdxdydxdybafyfx所以2()Iba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页