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1、2013 年高考数学压轴题系列训练六1 如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点 P 在直线02:yxl上运动，过P 作抛物线C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B 两点 . （1）求 APB 的重心 G 的轨迹方程 . （2）证明 PFA= PFB. 2设 A、B 是椭圆223yx上的两点，点N（1， 3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 . （）确定的取值范围，并求直线AB 的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上？并说明理由. 3 已知不等式nnn其中,log21131212为大于2 的整数，log2n
2、表示不超过n2log的最大整数 . 设数列na的各项为正，且满足,4, 3, 2,),0(111nannaabbannn（）证明,5,4,3,log222nnbban（）试确定一个正整数N，使得当Nn时，对任意b0 ，都有.51na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页4如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1， F2在 x 轴上，长轴A1A2的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|A1F1|21()求椭圆的方程；()若点 P 为 l 上的动点，求F1PF2最大值5已知函数fx 和 g x 的图象关于
3、原点对称，且22fxxx ()求函数 g x 的解析式；()解不等式1g xfxx；()若1h xg xfx在1,1 上是增函数，求实数的取值范围6(本题满分16 分)本题共有3 个小题 ,第 1 小题满分4 分 , 第 2 小题满分6 分, 第 3 小题满分6 分. 对定义域分别是Df、Dg的函数 y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当 xDf且 xDg规定 : 函数 h(x)= f(x) 当 xDf且 xDgg(x) 当 xDf且 xDg(1) 若函数 f(x)=11x,g(x)=x2,xR,写出函数h(x) 的解析式 ; (2) 求问题 (1)中函数 h(x) 的值域 ;
4、(3)若 g(x)=f(x+), 其中 是常数 ,且 0, , 请设计一个定义域为R 的函数 y=f(x), 及一个 的值 ,使得h(x)=cos4x, 并予以证明 . 2010 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解六精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页1 如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点 P 在直线02:yxl上运动，过P 作抛物线C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B 两点 . （1）求 APB 的重心 G 的轨迹方程 . （2）证明 PFA= PFB. 解： （1）设切点A、B
5、坐标分别为)(,(),(0121120 xxxxxx和，切线 AP 的方程为：;02200 xyxx切线 BP 的方程为：; 02211xyxx解得 P 点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以 APB 的重心 G 的坐标为PPGxxxxx310，,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以243GGpxyy，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31, 02)43(22xxyxyx即（ 2）方法 1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200 xxFBxxxxFPxxFA由于 P 点在抛物线外，则
6、. 0| FP,|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP同理有,|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP AFP= PFB. 方法 2：当,0,0,0000101yxxxxx则不妨设由于时所以 P 点坐标为) 0,2(1x，则 P 点到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页直线 AF 的距离为：,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直线即.041)
7、41(1121xyxxx所以 P 点到直线BF 的距离为：2|412|)41()()41(|42)41(|1211212122111212xxxxxxxxxd所以 d1=d2，即得 AFP= PFB. 当001xx时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020 xyxxxxxxy即直线 BF 的方程：,041)41(),0(041411121121xyxxxxxxy即所以 P 点到直线AF 的距离为：2|41)41)(2|)41(|41)2)(41( |1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd， 同理可得到P 点到直线BF 的距离2|0
8、12xxd，因此由d1=d2，可得到 AFP= PFB. 2设 A、B 是椭圆223yx上的两点，点N（1， 3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 . （）确定的取值范围，并求直线AB 的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （ ） 解 法1 ： 依题 意 ， 可 设 直线AB的方 程 为223,3)1(yxxky代入， 整 理 得.0)3()3(2)3(222kxkkxk设212211,),(),(xxyxByxA则是方程的两个不同的根，,0)3(3)3( 422kk且,3)3(2221kkkxx由 N（1，3
9、）是线段AB 的中点，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页. 3)3(, 12221kkkxx解得 k= 1，代入得，即,12的取值范围是（12，+） . 于是，直线AB 的方程为.04),1(3yxxy即解法 2：设),(),(2211yxByxA则有.0)()(332121212122222121yyyyxxxxyxyx依题意，.)(3,212121yyxxkxxABN（1，3）是 AB 的中点，.1,6,22121ABkyyxx从而又由 N（ 1，3）在椭圆内，,1231322的取值范围是（12 ，+） .
10、直线 AB 的方程为y3=（ x1） ，即 x+y 4=0. （）解法1： CD 垂直平分AB，直线CD 的方程为y3=x 1，即 xy+2=0 ，代入椭圆方程，整理得.04442xx又设),(),(4433yxDyxCCD 的中点为4300,),(xxyxC则是方程的两根，).23,21(,232,21)(21, 10043043Mxyxxxxx即且于是由弦长公式可得. )3(2|)1(1|432xxkCD将直线 AB 的方程 x+y 4=0 ，代入椭圆方程得016842xx同理可得. )12(2|1|212xxkAB当12时，|, )12(2)3(2CDAB假设存在12 ，使得 A、B、C
11、、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心 . 点 M 到直线 AB 的距离为.2232|42321|2|4|00yxd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页于是，由、式和勾股定理可得.|2|2321229|2|22222CDABdMBMA故当12 时， A、B、C、D 四点匀在以M 为圆心，2| CD为半径的圆上 . （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D 共圆ACD 为直角三角形，A 为直角|AN|2=|CN| |DN| ，即).2|)(2|()2|(2dCDdCDAB由式知，式左边,2
12、12由和知，式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(式成立，即A、B、C、D 四点共圆 . 解法 2：由（）解法1 及 12, CD 垂直平分AB， 直线 CD 方程为13xy，代入椭圆方程，整理得.04442xx将直线 AB 的方程 x+y4=0 ，代入椭圆方程，整理得.016842xx解和式可得.231,21224, 32, 1xx不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(DCA)21233,23123(CA)21233,23123(DA计算可得0DACA， A 在以 CD 为直径的圆上. 又 B 为 A 关于 CD 的对称点， A、B、
13、C、D 四点共圆 .（注：也可用勾股定理证明ACAD ）3 已知不等式nnn其中,log21131212为大于2 的整数，log2n表示不超过n2log的最大整数 . 设数列na的各项为正，且满足,4, 3, 2,),0(111nannaabbannn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页（）证明,5,4,3,log222nnbban（）试确定一个正整数N，使得当Nn时，对任意b0 ，都有.51na（）证法1：当,111,0 ,211111nanaanaannaannnnnnnn时即,1111naann于是有.111,
14、3111,211112312naaaaaann所有不等式两边相加可得.13121111naan由已知不等式知，当n3 时有，.log211121naan.log22.2log2log2111,2221nbbabnbnbabann证法 2：设nnf13121)(，首先利用数学归纳法证不等式.,5 ,4, 3,)(1nbnfban（ i）当 n=3 时，由.)3(11223313333112223bfbaaaaaa知不等式成立. （ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即,)(1bkfbak则1)(1)1(11) 1(1)1() 1(1bbkfkkakkakakakkkk,) 1(1)11)(
15、1)() 1() 1()1(bkfbbkkfbbbkfkkbk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页即当 n=k+1 时，不等式也成立. 由（ i） 、 （ii）知，.,5,4,3,)(1nbnfban又由已知不等式得.,5 ,4 ,3, l o g22 l o g21122nnbbbnban（）,51log2,log2log22222nnnbb令则有,10242,10loglog1022nnn故取 N=1024 ，可使当nN 时，都有.51na4如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1， F2在 x 轴上，长轴A1A
16、2的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|A1F1|21()求椭圆的方程；()若点 P 为 l 上的动点，求F1PF2最大值本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分 14 分. 解： ()设椭圆方程为222210 xyabab，半焦距为c，则2111222222,2242,3,11.43aMAa A Faccaaaccaabcabcxy由题意, 得故椭圆方程为()004,0Pyy设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页0011221
17、2110021122120000121212350,22215tan.115152 151515tan15arctan.15yyPFkPFkF PFPF MF PFyykkF PFk kyyyyF PFF PFF PF设直线的斜率, 直线的斜率为锐角。当，即=时，取到最大值，此时最大，故的最大值为5已知函数fx 和 g x 的图象关于原点对称，且22fxxx ()求函数 g x 的解析式；()解不等式1g xfxx；()若1h xg xfx在1,1 上是增函数，求实数的取值范围解： ()设函数 yfx 的图象上任意一点00,Q xy关于原点的对称点为,P x y ，则00000,2.0,2xx
18、xxyyyy即点00,Q xy在函数yfx的图象上22222 ,2yxxyxxg xxx，即故()由21210g xfxxxx， 可得当1x时，2210 xx，此时不等式无解. 当1x时，2210 xx，解得112x. 因此，原不等式的解集为11,2. （）212 11h xxx1411,1h xx当时，在上是增函数，1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页11.1x当时，对称轴的方程为）111,1.1当时,解得）111,10.1当时,解得0.综上，6(本题满分16 分)本题共有3 个小题 ,第 1 小题满分4 分 ,
19、 第 2 小题满分6 分, 第 3 小题满分6 分. 对定义域分别是Df、Dg的函数 y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当 xDf且 xDg规定 : 函数 h(x)= f(x) 当 xDf且 xDgg(x) 当 xDf且 xDg(3) 若函数 f(x)=11x,g(x)=x2,xR,写出函数h(x) 的解析式 ; (4) 求问题 (1)中函数 h(x) 的值域 ; (3)若 g(x)=f(x+), 其中 是常数 ,且 0, , 请设计一个定义域为R 的函数 y=f(x), 及一个 的值 ,使得h(x)=cos4x, 并予以证明 . 解 (1)h(x)= 12xxx(-,1) (
20、1,+ )1 x=1 (2) 当 x1时, h(x)= 12xx=x-1+11x+2, 若 x1 时, 则 h(x) 4, 其中等号当x=2 时成立若 x1 时, 则 h(x) 0, 其中等号当x=0 时成立函数 h(x) 的值域是 (-,0 14,+ )(3) 令 f(x)=sin2x+cos2x,=4则 g(x)=f(x+ )= sin2(x+4)+cos2(x+4)=cos2x-sin2x, 于是 h(x)= f(x)f(x+ )= (sin2x+co2sx)( cos2x -sin2x)=cos4x. 另解令 f(x)=1+2sin2x, =2,g(x)=f(x+)= 1+2sin2(
21、x+ )=1 -2sin2x, 于是 h(x)= f(x)f(x+ )= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x. 7(本题满分18 分)本题共有3 个小题 ,第 1 小题满分4 分 , 第 2 小题满分8 分, 第 3 小题满分6 分. 在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22), ,Pn(n,2n),其中 n 是正整数 .对平面上任一点A0,记 A1为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页A0关于点 P1的对称点 , A2为 A1关于点 P2的对称点 , , AN为 AN-1关于点
22、PN的对称点 . (1)求向量20AA的坐标 ; (2)当点 A0在曲线C 上移动时 , 点 A2的轨迹是函数y=f(x) 的图象 ,其中 f(x)是以 3 为周期的周期函数,且当 x(0,3 时,f(x)=lgx. 求以曲线C 为图象的函数在(1,4上的解析式 ; (3)对任意偶数n,用 n 表示向量nAA0的坐标 . 解(1)设点 A0(x,y), A0为 P1关于点的对称点A0的坐标为 (2-x,4-y), A1为 P2关于点的对称点A2的坐标为 (2+x,4+y), 20AA=2,4. (2) 20AA=2,4, f(x) 的图象由曲线C 向右平移2 个单位 ,再向上平移4 个单位得到
23、 . 因此 , 曲线 C 是函数 y=g(x) 的图象 ,其中 g(x) 是以 3 为周期的周期函数,且当 x(-2,1时,g(x)=lg(x+2)-4.于是 ,当 x(1,4 时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是 x2-x=2,y2-y=4, 若 3 x26, 则 0 x2-33, 于是 f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3). 当 1 x 4时 , 则 3 x26,y+4=lg(x-1). 当 x (1,4时,g(x)=lg(x-1)-4. (3)nAA0=nnAAAAAA24220, 由于kkkkPPAA2122222,得nAA0=2(nnPPPPPP14321)=2(1,2+1,23+ +1,2n-1)=22n,3)12(2n=n,3)12(4n 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页